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2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文_图文

第2讲

三角恒等变换与解三角形

高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)两角和(差)的正

弦、余弦及正切是C级要求,二倍角的正弦、余弦及正切是
B级要求,应用时要适当选择公式,灵活应用.试题类型可能 是填空题,同时在解答题中也是必考题,经常与向量综合考 查,构成中档题;(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问 题是B级要求,主要考查:①边和角的计算;②三角形形状

的判断;③面积的计算;④有关的范围问题.由于此内容应
用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一 个关注点,不可轻视.

真题感悟
π 4 (2016· 江苏卷)在△ABC 中,AC=6,cos B=5,C= 4 . (1)求 AB 的长;
? π ? (2)cos?A- 6 ? ? ? ?的值. ?



π 4 3 2 (1)由 cos B= , 得 sin B= 1-cos B= .又∵C= , AC 5 5 4

6 AB AC AB =6,由正弦定理,得 = ,即 = ?AB=5 2. sin B 3 π 2 sin 5 2 4

3 4 2 (2)由(1)得:sin B= ,cos B= ,sin C=cos C= , 5 5 2 7 2 则 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 10 , 2 cos A=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C)=- 10 , 则
? π ? cos?A- 6 ? ? ? ?=cos ?

π π 7 2- 6 Acos 6 +sin Asin 6 = 20 .

考点整合 1.三角函数公式
sin α (1)同角关系:sin α +cos α =1, =tan α . cos α
2 2

kπ (2)诱导公式:对于“ ±α ,k∈Z 的三角函数值”与“α 2 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变, 符号看象限.

(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(α± β)=sin α cos β ±cos α sin β ; cos(α± β)=cos α cos β ?sin α sin β ; tan α ±tan β tan(α± β)= . 1?tan α tan β (4)二倍角公式: sin 2α =2sin α cos α , cos 2α = cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α .

2.正、余弦定理、三角形面积公式
a+b+c a b c (1) = = = =2R(R 为 sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C △ABC 外接圆的半径). a 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A=2R, b c sin B=2R,sin C=2R;a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

(2)a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2= a2+b2-2abcos C; b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= 2bc ,cos B= 2ac ,cos C= a2+b2-c2 2ab ; 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 1 1 1 (3)S△ABC=2absin C=2acsin B=2bcsin A.

热点一

三角恒等变换及应用

π 【例 1】 (1)(2015· 重庆卷改编)若 tan α =2tan 5 ,
? cos? ?α ? 则 ? sin? ?α ?

3π ? ? - 10 ? ? =________. π? ? -5? ?
? cos? ?α ? ? π? π? ? 3 ? ? + 6 ?=5,则 cos?2α - 6 ?= ? ? ?

(2)已知 α 为锐角,若 ________.

(3)(2016· 苏北四市模拟)已知

?π cos? ?6 ?

? ?π ? ? +α??cos? 3 ? ?

-α

? ? ?= ?

?π π? 1 ? - ,α ∈? , ? .则 sin 2α =________. 4 2? ?3 ?

解析

? ?π ? 3π? 3π? π? ? ? ? ? ? ? cos?α- sin sin ? 2 +α- 10 ? ?α+ 5 ? 10 ? ? ? ? ? ? ? (1) ? = ? ? = ? ? π π π? ? ? ? ? ? sin?α- ? sin?α- ? sin?α- ? 5? 5? 5? ? ? ? ?

tan α +1 π π π tan 5 sin αcos 5 +cos αsin 5 2+1 = = = =3. π π tan α 2-1 sin α·cos 5 -cos αsin 5 -1 π tan 5

(2)∵α

? π? ? ? 3 为锐角,cos?α+ ?= >0, 6? 5 ?

? π π? 4 ? ∴α+ 6 为锐角,∴sin?α+ ? = , ? 5 6? ?

则 又

? ? ? π? π? π? 4 3 24 ? ? ? ? ? ? sin?2α+ ?=2sin?α+ ?cos?α+ ?=2?5?5=25, 3? 6? ? 6? ? ? ? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? ? 24 cos?2α- ?=sin?2α+ ?,∴cos?2α- ?=25. 6? 3? 6? ? ? ?

?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? ? ? ? ? (3)cos? +α?·cos? -α?=cos? +α?·sin? +α? ? ?6 ? ?3 ? ?6 ? ?6 ? ? π? π? 1 ? 1 1 ? ? ? ? =2sin?2α+ ?=-4,即 sin?2α+ ?=-2. 3? 3? ? ? ?π π? π ? 4π? ? ? ? ? ∵α∈? , ?,∴2α+ 3 ∈?π, ?, 3 2 3 ? ? ? ? ? π? ? ∴cos?2α+ ? ?=- 3 ? ? ? π? ? =sin?2α+ ? cos ? 3? ? ?? ? 3 π? ?? ? π? ?2α+ 3 ?- 3 ? 2 ,∴sin 2α=sin? ? ?? ?

