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2014-2015学年第二学期河北省保定市八校联合体高一期末联考(理)


2014-2015 学年第二学期河北省保定市八校联合体高一期末联考 数学试卷
(满分 150 分,考试时间:120 分钟)

一、

(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的)
1. 过两点 A (?2, m) ,B( m , 4) 的直线倾斜角是 45 ,则 m 的值是( ) 。 (A) ?1 (B ) 3 (C) 1 (D) ?3 )
?

2、圆 C1: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 与圆 C2: ( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 16 的位置关系是( (A)外离 3. 函数 y ? (B)相交 ) (C)内切 (D)外切

x2 ? 3x ? 2 的定义域是( ? A? ?1, 2 ? ? ? B?? ? ?, 1 ? ? ? 2 ,? ?
16 ? 3
32 ? 3

?C ??1, 2 ?
) (C) 16?

,1 ? D?? ? ? ? ??
(D) 24?

2 ,? ? ?

4.一个球的表面积是 16? ,那么这个球的体积为( (A) (B)

5. 在 ?ABC 中, B ? 45? , C ? 60? , c ? 1 ,则最短边的边长等于( )

? A?

6 3
2

? B?

6 2


?C ?

1 2

? D?

3 2

6. 下面四个不等式解集为 R 的是(

? A? ? x ? x ?1≥ 0 ?C ? x2 ? 6x ?10 ? 0


? B ? x2 ? 2 5x ? 5 ? 0 ? D? 2x2 ? 3x ? 4 ? 0
d1 d2

7. 若 a ? b ,两个等差数列 a , x1 , x2 ,b 与 a , y1 , y2 , y3 ,b 的公差分别为 d1 ,d2 ,则 等于(

? A?

3 2

? B?

2 3

?C ?

4 3

? D?

3 4


8. 已知直线 l1 : x ? 2ay ?1 ? 0, 与l2 : (2a ?1) x ? ay ?1 ? 0 平行,则 a 的值是( (A)0 或 1 (B)1 或

1 1 1 (C)0 或 (D) 4 4 4 2 2 2 2 sin a3 cos a6 ? sin a6 cos a3 9、 设等差数列 ?an ? 满足 公差 d ? (?1, 0) , 当且仅当 n ? 9 时, ? 1, sin(a4 ? a5 )
数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值,求该数列首项 a1 的取值范围( )

A

(

7? 4? , ) 6 3

B ? , ? 6 3 ? ?

? 7? 4? ?

C (

4? 3? , ) 3 2

D?

? 4? 3? ? , ? 3 2 ? ?

10、如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 垂直 底面 A1B1C1 ,底面三角形 A1B1C1 是正三角形, E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( (A) CC1 与 B1E 是异面直线 (C) AE , B1C1 为异面直线,且 AE ? B1C1 (B) AC ? 平面 ABB1 A 1 (D) AC 1E 1 1 // 平面 AB ) 。

? A? 2

? B ? ?1

?C ? ? 2

? D ?1
.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.)
11. 在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 ,且公比 q ? 1 ,则 a3 ? 12、在 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,重心为 G ,若

??? ? ??? ? ??? ? ? 2aGA ? 3bGB ? 3cGC ? 0 ;则 cos B ?
13.已知直线 l1 : x ? 2ay ?1 ? 0, 与l2 : (2a ?1) x ? ay ?1 ? 0 平行,则 a 的值是 . .

2 2 2 C 所对的边分别是 a 、b 、c , 14. 在 ?ABC 中,A 、B 、 已知 a ? b ? c ? 2ab , 则C ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)
15. (本小题满分 8 分) 在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式. (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 16.(本小题满分 8 分) 在 ?ABC 中,已知 b ? 8cm , c ? 3cm , cosA ? (Ⅰ)求 a 的值,并判定 ?ABC 的形状; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积。 17.(本小题满分 8 分)

3 . 16

已知递增的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 、 a4 的等差中项。求数列

?an ? 的通项公式。
18、 (本小题満分 8 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 .将 ?ADC 沿 AC

折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ⊥平面 ACD ; (Ⅱ)求几何体 A ? BCD 的体积. D D C C 19(本小题满分 9 分) A A 图2

B

B

图 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 21 x ? 4y ? 3 ? 0 .

(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P ( x1 , y1 ) 向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有 PM ? PO , 求使得 PM 取得最小值的点 P 的坐标 20. 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,对一切 n ? N * ,点 ? ? n,

? ?

Sn ? a ? 都在函数 f ( x) ? x ? n 的图象上 n ? 2x

(1)求 a1 , a 2 , a3 , 归纳数列 ?a n ? 的通项公式(不必证明) ; (2)将数列 ?a n ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ) , ?a 2 , a3 ) , ?a 4 , a5 , a 6 ) ,

?a7 , a8 , a9 , a10 ) ; ?a11 ) , ?a12 , a13 ? , ?a14 , a15 , a16 ) , ?a17 , a18 , a19 , a 20 ) ; ?a 21 ) ,…..,
分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 ?bn ? , 求 b5 ? b100 的值; (3)设 An 为数列 ?

? a n ? 1? an ? 3 对一切 ? 的前 n 项积,若不等式 An a n ? 1 ? f (a ) ? 2a ? an ?

n ? N * 都成立,其中 a ? 0 ,求 a 的取值范围

高二数学试卷答案
一、选择题 CDBBA 二、填空题 11.4;12. CCCCC

1 1 ; 13. 0 或 ;14. 450 12 4

三、解答题:

15..解: (1)

? an为等比数列且

a4 3 =q ? 8; a1

? q ? 2, an ? 2?2n?1 ? 2n
? a3 ? b3 ? 23 ; a5 ? b5 ? 25 , 又因为b n为等差数列 ? b5 ? b3 ? 2d ? 24;? d ? 12
(2) a1 ? a3 ? 2d ? ?16;

所以Sn ? ?16n ?

n(n ? 1) 12 ? 6n 2 ? 22n 2

16.(本小题满分 8 分) 在 ?ABC 中,已知 b ? 8cm , c ? 3cm , cosA ?

