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2012高中数学人教A版必修3综合测试题及答案 4


必修 3 综合模块测试(人教 A 版必修 3)
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.分层抽样又称为类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每层各抽若干个个 体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行( ) A.每层等可能抽样 B.每层不等可能抽样 C.所有层用同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽同样多个体,每层都是等可能抽样 [答案] C [解析] 由分层抽样的定义可知,选 C. 2.下列说法正确的有( ) ①随机事件 A 的概率是频率的稳定性,频率是概率的近似值. ②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生. ③任意事件 A 发生的概率 P(A)总满足 0<P(A)<1. ④若事件 A 的概率为 0,则 A 是不可能事件. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 [答案] C [解析] 不可能事件的概率为 0,但概率为 0 的事件不一定是不可能事件,如几何概型 中“单点”的长度、面积、体积都是 0,但不是不可能事件,∴④不对; 抛掷一枚骰子出现 1 点和出现 2 点是不同的基本事件, 在同一次试验中, 不可能同时发 生,故②正确; 任意事件 A 发生的概率 P(A)满足 0≤P(A)≤1,∴③错误;又①正确.∴选 C. 1 1 1 1 3. 如图是计算 + + +?+ 的值的一个程序框图, 其中在判断框中应填入的条件是 2 4 6 20 ( )

A.i<10 B.i>10 C.i<20 D.i>20 [答案] B [解析] 最后一次执行循环体时 i 的值为 10,又条件不满足时执行循环体,∴i=11>10 时跳出循环. 4.一组数据的方差为 s2,将这组数据中的每一个数都乘以 2 所得到的一组新数据的方 差为( )

[答案] C

1

5.在 100 个零件中,有一级品 20 个、二级品 30 个、三级品 50 个,从中抽取 20 个作 为样本. ①将零件编号为 00,01,?,99,抽签取出 20 个; ②采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组中随机抽取 1 个; ③采用分层抽样法,从一级品中随机抽取 4 个,从二级品中随机抽取 6 个,从三级品中 随机抽取 10 个. 对于上述问题,下面说法正确的是( ) 1 A.不论采用哪一种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率都是 5 1 B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率为 ,③并非如此 5 1 C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率为 ,②并非如此 5 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 [答案] A [解析] 由于随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是:每个个体被抽到的概率都 1 相等,所以无论采用哪种抽样方法,这 100 个零件中每个零件被抽到的概率都是 . 5 5 4 2 6. 用秦九韶算法求多项式 f(x)=0.5x +4x -3x +x-1 当 x=3 的值时, 先算的是( ) A.3×3=9 B.0.5×35=121.5 C.0.5×3+4=5.5 D.(0.5×3+4)×3=16.5 [答案] C [解析] 按递推方法,从里到外先算 0.5x+4 的值. 7. 有 2 个人从一座 10 层大楼的底层进入电梯, 设他们中的每一个人自第二层开始在每 一层离开是等可能的,则 2 个人在不同层离开的概率为( ) 1 2 A. B. 9 9 4 8 C. D. 9 9 [答案] D [解析] 设 2 个人分别在 x 层,y 层离开,则记为(x,y)基本事件构成集合 Ω={(2,2), (2,3),(2,4)?(2,10) (3,2),(3,3),(3,4)?(3,10) ? (10,2),(10,3),(10,4)?(10,10)}, 所以除了(2,2),(3,3),(4,4),?,(10,10)以外,都是 2 个人在不同层离开,故所求概率 9×9-9 8 P= = . 9 9×9 1 解法 2:其中一个人在某一层离开,考虑另一个人,也在这一层离开的概率为 ,故不 9 8 在这一层离开的概率为 . 9 8.下列程序计算的数学式是( )
2

[答案] C [解析] 本题是一个递推累加问题,由 T=T*i 经过循环依次得到 1! ,2! ,3! ,?,n! , 由 s=s+1/T 实现累加.故选 C.

