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兰溪范文 文档专家

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高一数学试卷

(必修 1＋必修 2)

说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页， 满分 120 分，考试时间 90 分钟。 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。 2．第 I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。答在第Ⅰ卷上不得分。 3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回。

第I卷

（选择填空题 满分 56 分）

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） ． 1．集合 A ? {－， ． 1 0}, B ? {0,1}, C ? {1, 2}，则(A ? B) ? C =（ * ） (A) ? 2．若 f ( x) ? (A) ? (B){1} (C){0,1,2} (D){-1,0,1,2}

x ，则 f (?3) 等于（ * ） ． 1? x

(B) ?

3 2

3 4

(C)

3 4

(D) ?

3 2

3．已知直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ，则该直线 l 的倾斜角为（ * ） ． (A) 30

?

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 135

?

4．已知两个球的表面积之比为 1∶ 9 ，则这两个球的半径之比为（ * ） ． (A)1∶ 3 (B)1∶ 3 (C)1∶ 9 (D)1∶ 81

5．下列函数中，在 R 上单调递增的是（ * ） ． (A) y ? x (B) y ? log 2 x (C) y ? x

1 3

(D) y ? 0.5x

(2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是（ * ） 6．已知点 A( x,1, 2)和点B ．

(A)-3或4 (C)3或-4 (B)–6或2 (D)6或-2

7．已知直线 l 、 m 、 n 与平面 ? 、 ? ，给出下列四个命题： ①若m∥ l ，n∥ l ，则m∥n ③若 m∥? ，n∥? ，则 m∥n ②若m⊥? ，m∥?， 则? ⊥? ④若 m⊥? ，? ⊥? ，则 m∥? 或 m ? ? ?

高一数学试卷第 1 页 共 8 页

其中假命题 是（ * ） ． ．．． (A) ① (B) ② 8．函数 f ( x) ? log4 x 与 f ( x) ? 4x 的图像（ * ） ． (A)关于 x 轴对称 (C) 关于原点对称

(C) ③

(D) ④

主视图 左视图

(B) 关于 y 轴对称 (D) 关于直线 y ? x 对称

9．如图 1，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积 为（ * ） ． ．．． (A) (C)

? 4

?

5 ? 4 3 ? (D) 2

(B)

图1

俯视图

10．已知 f ( x) ? 2 x2 ? 2x ，则在下列区间中， f ( x) ? 0 有实数解的是（ * ） ． (A)（－3，－2） (B)（－1，0） (C) （2，3） (D) （4，5）

二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） ． 11．已知 a ? 20.6 , b ? 0.62 ，则实数 a、 b 的大小关系为 * ．

2 2 12．已知 ? O1 : x2 ? y2 ? 1与? O2 （ : x－3） ? （y＋4） ? 9 ，则 ? O1与 ? O2 的位置关系为

* ．

13．已知 f ( x ) 是奇函数，且当 x ? 0 时， f ( x) ? x ? 1 ，则 f (?1) 的值为 * ． 14．如图 2-①，一个圆锥形容器的高为 a ，内装有一定量 的水.如果将容器倒置， 这时所形成的圆锥的高恰为 （如图 2-②） ，则图 2-①中的水面高度为 * ．

a 2

a

2-①

2-② 图2

第Ⅱ卷（解答题

满分 64 分）

三．解答题（本大题共 6 小题，满分 64 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） ． 15． （本小题满分 12 分） 如图 3，在 ? OABC 中，点 C（1，3） ． （1）求 OC 所在直线的斜率； （2）过点 C 做 CD⊥AB 于点 D，求 CD 所在直线的方程．

y

C

B D

O

1

A

x

图3

高一数学试卷第 2 页 共 8 页

16． （本小题满分 10 分） 如图 4，已知正四棱锥 V - ABCD 中， AC与BD交于点M，VM 是棱锥的高 ，若 AC ? 6cm ，

VC ? 5cm ，求正四棱锥 V - ABCD 的体积．

V

D A M 图4 B

C

17． （本小题满分 10 分）

?3 ? x 2 , x ? [?1, 2]， 已知函数 f ( x) ? ? ? x ? 3, x ? (2,5].

（1）在图 5 给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的图象； （2）写出 f ( x) 的单调递增区间．

y

3 2 1 -1 0 -1 1 2 3 4 5

x

图5

高一数学试卷第 3 页 共 8 页

18． （本小题满分 12 分） 如图 6，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 为棱 AD、AB 的中点． （1）求证：EF∥平面 CB1D1； （2）求证：平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1． D1 A1 B1 C1

E A

D F 图6 B

C

19． （本小题满分 10 分） 一种放射性物质不断变化为其他物质， 每经过一年剩留的质量约是原来的 75％， 估计约经过多少年， 该物质的剩留量是原来的 1 （结果保留 1 个有效数字）？（ lg 2 ? 0.3010 ， lg3 ? 0.4771 ） 3

