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2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1 名师课件:第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质 (共31张PPT)_图文

2.2.2 理解教材 新知 考点一 考点二 考点三 考点四 第 2 章 2.2 椭 圆 椭 圆 的 几 何 性 质 把握热点 考向 应用创新 演练 2.2 椭圆 2.2.2 椭圆的几何性质 建立了椭圆的标准方程后,我们就可以通过方程研究椭圆 的几何性质. x2 y2 以方程 2+ 2=1(a>b>0)为例,试着完成下列问题: a b 问题 1:方程中对 x,y 有限制的范围吗? y2 x2 提示:由 2=1- 2≥0,得-a≤x≤a. b a 同理-b≤y≤b. 问题 2:在方程中,用-x 代 x,-y 代 y,方程的形式是否 发生了变化? 提示:不变. 问题 3:方程与坐标轴的交点坐标是什么? 提示:令 x=0,得 y=± b; 令 y=0,得 x=± a; 与 x 轴的交点为(a,0),(-a,0), 与 y 轴的交点为(0,b),(0,-b). 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x y + =1(a>b>0) a2 b2 2 2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b (± a,0),(0,± b) (0,± a),(± b,0) 2b ,长轴长=_____ 2a 短轴长=____ (± c,0) 2c F1F2=____ (0,± c) x 轴,y 轴,对称中心______ (0,0) 对称轴___________ c (0,1) e=a∈_____ 1.椭圆的对称性 椭圆的图像关于 x 轴成轴对称, 关于 y 轴成轴对称, 关于原点 成中心对称. 2.椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系 (1)0<e<1,e 越趋近于 1,越扁,越趋近于 0,越圆(可以根据 字体 1 很扁、0 很圆进行记忆). (2)当 e→0,c→0 时,椭圆变圆, 直至成为极限位置圆,此时也可认为 圆为椭圆在 e=0 时的特例. (3)当 e→1,c→a,椭圆变扁,直至 成为极限位置线段 F1F2,此时也可认为 F1F2 为椭圆在 e=1 时的特例. 已知椭圆方程求几何性质 求椭圆 81x2+y2=81 的长轴和短轴的长及其焦点和 [例 1] 顶点坐标,离心率. [思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式,故先化为标 准形式后求出 a,b,c,再根据焦点位置写出相应的几何性质. [精解详析] 椭圆的方程可化为 2 y x2+ =1,∴a=9,b=1, 81 ∴c= 81-1= 80=4 5, ∴椭圆的长轴和短轴长分别为 18,2. ∵椭圆的焦点在 y 轴上, 故其焦点坐标为 F1(0,-4 5),F2(0,4 5), 顶点坐标为 A1(0,-9),A2(0,9), c 4 5 B1(-1,0),B2(1,0),e=a= . 9 [一点通] 求椭圆几何性质参数时,应把椭圆化成标 准方程,注意分清焦点的位置,这样便于直观写出 a,b 的值,进而求出 c,写出椭圆的几何性质参数. x2 y2 1 1.若椭圆m+ =1 的离心率为 ,则 m 的值为________. 4 3 解析:当 m>4 时,由 c2=a2-b2=m-4, m- 4 1 9 得 = .解得 m= . 3 2 m 当 m<4 时,由 c2=a2-b2=4-m, 4-m 1 32 得 = ,解得 m= . 2 3 9 9 32 答案: 或 2 9 2.求椭圆 4x2+9y2=36 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标 和离心率. x2 y2 解:椭圆方程变形为 + =1, 9 4 ∴a=3,b=2, ∴c= a2-b2= 9-4= 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2), c 5 离心率 e=a= . 3 由椭圆的几何性质求标准方程 [例 2] 已知方程 x2· sin α-y2· cos α=1(0≤α≤2π)表示椭圆. (1)若椭圆的焦点在 x 轴上,求 α 的取值范围. (2)若椭圆的焦点在 y 轴上,求 α 的取值范围. [思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置, 不能确定的要分情况讨 论,然后设出标准方程,再利用待定系数法求出 a、b、c,得到椭 圆的标准方程. [精解详析] c 4 (1)∵2a=20,e=a= , 5 ∴a=10,c=8,b2=a2-c2=36. 由于椭圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,所以所求 x2 y2 y2 x2 椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 100 36 100 36 x2 y2 y2 x2 (2)设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 或 2+ 2=1(a>b>0). a b a b 由已知 a=2b, 且椭圆过点(2,-6),从而有 2 ?-6?2 22 22 ?-6? + 2 =1 或 2 + 2=1. a2 b a b ① ② 由①②得 a2=148,b2=37 或 a2=52,b2=13. x2 y2 y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 148 37 52 13 [一点通] 在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦 点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在 的坐标轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时, 可以确定焦点所在的坐标轴;而已知椭圆的离心率、长轴长、 短轴长或焦距时,则不能确定焦点所在的坐标轴. 3 3.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 , 2 且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方 程为________________. c 3 解析:由

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