? π π 1 π? ? ? 2α+ 3 ?sin 3 =2. 3 -cos? ? ?

24 1 答案 (1)3 (2)25 (3)2

探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所 求角”用“已知角”表示

(1)当已知角有两个时,“所求角”一般表示为“两个已知
角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”的和 或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知 角”.

2.求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的
范围尽量缩小,避免产生增解.

? π? 2 2? 【训练 1】 (1)已知 sin 2α =3,则 cos ?α + ? =________. 4? ? ? ? 3π ? 5 ? (2)(2016· 南京、 盐城模拟)sin(π -α)=- 且 α∈?π , ? ?, 3 2 ? ?



?π sin? ?2 ?

α? ? + ?=________. 2?

1 (3)(2015· 江苏卷)已知 tan α =-2,tan(α+β)= ,则 tan β 7 的值为________.

解析

(1)法一

cos

2?

? ? ? ? π? π? ? 1? ? ?? ?α+ 4 ?=2?1+cos?2α+ 2 ??= ? ? ? ? ??

1 1 2(1-sin 2α)=6. 法二
? π? ? cos?α+ ? = 4? ? ?
2?

2 2 2 cos α- 2 sin α. 1 α-sin α) =2(1-2sin αcos α)
2

所以 cos

? π? ? 1 ?α+ 4 ?=2(cos ? ?

1 1 =2(1-sin 2α)=6.

? 3π? 5 ? (2)sin(π-α)=sin α=- ,又 α∈?π, ? , 3 2 ? ? ?

∴cos α=- 1-sin α=- 由 cos α=2cos 2 -1, 2 得 cos 2 =- 所以
2

2

? 1-?- ?

2 5?2 ? =- . 3 3?

α

α

?π 3π? ? ∈? , ?2 ?, 4 ? ?

α

cos α+1 6 =- 6 . 2

?π α? ? sin? ? 2 +2?=cos ? ?

α

6 =- . 2 6

(3)∵tan α=-2,∴tan(α+β)= tan α+tan β -2+tan β 1 = = , 1-tan αtan β 1+2tan β 7 解得 tan β=3.
1 6 答案 (1)6 (2)- 6 (3)3

热点二

正、余弦定理的应用 三角形基本量的求解

[微题型 1]

【例 2-1】 (1)(2016· 全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分 4 5 别为 a、b、c,若 cos A=5,cos C=13,a=1,则 b=________. (2)(2016· 四川卷)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, cos A cos B sin C c,且 a + b = c . ①证明:sin Asin B=sin C; 6 ②若 b +c -a = bc,求 tan B. 5
2 2 2

4 5 (1)解析 在△ABC 中由 cos A=5,cos C=13, 3 12 可得 sin A=5,sin C=13,sin B=sin(A+C)= 63 sin Acos C+cos A·sin C=65,由正弦定理得 b asin B 21 = = . sin A 13

21 答案 13

a b c (2)①证明 根据正弦定理,可设sin A=sin B=sin C=k(k>0), cos A cos B sin C 则 a=ksin A, b=ksin B, c=ksin C.代入 a + b = c 中, cos A cos B sin C 有ksin A+ksin B=ksin C,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+ cos Asin B=sin(A+B).在△ABC 中,由 A+B+C=π , 有 sin(A+B)=sin(π -C)=sin C.所以 sin Asin B=sin C.

②解

6 由已知,b +c -a = bc,根据余弦定理,有 5
2 2 2

b2+c2-a2 3 4 2 cos A= = .所以 sin A= 1-cos A= . 2bc 5 5 由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 4 4 3 所以5sin B=5cos B+5sin B. sin B 故 tan B=cos B=4.

探究提高 1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边 的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦 或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显

时,则考虑两个定理都有可能用到.
2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理, 正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变 换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一 角、统一函数、统一结构”.

[微题型 2]

求解三角形中的最值问题

【例 2-2】 (2016· 苏、锡、常、镇调研)已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值.



(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得

sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π -A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 易知 sin C≠0,所以 3sin A-cos A=1, 所以
? π ? sin?A- 6 ? ? 1 ? ?=2.又 ?

π 0<A<π ,所以 A= . 3

? 2π 2π 2π ? ? (2)法一 由(1)得 B+C= ?C= -B?0<B< ? , 由正弦定理得 3 3 3 ? ? ?

