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分布列和数学期望教师版


分布列和数学期望教师版 随机变量的分布列和期望 高考考纲透析: 等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离 散型随机变量的分布列、期望和方差 高考风向标: 离散型随机变量的分布列、期望和方差 热点题型 1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题 1] (2005 年高考·全国卷 II·理 19)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.本场比赛采用五局三胜制,即 先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令 ? 为本场比赛的局数,求 ? 的概率分布和数学期望.(精确 到 0.0001) 本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力。解:单局比赛甲队胜乙 队的概率为 0.6,乙队胜甲队的概率为 1-0.6=0.4 比赛 3 局结束有两种情况:甲队胜 3 局或乙队胜 3 局,因而 P( ? =3)= 0.6 ? 0.4 ? 0.28
3 3

比赛 4 局结束有两种情况:前 3 局中甲队胜 2 局,第 4 局甲队胜;或前 3 局中乙队胜 2 局,第 4 局乙队胜。因而
2 2 P( ? =4)= C3 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.6 + C3 ? 0.42 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3744

比赛 5 局结束有两种情况:前 4 局中甲队胜 2 局、乙队胜 2 局,第 5 局甲胜或乙胜。因而
2 2 P( ? =5)= C4 ? 0.62 ? 0.42 ? 0.6 + C4 ? 0.42 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.3456

所以 ? 的概率分布为

?
P

3 0.28

4 0.3744

5 0.3456

? 的期望 E? =3×P( ? =3)+4×P( ? =4)+5×P( ? =5)=4.0656
变式新题型 1.(2005 年高考·浙江卷·理 19)袋子 A 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率 1 是 . 3
(Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸 5 次,求恰好有 3 次摸到红球的概率. (Ⅱ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止. (i) 求恰好摸 5 次停止的概率; (ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? .

? 1 ? ? 2 ? 1 40 解:(Ⅰ) C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 243
3 5

3

3

?1? ? 2? 1 8 (Ⅱ)(i) C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 81
2 4

2

2

(ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3, ;

k k 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn ? k ? ? Cn p ?1 ? p ?

n?k

,得

1? 32 0 ? ; P ?? ? 0? ? C5 ? ?1 ? ? ? ? 3 ? 243 1 ? 1? 80 P ?? ? 1? ? C ? ? ?1 ? ? ? 3 ? 3 ? 243
1 5 4

5

80 ?1? ? 1? P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243
2 5

2

3

32 ? 80 ? 2 17 17 ? 1? 3 ?1? ? (或 P ?? ? 3? ? 1 ? ) P ?? ? 3? ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 243 243 ? 3 ? ? 3 ? 243
随机变量 ? 的分布列是

3

2

?

0

1

2

3

P

32 243

80 243

80 243

17 243

? 的数学期望是
E? ? 32 80 80 17 131 ?0? ?1 ? ?2? ?3 ? 243 243 243 243 81
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热点题型 2 随机变量 ? 的取值范围及分布列 [样题 2]在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等奖券 3 张,每
张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从此 10 张券中任抽 2 张,求: (Ⅰ)该顾客中奖的概率; (Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值 ? (元)的概率分布列和期望 E? . 解法一: (Ⅰ) P ? I ?
2 C6 2 15 2 ? 1? ? ,即该顾客中奖的概率为 . 2 3 45 3 C10

(Ⅱ) ? 的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).

且P(? ? 0) ? P(? ? 20) ?

1 1 C 62 1 C3 C6 2 ? , P ( ? ? 10 ) ? ? , 2 2 5 C10 3 C10

1 1 C32 C1 C6 1 2 ? , P ( ? ? 50 ) ? ? , 2 2 15 C10 15 C10

1 1 C1 C3 1 P(? ? 60) ? ? . 2 15 C10

故 ? 有分布列:

?
P

0

10

20

50

60

1 3

2 5

1 15

2 15

1 15

从而期望 E? ? 0 ? 解法二: (Ⅰ) P ?

1 2 1 2 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 16. 3 5 15 15 15

1 1 2 (C4 C6 ? C 4 ) 30 2 ? ? , 2 45 3 C10

(Ⅱ) ? 的分布列求法同解法一 由于 10 张券总价值为 80 元,即每张的平均奖品价值为 8 元,从而抽 2 张的平均奖品价值 E? =2×8=16(元).

