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2015年甘肃省第一次高考诊断考试文科数学试卷


2015 年甘肃省第一次高考诊断考试 文科数学试卷
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自已的姓名、准考 证号填写 答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 时,将合案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ≤ 1

?

?

,集合 B ? Z ,则 A∩B ?

A.?0?

B.? x ?1 ≤ x ≤ 1?
1? i 为 1? i B.1 ? i

C.??1, 0,1?

D.?

2.设是虚数单位,复数 Z ? 1 ?

A.1 ? i

C. ? 1 ? i

D. ? 1 ? i

3.已知向量 a = (m, ?2), b ? (4, ?2m) ,条件 p : a ∥ b ,条件 q : m ? 2 ,则 p 是 q 的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 1 4.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x 的一个对称中心是 2 ? ? ? A.( , 0) B.( , 0) C.(? , 0) 3 6 6 3 5.设 a ? ( )0.1 , b ? lg(sin 2) , c ? log 3 2 ,则 a, b, c 的大小关系是 2 A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c
6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

D. 既不充分也不必要

D.(?

?
12

, 0)

D. b>c>a

A. (

3 ? 2)? 2 3 ? 4)? 3 3 ? 2)? 6

B. (

C. (

D. (

3 ? 2)? 3

7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

A. 6 C. 10

B. 8 D. 15

?2 x ? 2 y ≥ 1, ? 8.若 x,y 满足约束条件 ? x ≥ y, 则 3 x ? 2 y 的取值范围 ?2 x ? y ≤ 1, ?
5 A. [ ,5] 4 5 C. [ , 4] 4
9.已知 x>, y>0 ,且

7 B. [ ,5] 2 7 D. [ , 4] 2

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y>m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y
B. (0, 2) C. (?4, 2) D. (?2, 4)

A. (0, 2]
10. P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点, M , N 分别是 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 圆和 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 上的点,则 9 16

PM ? PN 的最大什值为

A. 8

B. 9

C. 10

D. 7

11.若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? c<0 的解集为 x ?2<x<1 ,对于任意的 t ? [1, 2] ,函数

?

?

1 f ( x) ? ax 3 ? (m ? ) x 2 ? cx 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,则 m 的取什值范围是 2

A. ?

14 <m< ? 3 3
2

B. ? 3<m< ? 1
2

C. ?

14 <m< ? 1 3

D. ? 3<m<0

12.已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 和两点 A(? a,1), B (a, ?1) , 且 a>0 , 若圆 C 上存在点 P , 使得 ?APB ? 90 , 则 a 的最大值为

A. 6

B. 35

C. 2 6

D. 5

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.第 22~24 题为选考题, 考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.若 △ ABC 的三边为 a, b, c ,它的面积为

a 2 ? b2 ? c2 ,则 tan C ? _________________ . 4

14.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的顶点在同一个球面上, AB ? 3, AC ? 4, AA1 ? 2 6, ?BAC ? 90 ,则球的表面积

________________ .
15.高三某学习小组对两个相关变量收集到 6 组数据如下表: x y 10 39 20 28 30 m 40 n 50 43 60 41

由最小二乘法得到回归直线方程,发现表中有两个数据模糊不清,则这两个数据的和是_____________.

x2 y 2 16.过双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的右顶点 A 做斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点 a b
分别为 B, C ,若 AB ?

1 BC ,则双曲线的离心率为_____________________. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前项和为 S n 且

1 1 1 ( n? N* ) ? ? Sn n n ? 1

(I)求 a1 及数列 ?an ? 的通项公式 an ; (II)设数列 ?

? an ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . n ?1 ? ?2 ?

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥

P ? ABCD 中 , AB ∥ CD, AB ? BC ,

PA ? 2CD ? 2 BC ? 2, PB ? 2 2 , PD ? 6 , E 为 PD 上一点.
(I) 求证: PA ? 平面 ABCD ;.

(II)若三棱锥 E ? ACD 的体积为

1 ,求点 E 到平面 PAB 的距离. 6

19.(本小题满分 12 分) 在 APEC 会议期间,北京放假六天,铁路部门再开五地旅游专列,现用分层抽样的方法从去淅江、四川、江 西、湖南、陕西五地旅游人员中抽取若干人成立旅游爱好者协会,相关数据统计如下: 旅游地 淅江 四川 江西 湖南 陕西 ( I )求 a, b, c, d 的值; (II)若从去江西和陕西两地已抽取的人数中选 2 人担任旅游爱好者协会会长, 求这两人来自不同旅游地的概 率. 相关人数 30 b 24 c 12 抽取人数 a 1 4 3 d

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点 (2,1) . ( I ) 求抛物线的标准方程; ( II )与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线: y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N ,若抛物线上一点
2 2

C 满足 OC ? ? (OM ? ON ) (其中 ?>0, O 为坐标原点),求 ? 取值范围。

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? e ( ? x ? b) 在点 P (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 3 x ? 3 .
x 2

( I ) 求函数 f ( x) 的单调递减区间; ( II )当 x ? (?1, ??) 时, f ( x) ? x e ? 2 xe ≥ m( x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 x x

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答题第一题评分;多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分 10 分) 如图, 点 C 是圆 O 的直径 BE 的延长线上一点, AC 是圆 O 的 为切点, ?ACB 的平分线 CD 与 AB 相交于点 D ,与 AE 相交于 ( I ) 求 ?ADF 的度数; ( II )若 AB ? AC ,求 切线,A 点F .

AC 的值. BC

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? x ? ? t ? 2, ? ? 5 在直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ? (为参数),以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴 ? y ? 4 t, ? 5 ?
建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin ? . ( I )若 a ? 2 ,求圆 C 的直角坐标方程与直线的普通方程; ( II )设直线截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍,求 a 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 5 ,且 f ( x) ≥ m 恒成立. ( I )求 m 的取值范围; ( II ) 当 m 取最大 值时,解关 于 x 的不等 式 :

x ? 3 ? 2 x ≤ 2m ? 8
.



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