(Ⅰ)求 a 的值,并判定 ?ABC 的形状; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积。 3 解: (1)在 ?ABC 中,∵ cosA ? 代入余弦定理得, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 64 , 16 ∴ a ? 8( cm ) ∴ a ? b ? 8(cm ) ………7′ ∴ ?ABC 为等腰三角形。………9′
247 3 ∴ sinA ? 16 16 1 3 247 (cm 2 ) ∴ S?ABC ? bc ? sinA ? 2 4 17.(本小题满分 8 分)

3 . 16

(2)∵ cosA ?

已知递增的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 、 a4 的等差中项。求数列

?an ? 的通项公式。
解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,依题意:有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ①, 又 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,

?a ? 32 ?a1q ? a1q 3 ? 20 ? a1 ? 2 ? 1 ? 将①代入得 a3 ? 8 ,∴ a2 ? a4 ? 20 ∴ ? 2 ,解得 ? 或? 1 , ?q ? 2 ? ?q ? ?a1q ? 8 ? 2 又 ?an ? 为递增数列.
∴ a1 ? 2, q ? 2 ,∴ an ? 2n . 18、 (本小题満分 8 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 .将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ⊥平面 ACD ; (Ⅱ)求几何体 A ? BCD 的体积. D D C C A 图2

A 图1

B

B

2 2 2 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ∵ BC ? 面 ABC ,∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD

另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ADC ? 面 ABC ,面 ADC ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD
2 2 2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高. BC ? 2 2 , S? ACD ? 2 所以 VA? BCD ? VB ? ACD ?

1 1 4 2 Sh ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3
4 2 3

∴几何体 A ? BCD 的体积为 19(本小题满分 9 分)

已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P ( x1 , y1 ) 向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有 PM ? PO , 求使得 PM 取得最小值的点 P 的坐标 解:(1)? 切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零, (a ? 0) ? 设切线方程为 x ? y ? a , 又? 圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ,? 圆心 C (?1, 2) 到切线的距离等于圆的半径 2 ,
2 2

?

?1 ? 2 ? a 2

? 2 ? a ? ?1, 或a ? 3,

则所求切线的方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0 。 (2)? 切线 PM 与半径 CM 垂直,? PM
2

? PC ? CM ,

2

2

?( x1 ? 1) 2 ?( y1 ? 2)2 ? 2 ? x12 ? y12 ,?2x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0,

? 动点 P 的轨迹是直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 , PM 的最小值就是 PO 的最小值,而 PO 的最小值
为 O 到直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离 d=

3 5 , 10

9 3 ? 2 ? 2 x1 ? ? ? x1 ? y1 ? ? ?? 3 3 ? 20 10 ?? ? 所求点坐标为 P ( ? , ) . ? 10 5 ? 2 x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0 ?y ? 3 1 ? 5 ?
20. .解: (1)因为点 ( n,

Sn a ) 在函数 f ( x ) ? x ? n 的图象上, n 2x S a 1 2 故 n ? n ? n ,所以 S n ? n ? an . n 2n 2 1 令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ; 2 1 令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 4 ? a2 ,所以 a2 ? 4 ; 2 1 令 n ? 3 ,得 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ? a3 ,所以 a3 ? 6 . 2

由此猜想: an ? 2n (2) 因为 an ? 2n( n ? N ) , 所以数列 ?an ? 依次按 1 项、 2 项、 3 项、 4 项循环地分为 (2) ,
*

(4,6) , (8,10,12) , (14,16,18,20) ; (22) , (24,26) , (28,30,32) , (34,36,38, 40) ; (42) ,…. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号, 故 b100 是第 25 组中 第 4 个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差 数列,且公差为 20. 同理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数 分别组成的数列也都是等差数列, 且公差均为 20. 故各组第 4 个括号中各数之和构成等差数列, 且公差为 80. 注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68, 所以 b100 ? 68 ? 24 ? 80 ? 1988 .又 b5 =22,所以 b5 ? b100 =2010.………………8 分

an ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? ,故 An ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) , an an a1 a2 an 1 1 1 所以 An an ? 1 ? (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? ) 2n ? 1 . a1 a2 an a ?3 a a ?3 3 ?a? n ? n ? a? 又 f (a) ? n , 2a 2a 2a 2a a ?3 * 故 An an ? 1 ? f (a ) ? n 对一切 n ? N 都成立,就是 2a 1 1 1 3 * 对一切 n ? N 都成立.……………9 分 (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? ) 2n ? 1 ? a ? a1 a2 an 2a 3 1 1 1 设 g (n) ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) 2n ? 1 ,则只需 [ g ( n)]max ? a ? 即可. 2a a1 a2 an
(3)因为

g (n ? 1) 1 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 4n2 ? 8n ? 3 ? (1 ? )? ? ? ? ? 1, g (n) an?1 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 4n2 ? 8n ? 4 3 所以 g (n ? 1) ? g (n) ,故 g (n) 是单调递减,于是 [ g (n)]max ? g (1) ? . 2
由于

3 3 ? a ? ,………………………………………………………………………12 分 2 2a (a ? 3)(2a ? 3) 3 即 ? 0 ,解得 ? ? a ? 0 ,或 a ? 3 . a 2
令 综上所述,使得所给不等式对一切 n ? N 都成立的实数 a 的取值范围是 (?
*

3 , 0) ? ( 3, ??) . 2


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