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高三数学月考试题及答案-岳阳市2015届高三质量检测(二)(理)

2015 年湖南省岳阳市高考二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x=a+(a2﹣1)i}(a∈R,i 是叙述单位) ,若 M?R,则 a=( A. 1 B. ﹣1 C. ± 1 D. 0 )

【考点】 复数的基本概念. 【专题】 数系的扩充和复数. 【分析】 利用复数的基本概念,推出复数是实数,复数的虚部为 0,求解即可. 【解析】 解:集合 M={x|x=a+(a2﹣1)i}(a∈R,i 是虚数单位) ,若 M?R, 可知复数是实数:a2﹣1=0,解得 a=± 1. 故选:C. 【点评】 本题考查复数的基本概念,考查计算能力.

2. (5 分)已知 α,β 为不重合的两个平面,直线 m?α,那么“m⊥β”是“α⊥β”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件



【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面垂直的判定. 【分析】 利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者;容易判断出后者推不出前者;利 用各种条件的定义得到选项. 【解析】 解:∵平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则两平面垂 直 ∴直线 m?α,那么“m⊥β”成立时,一定有“α⊥β”成立 反之,直线 m?α,若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立 所以直线 m?α,那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 故选 A

【点评】 本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命 题是另一个命题的什么条件.

3. (5 分) 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建 算经》卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相 同量的布) ,第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天 比前一天多织( A. B. )尺布. C. D.

【考点】 等差数列的通项公式. 【专题】 等差数列与等比数列. 【分析】 利用等差数列的前 n 项和公式求解. 【解析】 解:设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . ,

故选:D. 【点评】 本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列 的通项公式的求解.

4. (5 分)图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图,图中第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…A14.图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的 一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是( )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【考点】 程序框图;茎叶图. 【专题】 图表型;算法和程序框图. 【分析】 根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数,结合茎叶 图可得答案. 【解析】 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加 14 次考试成绩超过 90 分的人数; 根据茎叶图的含义可得超过 90 分的人数为 10 个, 故选:C. 【点评】 本题主要考查了循环结构,以及茎叶图的认识,解题的关键是弄清算法流程图的 含义,属于基础题.

5. (5 分)已知向量 =(3,﹣2) , =(x,y﹣1)且 ∥ ,若 x,y 均为正数,则 + 的 最小值是( A. B. ) C. 8 D. 24

【考点】 基本不等式;平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】 不等式的解法及应用;平面向量及应用. 【分析】 利用向量共线定理可得 2x+3y=3,再利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 【解析】 解:∵ ∴ + = 2x=3y= 时取等号. ∴ + 的最小值是 8. 故选:C. 【点评】 本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”和基本不等式,属于中档题. ,∴﹣2x﹣3(y﹣1)=0,化为 2x+3y=3, = =8, 当且仅当

6. (5 分)已知双曲线 C1:

=1(a>0,b>0)的离心率为

,一条渐近线为 l,抛 )

物线 C2:y2=4x 的焦点为 F,点 P 为直线 l 与抛物线 C2 异于原点的交点,则|PF|=( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【考点】 双曲线的简单性质. 【专题】 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 由双曲线 C1: =1(a>0,b>0)的离心率为 ,可得 a=b,从而可得一

条渐近线的方程,求出 P,F 的坐标,即可求出|PF|. 【解析】 解:∵双曲线 C1: ∴a=b, ∴一条渐近线为 l:y=x, 代入抛物线 C2:y2=4x 可得 P(4,4) , ∵抛物线 C2:y2=4x 的焦点为 F(1,0) , ∴|PF|= 故选:D. 【点评】 本题考查双曲线的几何性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能 力,属于基础题. =5. =1(a>0,b>0)的离心率为 ,

7. (5 分)一只蚂蚁从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最 短路线爬行到达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图 是( )

