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2016高考数学(理)二轮复习课件2.3.2三角恒等变换与解三角形_图文

第二讲 三角恒等变换与解三角形 【备考策略】本部分内容在备考时应注意以下几个方面: (1)加强对三角函数定义的理解,掌握同角三角函数的基本关系式和 诱导公式. (2)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式. (3)掌握正弦定理及余弦定理,掌握求三角形面积的方法. 预测2016年命题热点为:(1)三角函数的概念与其他知识相结合; (2)以三角变换为基础,考查三角函数式的求值、三角函数的图象和 性质. (3)结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形. 【知识回顾】 1.必记公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sinα cosβ ±cosα sinβ ①sin(α ±β )=_______________________. cosα cosβ ?sinα sinβ ②cos(α ±β )=______________________. ③tan(α ±β )= tan? ? tan? . 1 tan?tan? (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sinα cosα ①sin2α =____________. cos2α -sin2α 2cos2α -1 1-2sin2α ②cos2α =_____________=_________=_________. ③tan2α = 2tan? . 2 1 ? tan ? (3)两个定理 ①正弦定理 a b c ? ? ? 2R (2R为△ABC外接圆的直径). sin A sin B sin C 2RsinA 2RsinB 2RsinC 变形:a=_______,b=_______,c=_______; a b c sinA= 2R ,sinB= 2R ,sinC= 2R ; sinA∶sinB∶sinC a∶b∶c=_________________. ②余弦定理 a2+b2-2abcosC b2+c2-2bccosA 2=_____________,c a2+c2-2accosB 2=_____________. a2=_____________,b b2 ? c2 ? a 2 推论:cosA= 2bc a 2 ? b2 ? c2 cosC= . 2ab a 2 ? c2 ? b2 ,cosB= , 2ac 2bccosA 2+c2-b2=________,a 2accosB 2+b2-c2=________. 2abcosC 变形:b2+c2-a2=________,a 2.重要性质及结论 (1)判断三角形形状的常用结论 等腰三角形 ①sinA=sinB且A+B≠π ?___________; ? A=B或A+B= 等腰或直角三角形; ②sin2A=sin2B?_____________ 2 ?___________ A=B ?_____ 等腰三角形; ③cosA=cosB?____ A=B ?_____ 等腰三角形; ④cos2A=cos2B?____ A=B ?_____ 等腰三角形; ⑤sin(A-B)=0?____ 等边 三角形; ⑥A=60°且b=c?_____ B=60° ⑦A,B,C成等差数列?_______; 锐角 三角形(A为___ 锐 角); ⑧a2<b2+c2(A为三角形中的最大角)?三角形为_____ 直角 三角形(A为___ 直 角); ⑨a2=b2+c2?三角形为_____ 钝角 三角形(A为___ 钝 角). ⑩a2>b2+c2?三角形为_____ (2)射影定理:a=bcosC+ccosB. b=acosC+ccosA. c=acosB+bcosA. 3.必用技法 (1)常用方法:换元法、配凑法、定义法. (2)主要思想:数形结合、转化与化归、函数与方程. 【考题回访】 1.(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( A. ? 3 2 B. 3 2 C. ? 1 2 D. 1 2 ) 【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30°= 1 . 2 1 ,则 sin( ? ? 2?)=________. 3 2 【解析】因为cosα = 1 ,所以 sin( ? ? 2?) =cos2α =2cos2α -1 2 3 1 7 ? 2 ? ?1 ? ? . 9 9 7 答案: ? 9 2.(2015·临沂二模)若cosα = 3.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 sin 2A =__________. sin C b2 ? c2 ? a 2 2a ? sin 2A 2sin Acos A 2bc 【解析】 ? ? sin C sin C c ? a ? b2 ? c2 ? a 2 ? bc2 4 ? (52 ? 62-42 ) ? ? 1. 2 5? 6 答案:1 4.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b= ∠B= . ,∠A= 6 2?,则 3 【解析】由正弦定理得 3 6 ,所以sinB= 2 . ? 2? sin B 2 sin 3 ? . 4 因为B∈ (0, ? ) ,所以B= 答案: ? 4 3 5.(2015·天津高考) 在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b, c,已知△ABC的面积为 3 15 ,b-c=2,cos A=- 1 , 则a的值为 4 _________. 【解析】因为0<A<π,所以sin A= 2 8 1 -cos 2 A ? 又 S△ABC ? 1 bcsin A ? 15 bc ? 3 15, 所以bc=24, b-c ? 2, 解方程组 ? 得b=6,c=4,由余弦定理得 ? ? bc ? 24, 15 , 4 a2=b2+c2-2bccos A=62+42-2×6×4×(- 1 )=64, 4 所以a=8. 答案:8 热点考向一 公式的应用 三角函数的概念

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