[答案] C

10.下面一段程序的目的是(

)

3

[答案] B [解析] 程序中,当 m≠n 时总是用较大的数减去较小的数,直到相等时跳出循环,显 然是“更相减损术”. 11.在所有两位数(10~99)中任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是( ) 5 4 2 1 A. B. C. D. 6 5 3 2 [答案] C

12.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为 A,从集合 A 中任取一个元素 α, 则函数 y=xα x∈[0,+∞)是增函数的概率为( )

3 4 A. B. 7 5 3 3 C. D. 5 4 [答案] C [解析] 当 x 依次取值-3, -2, -1,0,1,2,3 时, 对应的 y 的值依次为: 3,0, -1,0,3,8,15, ∴集合 A={-1,0,3,8,15}, 3 ∵α∈A,∴使 y=xα 在 x∈[0,+∞)上为增函数的 α 的值为 3,8,15,故所求概率 P= . 5 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知直线 l 过点(-1,0),l 与圆 C:(x-1)2+y2=3 相交于 A、B 两点,则弦长|AB|≥2 的概率为________. 3 [答案] 3 [解析] 设直线方程为 y=k(x+1),代入(x-1)2+y2=3 中得,(k2+1)x2+2(k2-1)x+k2 -1=0,∵l 与⊙C 相交于 A、B 两点,∴Δ=4(k2-1)2-4(k2+1)(k2-2)>0,∴k2<3,∴- 3 <k< 3, 又当弦长|AB|≥2 时, ∵圆半径 r= 3,∴圆心到直线的距离 d≤ 2, |2k| 2 即 2≤ 2,∴k ≤1,∴-1≤k≤1. 1+k

4

由几何概型知,事件 M:“直线 l 与圆 C 相交弦长|AB|≥2”的概率 P(M)= =

1-(-1) 3-(- 3)

3 . 3 14.把七进制数 305(7)化为五进制数,则 305(7)=______(5). [答案] 1102 [解析] ∵305(7)=3×72+5=152, 又 152=30×5+2,30=6×5+0,6=1×5+1,1=0×5+1,∴152=1102(5),即 305(7)= 1102(5). 15.若以连续掷两次骰子得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x2+y2=16 外的概率是________. 7 [答案] 9 [解析] 基本事件组成集合 Ω={(m,n)|1≤m≤6,1≤n≤6,m,n∈N}中共 36 个元素. 事件 A=“点 P(m,n)落在圆 x2+y2=16 外”的对立事件中含有基本事件(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共 8 个, 8 7 ∴P(A)=1- = . 36 9 16.在半径为 1 的圆周上有一定点 A,以 A 为端点任作一弦,另一端点在圆周上等可能 的选取,则弦长超过 1 的概率为________. 2 [答案] 3 [解析] 如图,作半径为 1 的圆的内接正六边形 ABCDEF,则其边长为 AB=AF=1,当 另一端点落在 上时,弦长小于 1,当另一端点落在 2 型定义可知,概率 P= . 3 上时,弦长大于 1,由几何概

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(08· 广东文)某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如 下表: 初一年级 初二年级 初三年级 373 x y 女生 377 370 z 男生 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. x [解析] (1)∵ =0.19,∴x=380. 2000 (2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 48 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为: ×500 2000 =12 名. (3)设初三年级女生比男生多的事件为 A,初三年级女生、男生数记为(y,z), 由(2)知 y+z=500,且 y、z∈N, 基本事件有:(245,255)、(246,254)、(247,253),?,(255,245)共 11 个,
5

事件 A 包含的基本事件有:(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共 5 个, 5 ∴P(A)= . 11 18.(本题满分 12 分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识竞赛,从 参加考试的学生中抽出 60 名学生, 将其成绩(均为整数)分成六段[40,50), [50,60), ?, [90,100] 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形给出的信息,回答下列问题:

(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率. [分析] 对于(1)可利用各组的频率和等于 1,从而可求第四小组的频率;而(2)则是利用 组中值求平均分;(3)利用古典概型的概率公式可求其概率. [解析] (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:f4=1-(0.025+0.015×2+0.01 +0.005)×10=0.03. 其频率分布直方图如图所示.