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④

【考点】 平行投影及平行投影作图法. 【专题】 空间位置关系与距离. 【分析】 本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形, 连接此时的对角线 AC1 即为所求最短路线. 【解析】 解:由点 A 经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点 C1 位置,共有 6 种展开 方式,若把平面 ABA1 和平面 BCC1 展到同一个平面内,

在矩形中连接 AC1 会经过 BB1 的中点,故此时的正视图为②. 若把平面 ABCD 和平面 CDD1C1 展到同一个平面内, 在矩形中连接 AC1 会经过 CD 的中点, 此时正视图会是④. 其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了, 故选 C 【点评】 本题考查空间几何体的展开图与三视图,是一道基础题.

8. (5 分) 已知 A, B 是单位圆上的动点, 且|AB|= A. B. C. D.

, 单位圆的圆心为 O, 则

= (



【考点】 平面向量数量积的运算. 【专题】 平面向量及应用. 【分析】 解三角形可得∠OAB,由数量积的等腰可得答案. 【解析】 解: (如图) ,在等腰三角形 OAB 中,OA=OB=1,AB= 由余弦定理可得 cos∠OAB= ∴∠OAB=30° ∴向量 ∴ 故选:C =1× 的夹角为 180° ﹣30° =150° × cos150° = = , ,

【点评】 本题考查平面向量数量积的运算,涉及余弦定理的应用,属中档题.

9. (5 分)若(1﹣3x)2015=a0+a1x+…a2015x2015(x∈R) ,则 A. 3 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣3

的值为(



【考点】 二项式定理的应用. 【专题】 计算题;二项式定理. 【分析】 由(1﹣3x)2015=a0+a1x+…+a2015x2015(x∈R) ,得展开式的每一项的系数 ar,代入 到 =﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015,求值即可.

【解析】 解:由题意得:展开式的每一项的系数 ar=C2015r?(﹣3)r, ∴ =﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015

∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015=(1﹣1)2015=0 ∴ 故选:C. 【点评】 此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值,特别是解决二项式的系 数问题时,常采取赋值法. =﹣1.

10. (5 分) 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足: (x) f =

且f (x+2)

=f(x) ,g(x)=

,则方程 f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的所有实根之和为(



A. ﹣7 B. ﹣8 C. ﹣9 D. ﹣10

【考点】 根的存在性及根的个数判断. 【专题】 函数的性质及应用. 【分析】 化简 g(x)的表达式,得到 g(x)的图象关于点(﹣2,1)对称,由 f(x)的 周期性,画出 f(x) ,g(x)的图象,通过图象观察[﹣5,1]上的交点的横坐标的特点,求 出它们的和. 【解析】 解:由题意知 g(x)= ,且函数 f(x)的周期为 2,

则函数 f(x) ,g(x)在区间[﹣5,1]上的图象如下图所示: 由图形可知函数 f(x) ,g(x)在区间[﹣5,1]上的交点为 A,B,C,易知点 B 的横坐标为 ﹣3, 若设 C 的横坐标为 t(0<t<1) ,则点 A 的横坐标为﹣4﹣t, 所以方程 f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的所有实数根之和为﹣3+(﹣4﹣t)+t=﹣7, 故选:A.

【点评】 本题考查分段函数的图象和运用,考查函数的周期性、对称性和应用,同时考查 数形结合的能力,属于中档题.

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选作题(请 考生在第 11、12、13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)

11. (5 分) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 . 以直角坐标系 xOy

中的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+3=0,则圆 心 C 到直线 l 距离为 .

【考点】 直线的参数方程;点到直线的距离公式;简单曲线的极坐标方程. 【专题】 计算题;压轴题. 【分析】 将直线 l 的参数方程的参数 t 消去即可求出直线的普通方程,利用极坐标转化成 直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程;再代入点到直线的距离公式即可得到答案. 【解析】 解:因为直线 l 的参数方程为 ∴消去参数 t 可得直线的普通方程为:y= (x+3)? x﹣y+3 . =0.

