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2018届北师大版(文) 简单几何体的表面积与体积 检测卷

第5讲 简单几何体的表面积与体积 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2015· 全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有 如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺.问:积及为米几何?” 其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆 底部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 ( ) A.14 斛 解析 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 π 16 设米堆的底面半径为 r 尺,则2r=8,所以 r= π . 1 1 π ?16?2 320 ?π? · 所以米堆的体积为 V=4×3π·r2· 5=12· 5≈ 9 (立方尺). ? ? 320 故堆放的米约有 9 ÷ 1.62≈22(斛). 答案 B 2.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则主视图中的 x 的值是 ( ) 第 1 页 共 9 页 A.2 3 C.2 解析 9 B.2 D.3 1 由三视图知, 该几何体是四棱锥, 底面是直角梯形, 且 S 底=2(1+2)×2 1 =3.∴V=3x· 3=3,解得 x=3. 答案 D 3.(2017· 合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ 3 C.1+2 2 解析 B.2+ 3 D.2 2 四面体的直观图如图所示. 侧面 SAC⊥底面 ABC,且△SAC 与△ABC 均为腰长是 2的等腰直角三角形, SA=SC=AB=BC= 2,AC=2. 设 AC 的中点为 O, 连接 SO, BO, 则 SO⊥AC, 又 SO?平面 SAC, 平面 SAC∩ 平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC,又 BO?平面 ABC,∴SO⊥BO. 又 OS=OB=1,∴SB= 2, 1 故△SAB 与△SBC 均是边长为 2的正三角形,故该四面体的表面积为 2×2 第 2 页 共 9 页 3 × 2× 2+2× 4 ×( 2)2=2+ 3. 答案 B 4.(2015· 全国Ⅱ卷)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90° ,C 为该球面 上的动点.若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π C.144π 解析 B.64π D.256π ) 因为△AOB 的面积为定值,所以当 OC 垂直于平面 AOB 时,三棱锥 O 1 1 -ABC 的体积取得最大值.由3×2R2×R=36,得 R=6.从而球 O 的表面积 S =4πR2=144π. 答案 C 5.(2017· 宝鸡模拟)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,NB= 2PN,则三棱锥 N-PAC 与三棱锥 D-PAC 的体积比为 ( ) A.1∶2 C.1∶6 解析 B.1∶8 D.1∶3 设点 P,N 在平面 ABCD 内的投影分别为点 P′,N′,则 PP′⊥平 面 ABCD,NN′⊥平面 ABCD,所以 PP′∥NN′,则在△BPP′中,由 BN =2PN 得 NN′ 2 = . PP′ 3 1 V 三棱锥 N-PAC=V 三棱锥 P-ABC-V 三棱锥 N-ABC=3S△ABC· PP′- 1 1 1 S NN ′ = S ( PP ′ - NN ′ ) = △ABC· △ABC· 3 3 3S△ABC· 1 1 PP ′ = PP′,V 3 9S△ABC· 三棱锥 D-PAC =V 三棱锥 P-ACD 1 =3S△ACD· PP′,又∵四边形 V三棱锥N-PAC 1 ABCD 是平行四边形,∴S△ABC=S△ACD,∴ = .故选 D. V三棱锥D-PAC 3 第 3 页 共 9 页 答案 D 二、填空题 6.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆 柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的 新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________. 解析 1 1 设新的底面半径为 r,由题意得3πr2· 4+πr2· 8=3π×52×4+π×22×8, 解得 r= 7. 答案 7 7.已知底面边长为 1,侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则 该球的体积为________. 解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径, 可设球半径为 R, 则 2R= 12+12+? 2?2=2, 4π 4π 解得 R=1,所以 V= 3 R3= 3 . 答案 4 3π 8. (2017· 郑州质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________. 解析 由三视图可知, 该几何体是一个底面半径为 1, 高为 2 的圆柱和底面半径为 1, 1 1 13 高为 1 的半圆锥拼成的组合体.∴体积 V=π×12×2+2×3π×12×1= 6 π. 第 4 页 共 9 页 答案 13 6 π 三、解答题 9.已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积; (2)如果点 P,Q 在主视图中所示位置,P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在 几何体表面上,从 P 点到 Q 点的最短路径的长. 解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面 积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和. 1 S 圆锥侧=2(2πa)· ( 2a)= 2πa2, S 圆柱侧=(2πa)· (2a)=4πa2, S 圆柱底=πa2, 所以 S 表= 2πa2+4πa2+πa2=( 2+5)πa2. (2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图. 第 5 页 共 9 页 则 PQ= AP2+AQ2= a2+?πa?2=a 1+π2, 所以从 P 点到

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