变式新题型 2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为 0

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2,若一周 5 个工作日内无故障,可获利润

10 万元;仅有一个工作日发生故障可获利润 5 万元;仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损;有三个或三个以上 工作日发生故障就要亏损 2 万元 求: (Ⅰ)一周 5 个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字) ; (Ⅱ)一周 5 个工作日内利润的期望(保留两位有效数字)
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解:以 ? 表示一周 5 个工作日内机器发生故障的天数,则 ? ~B(5,0
k P(? ? k ) ? C5 ? 0.2k ? 0.85?k (k ? 0,1,2,3,4,5). 2 (Ⅰ) P(? ? 2) ? C5 ? 0.22 ? 0.83 ? 0.21.

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2)

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(Ⅱ)以 ? 表示利润,则 ? 的所有可能取值为 10,5,0,-2

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P(? ? 10) ? P(? ? 0) ? 0.8 ? 0.3 2 .8
5
1 P(? ? 5) ? P(? ? 1) ? C5 ? 0.21 ? 0.84 ? 0.410. 2 P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? C5 ? 0.22 ? 0.83 ? 0.2 0 . 5

P(? ? ?2) ? P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? 0.0 5 . 7 ? 10 5 0 -2 ? ? 的概率分布为
P

? 利润的期望=10×0

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328+5×0

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0 0 328 410 410+0×0 205-2×0
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0 0 205 057 057≈5 2(万元)
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[样题 3] (2005 年高考·江西卷·理 19)
A、B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片,否 则 B 赢得 A 一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设 ? 表示游戏终止时 掷硬币的次数. (1)求 ? 的取值范围; (2)求 ? 的数学期望 E ? .

?| m ? n |? 5 ? 解: (1)设正面出现的次数为 m,反面出现的次数为 n,则 ?m ? n ? ? ,可得: ?1 ? ? ? 9 ?

当m ? 5, n ? 0或m ? 0, n ? 5时, ? ? 5;当m ? 6, n ? 1或m ? 1, n ? 6时, ? ? 7; 当m ? 7, n ? 2或m ? 2, n ? 7时, ? ? 9; 所以?的所有可能取值为 : 5,7,9.
(2) P(? ? 5) ? 2 ? ( ) ?
5

1 2

2 1 5 1 1 7 ? ; P(? ? 7) ? 2C5 ( ) ? ; 32 16 2 64

1 5 55 ? ? ; 16 64 64 1 5 55 275 E? ? 5 ? ? 7 ? ? 9? ? . 16 64 64 32 P (? ? 9) ? 1 ?

变式新题型 3.某射手进行射击练习,每射击 5 发子弹算一组,一旦命中就停止射击,并进行下一组练习,否 则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习. 若该射手在某组练习中射击命中一次, 并且他射击一次命中率为 0. 8, (1)求在这一组练习中耗用子弹ξ 的分布列. (2)求在完成连续两组练习后,恰好共耗用了 4 发子弹的概率。 分析:该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量,ξ 可取值为 1,2,3,4,5ξ =1,表示第一发击中(练习停止), 故 P(ξ =1)=0.8 ξ =2,表示第一发未中,第二发命中,故 P(ξ =2)=(1-0.8)×0.8=0.16ξ =3,表示第一、二发未中, 第三发命中,故 P(ξ =3)=(1-0.8)2×0.8=0.032 以下类推 解: (1)ξ 的分布列为
ξ P 1 0.8 2 0.16 3 0.032 4 0.0064 5 0.0016

补充备例:有 n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开.用它们去试开门上的 锁.设抽取钥匙是相互独立且等可能的.每把钥匙试开后不能放回.求试开次数 差. 分析:求 方入手,如 解: 时,由题知前 的数学期望和方

次没打开,恰第 k 次打开.不过,一般我们应从简单的地

,发现规律后,推广到一般. 的可能取值为 1,2,3,…,n.

;所以

的分布列为:

1 2 …k … … …

n



说明:复杂问题的简化处理,即从个数较小的看起,找出规律所在,进而推广到一般, 方差的公式正确使用后,涉及一个数列求和问题,合理拆项,转化成熟悉的公式,是解决的关键.


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