又因为圆 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+3=0; 所以:圆的直角坐标方程为:x2+y2﹣4x+3=0,即: (x﹣2)2+y2=1;圆心为(2,0) ,半径 为 1. 故圆心到直线的距离为: = .

故答案为:



【点评】 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程,以及直线的参数方程和直线与圆的位置 关系的判定,属于基础题.

12. (5 分)如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB=5,直角边 AC=4,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D,则⊙C 的半径长为 .

【考点】 与圆有关的比例线段. 【专题】 推理和证明. 【分析】 判断 CD 与 AB 垂直,通过三角形面积相等求解⊙C 的半径长 CD 即可. 【解析】 解:在 Rt△ABC 中,斜边 AB=5,直角边 AC=4,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相 切于 D, 所以 BC=3,CD⊥AB, , 可得 CD= 故答案为: . .

【点评】 本题考查与圆有关的比例线段,三角形与圆的位置关系,考查推理与证明,基本 知识的考查.

13. (5 分)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5 的解集为 (﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) .

【考点】 绝对值不等式的解法. 【专题】 不等式的解法及应用. 【分析】 由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和﹣2 的距离之和,而﹣3 和 2 对应 点到 1 和﹣2 的距离之和正好等于 5,由此求得所求不等式的解集. 【解析】 解:由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和﹣2 的距离之和, 而﹣3 和 2 对应点到 1 和﹣2 的距离之和正好等于 5, 故不等式|x﹣1|+|x+2|≥5 的解集为 (﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) , 故答案为 (﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) . 【点评】 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题.

(二)必做题(14-16 题) 14. (5 分) 计算定积分 (x2+sinx)dx= .

【考点】 定积分.

【专题】 计算题. 【分析】 求出被积函数的原函数,再计算定积分的值. 【解析】 解:由题意,定积分 = . 故答案为: . 【点评】 本题考查定积分的计算,确定被积函数的原函数是关键. = =

15. (5 分)在平面直角坐标系中,不等式组

(a>0)表示的平面区域的面积为

5,直线 mx﹣y+m=0 过该平面区域,则 m 的最大值是



【考点】 简单线性规划. 【专题】 作图题. 【分析】 本题需要在平面直角坐标系中作出不等式组对应的区域, 由面积为 5 可求得 a=2, 又知直线 mx﹣y+m=0 过定点 (﹣1, 0) , 斜率为 m, 结合图象可知, 过点 A 时 m 取最大值, 代入可求值.

【解析】 解:不等式组

表示的平面区域如图所示,其中 A(a,2a) ,B(a,﹣

) , ∴△ABC 的面积为 ,解得,a=2,故 A(2,4) ,B(2,﹣1) .

又直线 mx﹣y+m=0 可化为 y=m(x+1) ,可知直线过定点(﹣1,0) ,斜率为 m 结合图象可知该直线过点 A(2,4)时,m 取最大值,把点 A 的坐标代入直线可得,m= , 故答案为:

【点评】 本题为线性规划问题,关键是作出可行域,还要得出已知直线的过定点的特点, 斜率为 m,代值即可求解,属中档题.

16. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an=logn(n+1) (n≥2,n∈N*) ,定义:使乘积 a1?a2?…?aK 为 正整数的 k(k∈N*)叫做“简易数”. (1)若 k=3 时,则 a1?a2?a3= 2 ;

(2)求在[3,2015]内所有“简易数”的和为 2024 .

【考点】 数列的求和. 【专题】 新定义. 【分析】 利用 an=logn+1(n+2) ,化简 a1?a2?a3…ak,得 k=2m﹣2,给 m 依次取值,可得区间 [3,2015]内所有简易数,然后求和. 【解析】 解: (1)当 k=3 时,则 a1?a2?a3=1?log23?log34=log24=2; (2)∵an=logn+1(n+2) , ∴由 a1?a2…ak 为整数得 1?log23?log34…log(k+1) (k+2)=log2(k+2)为整数, 设 log2(k+2)=m,则 k+2=2m, ∴k=2m﹣2, ∵211=2048>2015, ∴区间[3,2015]内所有和谐数为:23﹣2,24﹣2,…,210﹣2, 其和 M=23﹣2+24﹣2+…+210﹣2 =23(1+2+22+…+27)﹣2× 8

= =2024.

