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2011年10月闽侯一中高二数学月考试卷


2011 年 10 月闽侯一中高二数学月考试卷
一.选择题: (各 5 分, 共 60 分) an 1. 数列{ an }中, an ?1 = , a1 =2,则 a4 为( 1 ? 3a n A. ) D. ) D.-8 ) D.

8 7

B.

8 5

C.

16 5

2 19

2.在等差数列{ an }中, a1 ? 2a8 ? a15 ? 96 ,则 2a9 ? a10 ? ( A.24 B.22 C.20

3.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且 a4 a6 ? 4a7 2 ,则 a3 ? ( A.

1 2

B. 1

C. 2

1 4

4. 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得 塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面 BCD 上的角∠BCD=120°, CD=40m, 如下图, A 则电视塔的高度为( ) A.10 2 m C.20 3 m A.80 C.20 B.20 m D.40 m )
B C D

5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ? 1? ,则 a5 的值为( B.40 D.10

6.已知△ABC 中, a =4, b =4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( ) A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120° 7.已知四个实数 ? 9 , a1 , a2 , ? 1 成等差数列,五个实数 ? 9 , b1 , b2 , b3 , ? 1 成等比数列, 则 b2 ? (a2 ? a1 ) 的值为 A. 8 C. ±8 ( ) B. -8 D.

8. 在△ABC 中, 已知 ?b ? c ? : ? c ? a ? : ? a ? b? ? 4:5: 6 , 则此三角形的最大内角是( A.120 0 C.60
0

9 8
0

)

B.150 0 D.90

1 2

2 4

a
b

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9.在如右图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每 一纵列成等比数列,则 a ? b 的值为 ( ) A. 14 B. 18 C. 24 D. 32 10.在△ABC 中,若 1 ? cos A ?

b?c ,则△ABC 的形状一定是( c

)

A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 11.某企业 2010 年初贷款 a 万元,贷款年利率为 r ,按复利计算。从 2010 年末开始,每一 年的年末偿还一固定金额,计划第 5 年底还清,则每年应偿还的金额数为( )万元. A.

a(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 5 ? 1

B.

ar(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 5 ? 1

C.

ar(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 4 ? 1

D.

ar (1 ? r ) 5

12.等差数列 n} {bn} {a 和 的前 n 项和分别为 Sn 与Tn, 对一切自然数 n, 都有 则 ? A.

Sn 2n = , Tn 3n ? 1

a 2 ? a8 等于( b2 ? b8
B.

)

2 3

20 31

C.

9 14

D.

11 17

二、填空题(各 4 分, 共 16 分) 13. 已知数列 {an } 是以 ?15 为首项,2 为公差的等差数列,Sn 是其前 n 项和, 则数列 {Sn } 的最小项为第 项. .

14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 3 ,则数列 ?an ? 的通项公式为

15.莫拉克台风登陆福建省霞浦县前夕,位于港口 O 正东方向 20 海里的 B 处有一渔船在 回港避风时出现故障(如图) .位于港口南偏西 30°方向,距港口 10 海里的 C 处的拖 轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/小时的速度沿直线 CB 去营救渔船, 则拖轮到达

B 处需要________小时.

16.有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件模糊不清,具体如下: π “在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知 a = 3,B= ,________, 4 π 求角 A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示 A= 。试在横线 6 上将条件补充完整(写出一个符合条件的边及边长) 。
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三、解答题:请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出证明过程或演算步骤.共 74 分 17.(本小题满分 12 分)有三个数 a , b , c 成等比数列, 其积为 512, 且 a ? 2 , b , c ? 2 成等差数列,求 a , b , c 这三个数.

18. (本小题 12 分)已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a4 ? 16 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设等差数列 ?bn ? 中, b2 ? a2 , b9 ? a5 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

19、 (本小题 12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 450 方向、距离 A 处( 3 ? 1 )海里的 B 处 有一艘走私船;在 A 处北偏西 750 方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的辑私船奉命以 10 3 海 里/小时的速度追截走私船.同时, 走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30 0 方向 逃窜,问辑私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间? D

C A

B

20.(本小题 12 分)已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 5 S1 、2 S2 、 S3 成等差数列. (Ⅰ)求{ an }的公比 q ; (Ⅱ)当 a1 - a3 =3,且 a1 ? a2 时,求 Sn .

21.(本题满分 13 分)在△ABC 中,设角 A , B , C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a = b , sin A ? cos C ? 0 。 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求△ABC 的面积.

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22.(本题满分 13 分) 已知数列 {log2 (an ?1)},(n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 。

2011 年 10 月闽侯一中高二数学月考试卷(答案)
一.选择题: (各 5 分, 共 60 分)

D A B D C,
13.8;

D B A D A, B C
14. an ? ?

二、填空题(各 4 分, 共 16 分)

??1, n ? 1 ?2
n ?1

,n ? 2;

3 2+ 6 7 ; 16. b= 6(或 c= ) 3 2 三、解答题:共 74 分 17.(本小题满分 12 分)有三个数 a , b , c 成等比数列, 其积为 512, 且 a ? 2 , b , c ? 2 成等差数列,求 a , b , c 这三个数. b 解: 设这个等比数列的公比为 q ,则这三个数为 , b, bq. ???????1 分 q 15.