(2)依题意,60 分及以上的分数所在的第三、四、五、六组,频率和为(0.015+0.030+ 0.025+0.005)×10=0.75. 所以,估计这次考试的合格率是 75%. 利用组中值估算这次考试的平均分,可得: 45· f1+55· f2+65· f3+75· f4+85· f5+95· f6 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 所以估计这次考试的平均分是 71 分. (3)[40,50)与[90.100]的人数分别是 6 和 3,所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两 人,将[40,50]分数段的 6 人编号为 A1,A2,?A6,将[90,100]分数段的 3 人编号为 B1,B2, B3,从中任取两人,则基本事件构成集合 Ω={(A1,A2),(A1,A3)?(A1,A6),(A1,B1),(A1, B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,A4),?,(B2,B3)}共有 36 个,其中,在同一分数段内的事 件所含基本事件为(A1,A2),(A1,A3)?(A1,A6),(A2,A3)?(A5,A6),(B1,B2),(B1,B3), 18 1 (B2,B3)共 18 个,故概率 P= = . 36 2 19.(本题满分 12 分)有人提出如下的圆周率的近似算法:在右图的单位正方形内均匀 地取 n 个点 Pi(xi,yi)(i∈{1,2,?,n}),然后统计出以 xi、yi、1 为边长的三角形中锐角三角 4(n-m) 形的个数 m,则当 n 充分大时,π≈ ,试分析这种算法是否正确. n

6

[解析] 根据题中提出的算法, 有 0<xi<1,0<yi<1,所以以 xi,yi,1 为边长的三角形中, 长为 1 的边所对的角 A 为最大角,当且仅当 0° <A<90° 时,以 xi,yi,1 为边长的三角形为锐角 2 三角形,x2 i +yi >1,此时点 P 在以 O 为圆心,1 为半径的圆的外部,即图中阴影部分.所以 在图中的单位正方形内任意取一点 Pi,满足以 xi,yi,1 为边长的三角形为锐角三角形的概率 π m π 为 P=阴影部分的面积/单位正方形的面积=1- ,当 n 充分大时, ≈P=1- , 4 n 4 m 4( n - m ) ? ∴π≈4? ?1- n ?= n ,所以题中给出的圆周率的近似算法是正确的. 20.(本题满分 12 分)编写程序求 1~1000 的所有不能被 3 整除的整数之和. [解析] S=0 i=1 WHILE i<=1000 r=i MOD 3 IF r<>0 THEN S=S+i END IF i=i+1 WEND PRINT S END 21.(本题满分 12 分)一次掷两粒骰子,得到的点数为 m 和 n,求关于 x 的方程 x2+(m +n)x+4=0 有实数根的概率. [解析] 基本事件共 36 个, ∵方程有实根,∴Δ=(m+n)2-16≥0, 又∵m,n∈N,∴m+n≥4, 其对立事件是 m+n<4,其中有(1,1),(1,2),(2,1)共 3 个基本事件, 3 11 ∴所求概率为 P=1- = . 36 12 22.(本题满分 14 分)某化工厂的原料中含有两种有效成份 A 和 B.测得原料中 A 和 B 的 含量如下表所示: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 xi:A(%) 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34 yi:B(%) 用 x 表示 A 的含量,用 y 表示 B 的含量.计算结果保留 4 位小数. (1)作出散点图; ^ (2)求出回归直线方程:y=ax+b;
10 ^ ^ (3) 计算回归直线 y = ax + b 对应的 Q = ?[ yi - (axi + b)]2 ,并和另一条直线 y = a′x + i=1

b′(a′=2a,b′=2b)对应的 Q′= ?[yi-(a′xi+b′)]2 比较大小.
i=1

10

(可使用计算器) [解析] (1)散点图见下图

7

- - (2)把数据代入公式,计算可知, x =17.4, y =49.9,
i=1

?x2 i =3182, ?xiyi=9228,
i=1

10

10

i=1

-- ?xiyi-10 x y =
i=1

10

b=

?xi2-10 x 2

10



9228-8682.6 ≈3.5324, 3182-3027.6

- - a= y -b x ≈-11.5635, ^ 回归线方程为y=3.5324x-11.5635. (3)经计算:Q= ?[yi-(axi+b)]2=353.8593,
i=1 10

Q′= ?[yi-(2axi+2b)]2=27175.6120,
i=1

10

∴Q<Q′.

8



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