﹣16

故答案为:2,2024. 【点评】 本题以新定义“简易数”为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质 的应用,注意解题方法的积累,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分)已知函数 f(x)=( (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后得到偶函数 y=g(x)的图象,求 m 的最小值. sinx﹣cosx) ( cosx+sinx) ,x∈R,

【考点】 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】 三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)由和差角公式化简可得 f(x)=2sin(2x﹣ ≤2kπ+ 可得函数的单调递增区间; ) ,由偶函数易得 m= + ,k∈Z,结合 m 的范围 ) ,解不等式 2kπ﹣ ≤2x﹣

(2)易得 g(x)=2sin(2x+2m﹣ 可得最小值.

【解析】 解: (1)化简可得 f(x)=( =3sinxcosx+ =sin2x﹣ 由 2kπ﹣ sin2x﹣ cos2x﹣sinxcosx ) 可得 kπ﹣ ,kπ+

sinx﹣cosx) (

cosx+sinx)

cos2x=2sin(2x﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+

≤x≤kπ+ ](k∈Z) ; ]=2sin(2x+2m﹣ ) ,

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

(2)由 (1)可知,g(x)=2sin[2(x+m)﹣

∵函数 y=g(x)为偶函数,∴函数 y=g(x)的图象关于 y 轴对称 ∴2m﹣ =kπ+ ,解得 m= + ,k∈Z,

又∵m>0,∴当 k=0 时 m 取得最小值 【点评】 本题考查三角函数的图象和性质,涉及设计师的单调性和对称性以及和差角公式 的应用,属中档题.

18. (12 分)某同学参加某高校自主招生 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀 成绩的概率为 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p<q) ,且不同课程 是否取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率及求 p,q 的值; (Ⅱ) 求数学期望 Eξ.

【考点】 离散型随机变量的期望与方差. 【专题】 计算题;概率与统计. 【分析】 (Ⅰ) 用 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”, i=1, 2, 3. 由题意得 ,

,由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率.从而能够求 出 p,q 的值. (Ⅱ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出其概率,由此能够求出数学期望 Eξ. 【解析】 解:用 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3. 由题意得 ,

(Ⅰ)该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为

及 (Ⅱ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)= ,





, , P(ξ=3)=1﹣ ﹣ ﹣ = .

∴ ∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为 .



【点评】 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望, 是历年高考的必考题型之一. 解 题时要认真审题,注意排列组合知识和概率知识的灵活运用.

19. (12 分)如图一所示,四边形 ABCD 为等腰梯形,AD∥BC,AD=4,BC=8,O、O1 分 别为 BC、AD 的中点,将梯形 ABOO1 沿直线 OO1 折起,使得平面 ABOO1⊥平面 OO1DC, 得到如图二所示的三棱台 AO1D﹣BOC,E 为 BC 的中点. (1)求证:BC⊥平面 OO1E; (2)若直线 O1E 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为 ,求三棱锥 A﹣BOC 的体积.

【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】 空间位置关系与距离. 【分析】 (1)在等腰梯形 ABCD 中,O、O1 分别为两底 BC、AD 的中点,可得 OO1⊥BC, 因此在三棱台三棱台 AO1D﹣BOC 中,OO1⊥BO,OO1⊥OC,利用线面垂直的判定与性质 可得 OO1⊥BC,利用等腰三角形的性质可得:OE⊥BC,即可证明.