20． （本小题满分 10 分） 已知 ? O： x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1)，由 ? O 外一点 P (a, b) 向 ? O 引切线 PQ，切点为 Q， 且满足 PQ ? PA ． (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系； (2) 求线段 PQ 长的最小值； (3) 若以 P 为圆心所作的 ? P 与 ? O 有公共点，试求半径取最小值时 ? P 的方程．

y

2

A

0 2

x P

Q

图7

高一数学试卷第 4 页 共 8 页

高一数学(必修 1＋必修 2)参考答案及评分标准

说明： 1． 如果考生的解法与下面提供的参考答案不同，凡是正确的，一律记满分；若某一步出现错误，则可按 照该题的评分标准进行评分。 2． 评阅试卷时，不要因解答中出现错误而中断对该题的评阅。当解答中某一步出现错误，从而影响了后 继部分，但该步以后的解答未改变这一道题的内容和难度，在未发生新的错误前，可以视影响的程度 决定后面部分的得分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半；明显笔误的，可以酌情少扣； 如有严重概念性错误，就不得分。在这一道题的解答过程中，对发生第二次错误的部分，不得分。 3． 涉及计算的过程，允许合理省略非关键性步骤。 一、选择题：本大题主要考查基础知识和基本运算．共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分． 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 D 9 C 10 B

二、填空题：本大题主要考查基础知识和基本运算．共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分． 11. a ? b 三、解答题 15. 本小题主要考查直线的斜率、两条直线的位置关系等基础知识，考查基本的逻辑推理能力和运算能 力．满分 12 分． 解: (1)? 点 O（0，0） ，点 C（1，3） ，

y

12. 相离

13. -2

3 14. (1 ? 7 )a

2

? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .

1? 0

（2）在 ? OABC 中， AB // OC ,

C

B D

? CD⊥AB，

? CD⊥OC.

3

O

1

A

x

? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1)， 即x ? 3 y ?10 ? 0 .

1 3

图3

16. 本小题主要考查对正棱锥中点、线、面的位置关系的理解，锥体的体积计算等基础知识，考查基本 的推理演算能力和空间观念．满分 10 分． 解法 1：? 正四棱锥 V - ABCD 中，ABCD 是正方形，

? MC ?

1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 且 S ABCD ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm2). 2 2 , ? VM 是棱锥的高

D A

高一数学试卷第 5 页 共 8 页

V

? Rt△VMC 中， VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).

C M 图4 B

1 1 ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3). 3 3

解法 2：? 正四棱锥 V - ABCD 中，ABCD 是正方形，

? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm).

2 2 2

且 AB ? BC ?

2 AC ? 3 2 (cm) . 2

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm2).

? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中， VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm). ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3).

说明：没有带单位，统一扣 1 分。

1 3

1 3

17. 本小题主要考查分段函数的有关概念、图像和性质等基础知识，考查作图能力和运用图像解决问题 的能力．满分 10 分． 解：(1)函数 f ( x ) 的图像如右图所示；

A(-1,2)

A

y 3 C(5,2) 1 -1 1 5 B(2,-1)

（2）)函数 f ( x ) 的单调递增区间为[-1，0]和[2，5]

0 -1

2

x

说明：单调递增区间没有写成闭区间形式，统一扣 1 分。 18. 本小题主要考查正方体中线线、线面的位置关系等基础知识，考查空间观念和逻辑推理能力．满分 12 分． （1）证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中，对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点， A1 D1 B1 C1

? EF // BD . ? EF // B1D1 .

又 B1D1? ? 平面 CB1D1 ， EF ? 平面 CB1D1 ， A

E

D F 图6 B

C

? EF∥平面 CB1D1.

（2）? 在长方体 AC1 中，AA1⊥平面 A1B1C1D1，而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1，

高一数学试卷第 6 页 共 8 页

? AA1⊥B1D1.又? 在正方形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1， ? B1D1⊥平面 CAA1C1.

又? B1D1? ? 平面 CB1D1，

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1．

19. 本小题主要考查指数函数与对数函数的基础知识，考查数学建模能力和与指数对数有关的实数运算 能力．满分 10 分． 解：设这种放射性物质最初的质量是 1，经过 x 年后，剩留量是 y ，则有 y ? 0.75x ． 依题意，得

1 ? 0.75 x ， 3

1 lg 3 0.4771 3 ? ? lg 3 ? 即x? ? ? 3.8 ． lg 0.75 lg 3 ? lg 4 2lg 2 ? lg 3 2 ? 0.301 ? 0.4771 lg

∴ 估计约经过 4 年，该物质的剩留量是原来的 1 . 3 20. 本小题主要考查平面上两点间的距离公式、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识， 考查数形结合等数学方法，考查逻辑推理能力、空间想象能力．满分 10 分． 解： （1）连 OP, ? Q 为切点， PQ ? OQ ，由勾股定理有

y

2

PQ ? OP ? OQ .

又由已知 PQ ? PA ，故 PQ ? PA . 即： (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为： 2a ? b ? 3 ? 0 . （2）由 2a ? b ? 3 ? 0 ，得 b ? ?2a ? 3 .

2 2

2

2

2

A

O 2

x P

Q

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5

故当 a ?

2 2 6 时， PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

解法 2：由(1)知，点 P 在直线 l：2x + y－3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 | 2 5 = . 5 22 + 12

（3）设 ? P 的半径为 R ，

? ? P 与 ? O 有公共点， ? O 的半径为 1，

高一数学试卷第 7 页 共 8 页

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .

而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 ， 5

3 6 时， OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? ， Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5 得半径取最小值时 ? P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 ． 5 5 5 解法 2： ? P 与 ? O 有公共点， ? P 半径最小时为与 ? O 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值

为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1，圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0. 3 3 5 －1. 2 －1 = 5 2 +1 又 l’：x－2y = 0, r=

2

y

2

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ，得 ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?

∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

A

P0

O 2

x P

l

Q

高一数学试卷第 8 页 共 8 页

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