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高中数学核心知识点常考题型精析

高中数学核心知识点常考题型精析:导数及其应用(文)
一、导数的概念及其几何意义 1.已知函数 f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于 1,则实数 a 的取值范围是
2

. ) D.a=﹣1,b=﹣1 )

2.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 3.已知点 P 在曲线 y= A. [0, )
2

上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( B. C. D.

4.设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 则点 P 横坐标的取值范围是( A. ) C.[0,1] D. [ ,1]



B.[﹣1,0]

二、导数的运算 5.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( A.?x0∈R,f(x0)=0 B. 函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C. 若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x )在区间(﹣∞,x0)上单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0 )=0 6.若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(﹣1)=( A.﹣4 B.﹣2 C.2
4 2 3 2



) D. 4
3 2

7.给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数,f″(x)是函数 f′(x)的导数,若方程 f″(x) =0 有实数解 x0, 则称点 (x0, (x0) f ) 为函数 y=f (x) 的“拐点”. 对于二次函数 f (x) =ax +bx +cx+d (a≠0),有如下真命题:任何一个二次函数都有位移的“拐点”,且该“拐点”就是 f(x)的对称 中心,给定函数 f(x)= x ﹣ x +3x﹣ +…+f( )=
2 3 2

,请你根据上面结论,计算 f(

)+f(




2

8.设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0} (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α); (Ⅱ)给定常数 k∈(0,1),当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 三、导数在研究函数中的应用 9.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,其 0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则( A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D . c >9 10.抛物线 C1: 的焦点与双曲线 C2:
3 2



的右焦点的连线交 C1 于 )

第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( A. B. C. D.

1

11.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f (x)的极大值点,以下结论一定正确的是( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B. ﹣x0 是 f(﹣x)的极小值点 C. ﹣x0 是﹣f(x)的极小值点
3 2 2



D.﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点

12.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2,若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 3 (f(x)) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为( ) A. 3 B. 4 C.5 函数 y=xf′(x)的图象可能是( A. B. ) D. 6

13.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值,则

C. 14.设函数 f(x)= +lnx,则( A. x= 为 f(x)的极大值点

D. ) B. x= 为 f(x)的极小值点

C. x=2 为 f(x)的极大值点
2

D.x=2 为 f(x)的极小值点

15.已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2,过 P,Q 分别作抛物 线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( ) A. 1
2

B. 3

C.﹣4 ) C.[1,+∞)

D.﹣8

16.函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为( A.(﹣1,1] B.(0,1]

D.(0,+∞)

17.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期 2π 的偶函数,f′(x)是函数 f(x)的导函数,当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π),且 x≠ (x)﹣sinx 在[﹣2π,2π]上的零点个数为( A. 2
4 2

时,(x﹣

)f′(x)>0,则函数 y=f

) C.5 D. 8 ) D.﹣6

B. 4

18.已知曲线 y=x +ax +1 在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为 8,a=( A. 9 B. 6 C.﹣9
3 2

19.已知 f(x)=x ﹣6x +9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( A.①③ ) C.②③ D.②④ B.①④

2

20.设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R),若 x=﹣1 为函数 y=f(x)e 的一个极值点,则下 列图象不可能为 y=f(x)的图象是( ) A. B. C. D.

2

x

21. 若 a>0, b>0, 且函数 f (x) =4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于 ( A. 2 B. 3 C.6 D. 9 22.函数 f(x)=ax (1﹣x) 在区间(0,1)上的图象如图所示,则 n 可能是(
n 2

3

2





A. 1

B. 2

C.3

D. 4

23.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 )

D.7 万件
2 2

24.已知函数 y=f(x)满足下列条件:(1)对?x∈R,函数 y=f(x)的导数 f′(x)<0 恒成立; (2)函数 y=f(x+2)的图象关于点(﹣2,0)对称;对?x、y∈R 有 f(x ﹣8x+21)+f(y ﹣6y) >0 恒成立.则当 0<x<4 时,x +y 的取值范围为( ) A.(3,7) B.(9,25) C.[9,41) 25. “a≤﹣1”是“函数 f(x)=lnx+ax+ 在[1,+∞)上是单调函数”的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 如图所示. x f(x) ﹣1 1 0 2 2 0 3 2 4 0 ) B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

D.(9,49) )

26.已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,4],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图象

当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 的零点的个数为(

A. 2

B. 3

C.4

D. 5

3

27.已知函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(x) 成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数),若 a= 则 a,b,c 的大小关系是 ( A.c>a>b ) C.a>b>c D . a >c > b . . . . . . (a3+a4+…an),则 q= f( ),b=f(1),c=(log2 )f(log2 ),

B.c>b>a

28.设无穷等比数列{an}的公比为 q,若 a1=

29.若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行与直线 2x﹣y+1=0,则点 P 的坐标是 30.曲线 y=﹣5e +3 在点(0,﹣2)处的切线方程为
4 3 2 2 x



31.设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x ﹣x +ax+b≤(x ﹣1) ,则 ab 等于 32.已知函数
α

在 x=3 时取得最小值,则 a=

33.若曲线 y=x +1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α= 34.若曲线 y=ax ﹣lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=
2 2 2 2

35.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已知曲线 C1: y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a= . 36.设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= . .

