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18.三角函数的值域与最值


基本方法
1、三角函数的有界性 |Asin(ωsinx+ψ)|≤A (A>0) 2、代数法 换元思想,将问题转化为二次函数型或基本不等 式以及利用函数的单调性解题。 3、几何法 即数形结合,利用图形,根据几何意义求出变量的 取值范围。

一、三角函数的有界性
1、设函数y=acosx+b,(a,b为常数)的最大值为 1,最小值为-7,那么acosx+bsinx的最大值是 ( ) (A)1 (B) 4 (C) 5 (D) 7

2、函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°) 的最大值为( )

(A)11/2

(B)13/2

(C)7 (D)8

3、已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)√3sin2x+sinxcosx,求f(x)的最大、最小值。

小结:利用两角和差公式和二倍角公式,将函数式 化为y=Asin(ωx+ψ)的形式,求出值域。(定义 域为R)
练习:求函数y=cos2x+sinxcosx(0≤x≤π/2)的最小值 及对应的x的值。

4、已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。
(1)求:f(x)的最小正周期 (2)若x∈[0,π /2],求f(x)的最大值与最小值。

5、已知x∈[0,π /2],求函数 y=√7sinx+3cosx的最小值。

3 cos x ? 1 6、求函数 y ? 2 ? cos x

的值域。

7、求函数

sin x y? 2 ? cos x

的值域。

二、几何法
2 ? sin x 1、求函数 y ? (0<x<π )的值域。 2 ? cos x

2 ? cos x 2、求函数 y ? (0<x<π )的值域。 sin x

三、代数法 1、已知0≤x≤2π ,a为常数,求函数f(x)
=cos2x+2asinx-1的最大值。 2、已知函数f(x)=sinxcosx-m(sinx+cosx)。 (1)若m=1,求f(x)的最值; (2)若函数f(x)在区间[π /4,π /2]上的最 小值为2,求实数a的值。

3、已知0≤y<x<π /2,且满足tanx=3tany, 求x-y的最大值。

4、是否存在实数a,使得函数

y=sin2x+acosx+ 5 a - 3 ,在区间[0,π /2]上
的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若 不存在,说明理由。

8

2

5、已知sinx+siny=1/3,求siny-cos2x的最大 值与最小值。

? 时,求函数 6、当0<x< 4

cos x f(x) ? cos x sin x ? sin 2 x
的最小值。

2

7、设α ,β 均为锐角,且α +β =120°,问 y=cos2α +cos2β 是否存在最大值与最小值?如 果存在,请求出,如果不存在,说明理由。

练习:
1、求y=3sinx+4cosx的值域(其中x为锐角)。 2、求y

? x ? 1? x

2

的值域。

3、已知函数f(x)=cosθsinx-sin(x-θ)+(tanθ-2)sinxsinθ的最小值为0,求sinθ的值。 4、已知函数f(x)=2asin2x-2 3asinxcosx+a+b的定义域

? ,π]值域是[2,5]求a,b的值。 是[ 2


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