(2)由(1)可得:OO1⊥平面 BOC,OO1⊥BC,又平面 ABOO1⊥平面 OO1DC,可得∠ BOC=90° .以 O 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建

立空间直角坐标系(如图所示) .设 OO1=m,设平面 ABCD 的一个法向量为 =(x,y,z) , 则 ,可得 ,利用设直线 O1E 与平面 ABCD 所成的角为 θ,sinθ=

=

,即可得出.

【解析】 解: (1)在等腰梯形 ABCD 中,O、O1 分别为两底 BC、AD 的中点, ∴OO1⊥BC, 因此在三棱台三棱台 AO1D﹣BOC 中,OO1⊥BO,OO1⊥OC, 又 BO∩OC=O,∴OO1⊥平面 BOC,∴OO1⊥BC, 又 BO=OC,E 为 BC 的中点,∴OE⊥BC, ∵OO1∩OE=O,∴BC⊥平面 OO1E; (2)由(1)可得:OO1⊥平面 BOC,∴OO1⊥BC, 又平面 ABOO1⊥平面 OO1DC,∴∠BOC=90° . 以 O 为坐标原点,分别以 坐标系(如图所示) . 设 OO1=m,由题意可得,O(0,0,0) ,B(4,0,0) ,C(0,4,0) ,O1(0,0,m) ,E (2,2,0) ,A(2,0,m) . ∴ =(2,0,﹣m) , =(﹣4,4,0) , =(2,2,﹣m) . , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角

设平面 ABCD 的一个法向量为 =(x,y,z) ,则

,令 x=1,则 y=1,

z= ,即 =



设直线 O1E 与平面 ABCD 所成的角为 θ, 则 sinθ= = = = ,

解得 m=

或 m=2



∴VA﹣BOC=

=

=





【点评】 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形与等腰梯形的性质、线 面角的计算公式、三棱锥的体积计算公式,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属 于中档题.

20. (13 分)岳阳市为了改善整个城市的交通状况,对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调 查.统计数据显示:在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速 度为 0; 当车流密度不超过 30 辆/千米时, 车流速度为 85 千米/小时, 研究表明: 当 30≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值.

【考点】 根据实际问题选择函数类型;函数模型的选择与应用. 【专题】 函数的性质及应用. 【分析】 (1)直接列出当 0≤x≤30 时 v(x)=85;当 30≤x≤200 时,v(x)=ax+b.利用已 知条件求出 a,b,然后求出函数 v(x)的表达式. (2)求出函数 f(x)= ,利用当 0≤x≤30 时,求出函数的最

值;当 30≤x≤200 时,求出函数的最值.然后得到最大值. 【解析】 (本题满分 13 分) 解: (1)由题意:当 0≤x≤30 时 v(x)=85;当 30≤x≤200 时,v(x)=ax+b.

再由已知得

解得



故函数 v(x)的表达式为:v(x)=

…(6 分)

(2)依题意并由(Ⅰ)可得 f(x)=

…(8 分)

当 0≤x≤30 时,f(x)为增函数,故当 x=30 时达到最大,其最大值为 85× 30=2550; 当 30≤x≤200 时,f(x)= 当且仅当 x=100 时,f(x)在区间[30,200]上取得最大值 5000, 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 5000. 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 5000 辆/小时.…(13 分) 【点评】 本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的 能力. ,

21. (13 分)已知椭圆 E:

(a>b>0)与双曲线 G:x

共焦点,F1,

F2 是双曲线的左、右焦点,P 是椭圆 E 与双曲线 G 的一个交点,O 为坐标原点,△PF1F2 的 周长为 4 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知动直线 l 与椭圆 E 恒有两个不同交点 A,B,且 围. ,求△OAB 面积的取值范

【考点】 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】(I) 由双曲线 G: 中有 c=2,又△PF1F2 的周长为 4+4 b2=a2﹣c2,解出即可. 知 F1 (﹣2, 0) , F2 (2, 0) , 可得在椭圆 E: ,可得|PF1|+|PF2|=4 =2a,

(II)当直线 l 的斜率存在时,其方程可设为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆方 程联立可得: (1+2k2) x2+4kmx+2m2﹣8=0, 则△>0, 可得 (8k2﹣m2+4) >0, 要使 需使 x1x2+y1y2=0,可得 3m2﹣8k2﹣8=0,而原点到直线 l 的距离 d= ,又|AB|= ,

=

,对 k 分类讨论即可得出取值范围,

利用 S△OAB=

,即可得出.

