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高二数学圆的方程6


例1 自点A(?3, 3)发出 的光线l 射到x轴上,被 x 轴反射,其反射光线 所在直线与圆 x2 + y2 ? 4x ? 4y + 7 = 0相切,求 光线l 所在直线的方程. 3x + 4y ? 3 = 0或4x + 3y + 3 = 0.
说明:本题解法在直观分析的基础 上,采用对称的方法使用“反射”这 个条件. 它说明解几何题一定要注重直 观分析,注意挖掘图形的几何性质.

例2 一个动圆与直线x = 5相切,且 与圆x2 + y2 + 2x – 15 = 0外切,求动圆 2 + 20x – 80 = 0. y 圆心的轨迹方程. 说明:在上述解法 分析:如图,动圆 中,根据题意得出动圆 与直线x = 5相切,圆心 圆心必在直线 x = 5 的左 到此直线的距离等于半 边,从而去掉绝对值符 径;又两圆外切时,两 号,大大简化了计算, 圆圆心距等于两圆半径 否则,要对|5 – x |进行 思考:若两 2 + 4x = 0. 圆内切,则 之和,据此可用直接法 y 讨论,解题过程要复杂 结论如何? 写出轨迹方程. 得多.

例3 已知实数x, y满足条件
x2 + y2 – 2x = 0,求
4? 7 4? 7 ?k? 3 3

y?2 x ? 1 的取值范围.

变形:在例3的条件下,求2x + y 的最值. 最大值2 + 5;最小值2 – 5 . 说明2:例3及其变形除转化为直 说明 1 :解题时应注意问题的转 线与圆的位置关系求解外 , 也可用三 化,合理使用数形结合的方法. 角换元法(即用圆的参数方程)求解.

例4 求过两已知圆x2 + y2 – 4x + 2y = 0,x2 + y2 – 2y – 4 = 0的交点, 且圆心在直线2x + 4y = 1上的圆的 方程. 分析:用圆系方程 较简.

x2 + y2 – 3x – y – 1 = 0.

说明:(1)过两圆C1: x2 + y2 +D1x +E1y +F1 = 0和C2: x2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0 的交点的圆系方程,一般设 为 x2+y2 +D1x +E1y +F1+λ(x2 + y2 +D2x +E2y+F2) = 0 (λ为参数) ( * ) 此方程不包括圆C2.

说明:(2) 若λ = – 1,则 当两圆相交时,方程(*)即为公共弦 所在直线的方程; 当两圆外切时,方程(*)即为内公切 线方程; 当两圆内切时,方程(*)即为外公切 线方程.

小结:通过本单元的学习,我们应理 解掌握以下几个问题: 1.圆的一般方程与标准方程的应用. 2.直线与圆及圆与圆的位置关系的判 断. 3.直线与圆相交经常要解决的问题: (1) 弦长的求法; (2) 弦的中点的求法. 4.会求切线的方程与切线的长. 5.圆系方程的应用.

作业
1.《数学之友》T7.28.
2. 阅读教材P128—131参考例题. 3. 教材P88第1、2题及P89第5、 7题(书上). 4.思考题:教材P89第10、11题.

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