37.曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 38.计算 = .
*

39.将直线 l1:x+y﹣1=0、l2:nx+y﹣n=0、l3:x+ny﹣n=0(n∈N ,n≥2)围成的三角形面积记 为 Sn,则 = .

40.已知函数 f(x)=x ﹣3a x﹣6a +3a(a>0)有且仅有一个零点 x0,若 x0>0,则 a 的取值范 围是 . 41.若函数 f(x)=x ﹣ lnx+1 在其定义域内的一个子区间(a﹣1,a+1)内存在极值,则实数 a 的取值范围 .
2 2

3

2

2

42.已知函数 f(x)=﹣ x ﹣3x+4lnx 在[t,t+1]上不单调,则实数 t 的取值范围是 43. f(x)=ax ﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= 44. 设 n∈N , 圆
* 3

. .

的面积为 Sn, 则

=



4

45.已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 垂直于直线 y= x. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间与极值.

46.己知函数 f(x)=x e (Ⅰ)求 f(x)的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

2

﹣x

47.已知函数 f(x)=x ﹣ ax (a>0),x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)?f(x2)=1,求 a 的 取值范围.

2

3

48.设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (Ⅲ)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

49.已知函数 f(x)=(4x +4ax+a ) ,其中 a<0. (1)当 a=﹣4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值.

2

2

50.已知函数 f(x)=xcosx﹣sinx+1(x>0). (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(i∈N )个零点,证明:对一切 n∈N ,有
* *

+

+…+

< .

5

51.π 为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 f(x)=
3 e π e

的单调区间;
π 3

(Ⅱ)求 e ,3 ,e ,π ,3 ,π 这 6 个数中的最大数与最小数.

52.设函数 f(x)=alnx+ 为 0, (1)求 b;

x ﹣bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率

2

(2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)<

,求 a 的取值范围.

53.函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0). (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.

3

2

54.已知函数 f(x)= x +x +ax+1(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a<0 时,试讨论是否存在 x0∈(0, )∪( ,1),使得 f(x0)=f( ).

3

2

55.已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切 线斜率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x <e ; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce .
x 2 x

x

56.设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x ﹣x ,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

2

3

57.已知函数 f(x)=e (ax+b)﹣x ﹣4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为 y=4x+4. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

x

2

6

58.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;



(Ⅱ)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

59.设函数 f(x)=x ﹣kx +x(k∈R). (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k<0 时,求函数 f(x)在[k,﹣k]上的最小值 m 和最大值 M.

3

2

60.已知函数 f(x)= x+ ,h(x)=
2


2

(Ⅰ)设函数 F(x)=18f(x)﹣x [h(x)] ,求 F(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a∈R,解关于 x 的方程 lg[ f(x﹣1)﹣ ]=2lgh(a﹣x)﹣2lgh(4﹣x); (Ⅲ)设 n∈N ,证明:f(n)h(n)﹣[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥ .
n

61.设 0<a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x ﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 f(x)=2x ﹣3(1+a)x +6ax 在 D 内的极值点.
3 2

2

62.设函数 f(x)= +sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. (Ⅰ)求数列{xn}. (Ⅱ)设{xn}的前 n 项和为 Sn,求 sinSn.

63.已知函数 (1)讨论 f(x)的单调性;



(2)设 f(x)有两个极值点 x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y=f(x)上,求 a 的值.

64.已知函数 f(x)=ln(a+x)﹣ln(a﹣x)(a>0). (Ⅰ)曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=2x,求 a 的值; (Ⅱ)当 x≥0 时,f(x)≥2x+ ,试求 a 的取值范围.
7

65.已知函数 f(x)=lnx﹣ax . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a= 时,证明:存在 x0∈[2,+∞),使 f(x0)=f( ); (Ⅲ)若存在属于区间[1,3]的 α、β,且 β﹣α=1,使 f(α)=f(β),求实数 a 的取值范围.

2

66.设 x=m 和 x=n 是函数 f(x)=2lnx+ x ﹣(a+1)x 的两个极点值,其中 m<N,a>0 (1)若 a=2 时,求 m,n 的值; (2)求 f(m)+f(n)的取值范围; (3)若 a≥ + ﹣1(e 是自然对数的底数),求证:f(n)﹣f(m)≤2﹣e+ .

2

67.已知函数 f(x)=x(a+lnx)有极小值﹣e (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 k∈Z,且

﹣2



对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

68.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+a (a>0)的单调递减区间是(1,2),且满足 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)对任意 m∈(0,2],关于 x 的不等式 f(x)< m ﹣mlnm﹣mt+3 在 x∈[2,+∞)上有解, 求实数 t 的取值范围.
3

3

2

2

69.已知函数 f(x)=x﹣1+

(a∈R,e 为自然对数的底数).

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)当 a=1 时,若直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k 的最大值.

70.已知函数 f(x)=x +2ax+1(a∈R),f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 x∈[﹣2,﹣1],不等式 f(x)≤f′(x)恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f(x)=|f′(x)|; (3)设函数 ,求 g(x)在 x∈[2,4]时的最小值.

2

8


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