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【创优设计】高二数学北师大版选修1-1课件2.3.2 双曲线的简单性质

3.2 双曲线的简单性质 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等简单几何性质. 2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,体会数形结合思 想. 2 双曲线 2 ? 2 2 =1(a>0,b>0)的简单性质 1.对称性:双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴的轴对称图形,也是以原点为 对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心. 2.范围:双曲线都在两条平行直线 x=-a 和 x=a 两侧. 3.顶点:双曲线与它的对称轴的交点 A1(-a,0),A2(a,0)叫作双曲线的顶点. 两个顶点间的线段 A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长度等于 2a.设 B1(0,-b),B2(0,b)为 y 轴上的两个点,我们把线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴,它的 长度等于 2b,a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长. 【做一做 1】 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一 个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( 2 2 A. ? =1 4 4 2 2 C. ? =1 4 8 2 2 B. ? =1 4 4 2 2 D. ? =1 8 4 ) 解析:由题意,知双曲线的焦点在 y 轴上,且 a=2,2a+2b= 2·2c,即 b+2= 2c.又 a2+b2=c2,即 4+b2=c2,联立可解得 b=2,c=2 2. 答案:B 4.离心率:我们把 =e 2 叫作双曲线 2 ? 2 2 =1(a>0,b>0)的离心率.其中 e>1,当 e 越大时,双曲线的开口越大. 【做一做 2】 ( 2 2 已知双曲线 + =1 4 的离心率 e<2,则 k 的取值范围是 ) A.k<0 或 k>3 B.-3<k<0 C.-12<k<0 D.-8<k<3 解析:由条件判断知 k<0 且焦点在 x 轴上,则 a =4,b =-k,故 1< 2 2 4- 2 <2, 解得-12<k<0. 答案:C 2 2 【做一做 3-1】 双曲线 ? =1 的渐近线方程是( 9 25 3 4 A.y=± x B.y=± x 4 3 5 3 C.y=± x D.y=± x 3 5 3 解析:渐近线方程为 ± =0,即 y=± x. 3 5 5 5.渐近线:我们把直线 y= x 和 y=- x 叫作双曲线的渐近线. ) 答案:D 【做一做 3-2】 双曲线的离心率为 2,则双曲线的两条渐近线的夹角 是 . 解析:由 2 = 2, 2 2 + = , 的夹角为 90° . 答案:90° 得 a=b,则渐近线方程为 y=± x.所以两条渐近线 1 2 1.正确理解双曲线的渐近线 剖析:双曲线的渐近线是两条直线.随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将 无限地与渐近线接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪一坐标轴上.与双曲线 2 2 2 2 有相同渐近线的双曲线系为 2 2 ? 2 =1 ? 2 =λ(λ≠0),焦点可能在 x 轴上, 也可能在 y 轴上. 所有以 y=± kx 为渐近线的双曲线的方程可设为 k2x2-y2=λ(λ≠0).在画双 曲线的草图时,应先画出其两条渐近线,然后再标出两顶点的坐标,利用双曲 线的图形特征,即可作出比较准确的草图. 1 2 2.双曲线中应注意的问题 剖析:(1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的; (3)双曲线只有两个顶点,离心率 e>1; (4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2,实轴长与虚 轴长相等,两条渐近线互相垂直; (5)注意双曲线中 a,b,c,e 的等量关系与椭圆中 a,b,c,e 的等量关系的区 别. 题型一 题型二 题型三 题型一 双曲线性质的应用 【例题 1】 求双曲线 9y2-16x2=144 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐 标、渐近线方程、离心率. 分析:先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量. 解:双曲线 9y -16x 2 2 2 2 =144,可化为 ? =1. 16 9 ∵ a=4,b=3,∴ c2=a2+b2=25.∴ c=5. ∴ 实轴长 2a=8,虚轴长 2b=6;焦点坐标为 F1(0,-5),F2(0,5);顶点坐标为 (0,-4),(0,4);渐近线方程为 y=± x;离心率 e= = . 4 3 5 4 题型一 题型二 题型三 要注意正确判定焦点的位置;双曲线与椭圆相比,双曲线有两个顶点, 而椭圆有四个顶点;对渐近线方程的求法,一是利用渐近线方程写出;二是由 2 2 方程 ? =0 16 9 求解. 题型一 题型二 题型三 题型二 2 2】 求与双曲线 9 2 ? =1 16 求双曲线方程 【例题 方程. 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3)的双曲线 分析:设出双曲线的标准方程,然后用待定系数法求出 a,b 的值,从而确定双 曲线的方程. 2 2 解法一:设双曲线的方程为 2 ? 2=1. 4 = , 3 由题意,得 (-3)2 (2 3)2 - 2 = 1, 2 9 解得 a2= ,b2=4. 4 2 2 所以双曲线的方程为 9 ? =1. 4 4 题型一 题型二 题型三 2 解法二:设所求双曲线方程为 9 2 ? =λ(λ≠0), 16 1 4 2 2 1 2 所以双曲线的方程为 ? = ,即 9 9 16 4 将点(-3,2 3)的坐标代入,得 λ= , 4 2 ? =1. 4 (1)求双曲线方程,关键是求 a,b 的值,在解题过程中应熟悉 a,b,c,e 等 元素的几何意义及它们之间的联系,并注意方程思想的应用. (2

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