【解析】 解: (I)由双曲线 G:

知 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,

∴在椭圆 E: 又△PF1F2 的周长为 4+4 ∵|PF1|+|PF2|=4 a=2 =2a,

中有 c=2, ,

,b2=a2﹣c2=4, ,

∴椭圆 E 的方程为

(II)当直线 l 的斜率存在时,其方程可设为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

解方程组

,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,

则△=16k2m2﹣4(1+2k2) (2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0, 即(8k2﹣m2+4)>0, ∴x1+x2=﹣ , ,

要使

,需使 x1x2+y1y2=0, + =0,



∴3m2﹣8k2﹣8=0,8k2﹣m2+4>0 对于 k∈R 恒成立,

而原点到直线 l 的距离 d=



d2=

=

= ,d=



同时有

=

=

=

=



∴|AB|=

=

=



①当 k≠0 时,|AB|=





,∴





≤12,



<|AB|≤2

,当且仅当 k= .

时取”=”.

②当 k=0 时,|AB|=

当直线 l 的斜率不存在时,直线为 x= 或 此时|AB|= ,

与椭圆

=1 的两个交点为 ,

满足

综上,|AB|的取值范围为 ∴S△OAB= 因此 S△OAE∈ = . |AB|∈

, .

【点评】 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程 联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不 等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

22. (13 分)已知函数 f(x)=ax﹣ln(x+1)的最小值为 0,其中 a>0. (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x∈(0,+∞) ,有 >1 成立,求实数 k 的最小值;

(3)证明

﹣ln(2n+1)<2(n∈N*) .

【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】 导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)利用导数研究单调性,求出最小值点,根据此时函数值为 0 列出方程即可求 出 a 的值; (2)根据关于 x 的不等式恒成立利用函数的最值得到一个关于 k 表达式,然后据原式恒成 立构造关于 k 的不等式求出符合题意的 k 值; (3)根据(2)的结论,可适当的将原式进行放缩,以便可以化简求和,从而使问题获证. 【解析】 解析: (1)f(x)的定义域为 x∈(﹣1,+∞) . f(x)=ax﹣ln(x+1)?f′(x)=a﹣ 所以 f′(x)>0? 得: 时, ,f′(x)<0? ? . ,所以 a=1. .

(2)由(1)知,f(x)在 x∈(0,+∞)上是增函数,所以 f(x)>f(0)=0,x∈(0,+∞) . 所以 ?kx2﹣f(x)>0 在 x∈(0,+∞)上恒成立

设 g(x)=kx2﹣f(x)=kx2﹣x+ln(x+1) (x≥0) . 则 g(x)≥0 在 x∈(0,+∞)上恒成立,即 g(x)min≥0=g(0) . (*) 由 g(1)=k﹣1+ln2≥0 得 k>0.

. ①当 2k﹣1<0 即 k 矛盾 ②当 时,g′(x)≥0?g(x)min=g(0)=0 符合(*) 时,g′(x)≤0? ?g(x0)<g(0)=0 与(*)

得:实数 k 的最小值为 . (3)由(2)得: 取 : 对任意的 x>0 值恒成立



当 n=1 时,2﹣ln3<2 得:



当 i≥2 时,



得:



【点评】 本题考查了导数在求函数的最值,证明不等式恒成立问题中的应用,在证第三问 时,要注意放缩法的应用.本题有些难度.


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