? b 3 ? 512 ?? b ? 由已知得: ? ???????4 分 ? ? 2 ? ? (bq ? 2) ? 2b ? ?? q ? ?? ?b ? 8 ? b ? 8 ? 1. 解得: ? 或? ???????8 分 q? ?q ? 2 ? 2 ? 则三数为 4, 8, 16 或 16, 8 , 4 . ????????????????12 分
18. (本小题 12 分)已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a4 ? 16 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设等差数列 ?bn ? 中, b2 ? a2 , b9 ? a5 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q 由已知,得 16 ? 2q ,
3

解得 q ? 2

?????????????3 分
n?1 n

????????????????5 分 ? 2? 2 ? 2 (2)由(1)得 a2 ? 4, a5 ? 32,?b2 ? 4, b9 ? 32 ????????7 分 设等差数列 ?bn ? 的公差为 d ,则

?an ? a1q

n ?1

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?b1 ? d ? 4 , ? ?b1 ? 8d ? 32
解得 ?

n ? n ? 1? d ? 2 n 2 ? 2n ?????????????12 分 2 19、 (12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 450 方向、距离 A 处( 3 ? 1 )海里的 B 处有一艘 走私船; A 处北偏西 750 方向、 在 距离 A 处 2 海里的 C 处的辑私船奉命以 10 3 海里/小时 的速度追截走私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30 0 方向逃窜, ? Sn ? b1n ?
问辑私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间? 解:设辑私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD ? 10 3t , BD ? 10t . 在 ?ABC 中, AB ? 3 ? 1, AC ? 2, ?ABC ? 1200 . 利用余弦定理可得 BC ? 6 . 由正弦定理, ????3 分 C A B D

?b1 ? 0 ?d ? 4

???????????????10 分

AC 2 3 2 , sin ?BAC ? ? ? BC 2 6 2 得 ?ABC ? 450 , 即 BC 与正北方向垂直. 于是 ?CBD ? 1200 . 在 ?BCD 中,由正弦定理得, BD sin ?CBD 10t ? sin 1200 1 sin ?BCD ? ? ? CD 2 10 3t 0 得 ?BCD ? 30 , CD BC ? 又 , 0 sin 120 sin 30 0 10 3t 6 . ? 6 ,得 t ? 10 3 sin ?ABC ?
答:当辑私船沿东偏北 30 ? 的方向能最快追上走私船,最少要花

?????7 分

?????9 分

?????11 分

6 小时. ??12 分 10 20. (本小题 12 分)已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 5 S1 、2 S2 、S3 成等差数列. (Ⅰ)求{ an }的公比 q ;
(Ⅱ)当 a1 - a3 =3,且 a1 ? a2 时,求 Sn . 解: (Ⅰ)依题意,得

5a1 ? a1 ? a1q ? a1q2 ? 4(a1 ? a1q) . ???????3 分
由于 a1 ? 0 ,

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故 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 , 从而 q ? 1 或 q ? 2 . (Ⅱ)由已知可得, ??????6 分

a1 ? a1q2 ? 3 , q ? 1 , 故 a1 ? ?1 .
从而 Sn ?

??????10 分[来源:学*

?1(1 ? 2n ) ? 1 ? 2n . ??????????????12 分 1? 2 21.(本题满分 13 分)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a = b ,
sin A ? cos C ? 0 。
(1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求△ABC 的面积. 解:(1)由 a = b ,知 A ? B ,所以 C ? ? ? 2 A , ?????????2 分 2 又 sin A ? cos C ? 0 得 sin A ? cos 2 A ,即 2sin A ? sin A ? 1 ? 0 , 1 解得 sin A ? , sin A ? ?1 (舍) . 2 由 A ? B ,知角 A 为锐角,故 A ? (2)由 A ? B ?

?

2? ,得 C ? . 6 3 在△ABC 中,由于 BC 边上中线 AM 的长为 7 , 在△A BM 中,由余弦定理得 a2 a ? a2 3 ? ac. AM 2 ? c2 ? ? 2c ? ? cos , 即 7 ? c 2 ? 4 2 4 2 6 在△ABC 中,由正弦定理得

?

6



???????????6 分



??????8 分

a sin

?
6

?

b sin

?
6

?

c c , . 2? 即 a ? b ? sin 3 3



??????10 分 ??????12 分 ??????13 分

由①②解得 a ? 2, b ? 2, c ? 2 3.
1 1 3 ? 3. 故 ?ABC的面积S ? ab sin C ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2

22.(本小题满分 13 分) 已知数列 {log2 (an ?1)},(n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (1)求数列 {an } 的通项公式;(2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 。 解:(1)设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d. 所以 log2 (an ?1) ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n, ??????? 1分 由 a1 ? 3, a3 ? 9得, 2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 解得 d=1. ?????4 分

? an ? 2 n ? 1.
(2)? an ? 2 ? 1.
n

?????????7 分

? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? (2 ? 1) ? (22 ? 1) ? ? ? (2 n ? 1) ? (2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? n

?????9 分

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2 (? n 2 ) 1 ?n 1? 2 ? 2n?1 ? n ? 2 ?

?????? 12 分 ???? 13 分

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