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1.2.2空间几何体的直观图


1.2.2 空间几何体的直观图
一、学习目标
1.了解斜二测画法的概念; 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和空间几何体的直观图; 3.通过观察三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式及不通行时间的联系。

二、学习过程
(一)预习案
1.温故知新
(1)几何体三视图中的正视图,反映了物体的 和 ;侧视图反映了物体的 和 ;俯视图反映了物体的 和 。 (2)除了三视图, 图也是表示空间几何体的一种方法。

2.新知导学
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图: ①画轴:在已知图形中取互相

x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O .画直观图时,把它们画成
(或 ) ,它们确定的平面

相应的 x? 轴和 y ? 轴,两轴相交于点 O? ,且使 ?x?o?y? = 表示水平面。

②画线: 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画成 线段。 ③取长度:已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度

于 x? 轴或 y ? 轴的

,平行于 y 轴的线

段,长度为原来的 。 (2)用斜二测画法画空间几何体的直观图: ① 在 已 知 图 形 所 在 的 空 间 中 取 水 平 平 面 , 作 互 相 垂 直 的 轴 ox, oy , 再 作 oz 轴 , 使

?xoy ? 90 0 , ?yoz ? 90 0 。
②画出与 Ox, Oy, Oz 对应的 O?x?, O?y?, O?z ? ,使 ?x?o?y ? ? 45 , ?y ?o?z ? ? 90 , x?o?y ? 所确定
0 0

的平面表示水平平面。 ③已知图形中平行于 x 轴、 y 轴、 z 轴的线段,在直观图中分别画成 于 x? 轴、 y ? 轴、

z ? 轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位
置关系相同。 ④已知图形中平行于 x 轴、 z 轴的线段,在直观图中保持原长度 段,长度为原来的 。 ⑤擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,就得到了几何体的直观图。 ,平行于 y 轴的线

3.预习自测
(1)在原来的图形中,两条线段平行且相等,则在斜二测直观图中对应的两条线段( )

A. 平行且相等 B. 平行不相等 C. 相等不平行 D. 既不平行也不相等 (2)下列说法中,正确的有 ( ) A. 角的水平放置的直观图一定是角 B.相等的角在直观图中任然相等 C. 相等的线段在直观图中任然相等 D.若两条线段平行,则在直观图中两条线段任平行 (3)利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形。 以上结论,正确的是( ) A. ①、② B. ① C. ③、④ D. ①、② 、③、④ (4)已知一个正方形的直观图是一个平行四边形, 其中一边长为 4, 则此四边形的面积是 ) ( A. 16 B. 64 C. 16 或 64 D. 以上都不对 (5)水平放置的 ?ABC 的直观图如图所示, 已知 A?C ? ? 3 , B?C ? ? 2 ,则原图中 AB 边上 B? 的实际长度为多少/

y?

(二)探究案
1.平面图形的直观图(阅读课本 16 页内容)

O? (C ?) A?

x?

问题 1:画水平放置的平面图形的直观图,关键是什么? 问题 2:在原图形中取两条互相垂直的数轴时,你觉得怎样取比较合适? 问题 3: 你认为画水平放置的平面图形的直观图的关键的地方都有哪些?请简单总结画水平 放置的平面图形的直观图的步骤。

2.空间几何体的直观图的画法(阅读课本 17 页内容)
问题 1:画空间几何体的直观图,步骤都有哪几个? 问题 2: 画空间几何体的直观图与画水平放置的平面图形的直观图的步骤上有哪些不同的地 方? 问题 3:你认为画空间几何体的直观图的关键的地方都有哪些?

3.典型例题
例 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

变式训练 1 画边长为 2cm 的水平放置的正三角形的直观图。

例 2 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的直 观图。

变式训练 2 用斜二测画法画五棱锥 P-ABCDE 的直观图,其中底面 ABCDE 是正五边形,点 P 在底面的投影是正五边形的中心 O .

例 3 已知几何体的三视图画, 用斜二测画法画出它的直观图。

正视图

侧视图

俯视图

变式训练 3:如图所示是一个空间几何体的 三视图,试用斜二测画法画出它的直观图。

正视图

侧视图

三、总结提升

俯视图

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图其主要步骤可简记为: (1)画轴; (2)平行 不变性; (3)横相等,纵减半。另外,在原图上画轴时要注意两个原则: (1)使原图上的点 尽可能多的落在 x 轴和 y 轴上; (2)尽量利用原图的对称关系。 2.画空间几何体的直观图的画法步骤为;画轴、画底面、画高、成图。它与平面图形直观图的 画法规则相比只是多了一个 z 轴和它的平行射影 z ? 轴,并且使平行于 z ? 轴的线段的平行性 和长度都不变。

四、检测与反馈
1.根据斜二测画法的规则画直观图时,把 Ox 、 Oy 、 Oz 轴画成对应的 O ?x ? 、 O ?y ? 、 O ?z ? , 作 ?x ?O ?y ? 与 ?x ?O ?z ? 的度数分别为( ) A. 90 ? ,90 ? B. 45 ? ,90 ? C. 135 ? ,90 ? D. 45 ? 或 135 ? ,90 ? ( )

2.关于“斜二测”直观图的画法,如下说法正确的是 A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 C.正方形的直观图为平行四边形

B.梯形的直观图可能不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形

3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此正方形的面积是 ( ) A.16 B.64 C.16 或 64 D.都不对

4.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为 2 的正三角形,则原三角形的面积是 ( )

A. 2 6

B. 4 6

C. 3

D.都不对

5.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原来三角形面积的 ( )

2 2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D. 2 倍 4 2 6.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )
A.

y?

O?
A B C D

x?

7.在用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时,若∠A的两边平行于x轴、y轴且 ∠A=90°,则在直观图中,∠A=________。 8.如图是利用斜二测画法画出的 ?ABO 的直观图。已知

y?
A?
O?

A?B? // y?, O?B? ? 4, 且 ?ABO 的面积为16,过 A? 作
A?C ? ? x 轴,则 A?C ? 的长为


9.如图所示,四边形 ABCD 是一个梯形,

B?
y

C ? x?

CD // AB, CD ? AO ? 1, ?AOD 为等腰直
角三角形, O 为 AB 的中点,试求梯形 ABCD 水平放置的直观图的面积。

D

C
O

A

B

x

10.如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。 P P

?
O?

?
O?

?
O
正视图

?
O
侧视图

?
俯视图



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