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数学归纳法练习题

数学归纳法
1.已知等式 1 ? 2 ? ? ? n ?
2 2 2

A.仅当 n ? 1 时等式成立 C.仅当 n ? 1, 2 时等式成立 2.设 f(n)=

5n 2 ? 7n ? 4 ,以下说法正确的是( 2 B.仅当 ? 1, 2,3 时等式成立 D. n 为任何自然数时等式都成立



1 1 1 1 + + +?+ (n∈N *) ,那么 f(n+1)-f(n)等于( ) n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 1 1 1 1 1 1 A. B. C. + D. - 2n ? 1 2n ? 2 2 n ? 1 2n ? 2 2 n ? 1 2n ? 2 3.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形有对角线条数 f(n+1)为( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 n 4.用数学归纳法证明“ (n+1) (n+2) ·?· (n+n)=2 ·1·3·?· (2n-1) ” ,从“k 到 k+1”左端需 2k ? 1 2k ? 3 增乘的代数式为( )A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. k ?1 k ?1 5.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立,则下列结论 正确的是( )A.P(n)对 n∈N*成立 B.P(n)对 n>4 且 n∈N*成立 C.P(n)对 n<4 且 n∈N*成立 D.P(n)对 n≤4 且 n∈N*不成立
6.记凸 k 边形的内角和为 f (k ) ,则 f (k ? 1) ? f (k ) 等于 ( 7.用数学归纳法证明“1+ ) A.

? 2

B. ?

C. ?

3 2

D. 2?

1 1 1 + + ?+ n <n(n∈N*,n>1) ”时,由 n=k(k>1)不等式成立, 2 3 2 ?1 - 推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( )A.2k 1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 8.若把正整数按下图所示的规律排序,则从 2002 到 2004 年的箭头方向依次为( )
1 2 4 3 5 6 8 7 9 1 0 1 2 ? 1 1

A .

B .

C .

D .

9.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥” 形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3,4,? 堆最底 层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始, 每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓 球 , 以 f (n) 表 示 第 n 堆 的 乒 乓 球 总 数 , 则 f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ (答案用 n 表示). 10.观察下表: 1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 ?? .
1

?

4 设第 n 行的各数之和为 Sn,则 Sn=

3 5

7 9

10

11.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an ? 2 ? an ? 1 ? (?1) , n ? N ,则 S10 ? ___________ .
n

?

12.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点( a n , an ?1 )在直线 x-y- 3 =0 上, 则 an= . 13. 如图, 第 n 个图形是由正 n+2 边形 “扩展” 而来 (n=1, 2, 3, ?) , 则第 n-2 个图形中共有____________ 个顶点.

14. 用数学归纳法证明

1 1 1 1 1 假设 n ? k 时结论成立, 则当 n ? k ? 1 ? 2 ??? ? ? . 时, 2 2 2 3 (n ? 1) 2 n?2
.

时,应推证的目标不等式是 15.用数学归纳法证明 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

16. .在各项为正的数列 {a n } 中,数列的前 n 项和 Sn 满足 S n ?

1 1 (a n ? ) 2 an

(1)求 a1 , a2 , a3 (2)由(1)猜想数列 {a n } 的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.

17.试证当 n 为自然数时,f(n)=32n 2-8n-9 能被 64 整除.


2


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