2 4 4 4 a b c sin A=sin B=sin C= π = 3,所以 b= 3sin B,c= 3sin C. sin 3

π 1 1 4 4 所以 S△ABC=2bcsin A=2? sin B? sin C?sin 3 3 3
?2π ? 4 3 4 3 ? = 3 sin B?sin C= 3 ?sin B?sin? -B? ?= 3 ? ?

4 3? 3 3 3 1 2 ? ? ? 3 ? 2 sin Bcos B+2sin B?=sin 2B- 3 cos 2B+ 3 π π 7π π π? 2 3 ? 3 ? ? = 3 sin?2B- ?+ 3 .易知- 6 <2B- 6 < 6 ,故当 2B- 6 6? ? π π 2 3 3 = 2 ,即 B= 3 时,S△ABC 取得最大值,最大值为 3 + 3 = 3.

π 法二 由(1)知 A= ,又 a=2,由余弦定理得 22=b2+c2 3 π -2bccos 3 ,即 b2+c2-bc=4?bc+4=b2+c2≥2bc?bc ≤4,当且仅当 b=c=2 时,等号成立. 1 1 3 3 所以 S△ABC=2bcsin A=2? 2 bc≤ 4 ?4= 3,即当 b=c =2 时,S△ABC 取得最大值,最大值为 3.

探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法: (1)将要求的量转化为某一角的三角函数,借助于三角 函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式,借

助于基本不等式求最值.

[微题型3] 求解三角形中的实际问题
【例2-3】 (2016· 无锡高三期末)在一个直角边长为10 m的等腰 直角三角形ABC的草地上,铺设一个也是等腰直角三角形PQR 的花地,要求P,Q,R三点分别在△ABC的三条边上,且要使 △PQR的面积最小,现有两种设计方案: 方案一:直角顶点Q在斜边AB上,R,P分别在直角边AC, BC上;

方案二:直角顶点Q在直角边BC上,R,P分别在直角边AC,
斜边AB上. 请问应选用哪一种方案?并说明理由.

方案一
解 应选方案二,理由如下:

方案二

方案一:过点Q作QM⊥AC于点M,作QN⊥BC于

点N,
因为△PQR为等腰直角三角形,且QP=QR, ∠MQR=∠NQP,∠RMQ=∠PNQ=90°,

所以△RMQ≌△PNQ,所以 QM=QN, 所以 Q 为 AB 的中点,M,N 分别为 AC,BC 的中点, 则 QM=QN=5 m, 5 设∠RQM=α,则 RQ= ,α ∈[0°,45°], cos α 1 25 2 所以 S△PQR=2?RQ = . 2 2cos α 25 2 所以当 cos α =1,即 α=0°时,S△PQR 取得最小值 2 m .
2

方案二:设 CQ=x,∠RQC=β,β ∈[0°,90°), x 在△RCQ 中,RQ= ,在△BPQ 中,∠PQB=90°-β, cos β 10-x QP BQ x 所以sin B= ,即 = . sin ∠BPQ sin(45°+β) 2 cos β 2 10-x 10cos β x 化简得 = ,解得 x= , cos β sin β +cos β sin β +2cos β 1 50 2 所以 S△PQR=2?RQ = , (sin β +2cos β )2 因为(sin β +2cos β )2≤5,所以 S△PQR 的最小值为 10 m2. 综上,应选用方案二.

探究提高 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步: (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解

题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方位
角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用 正、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否 具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.

【训练 2】 (2016· 浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B, C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; a2 (2)若△ABC 的面积 S= 4 ,求角 A 的大小.

(1)证明 由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)

=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π), 故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.

a2 1 a2 (2)解 由 S= 4 得2absin C= 4 , 1 故有 sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B, 2 因 sin B≠0,得 sin C=cos B.又 B,C∈(0,π ), π π π 所以 C= ±B.当 B+C= 时,A= ; 2 2 2 π π π π 当 C-B= 时,A= .综上,A= 或 A= . 2 4 2 4

1.对于三角函数的求值,需关注: (1)寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练

准确地应用公式;
(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常 规技巧的运用; (3)对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻 找解题的突破口,对于很难入手的问题,可利用分析法.

2.三角形中判断边、角关系的具体方法: (1)通过正弦定理实施边角转换;(2)通过余弦定理实施

边角转换;(3)通过三角变换找出角之间的关系;(4)通
过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性 进行讨论;(5)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时 需作出这些三角形,先解条件多的三角形,再逐步求 出其他三角形的边和角,其中往往用到三角形内角和

定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程
(组)求解.

3.解答与三角形面积有关的问题时,如已知某一内 1 角的大小或三角函数值,就选择 S= absin C 来 2 求面积, 再利用正弦定理或余弦定理求出所需的 边或角.


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