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湖南省衡阳市八中2014届高三数学上学期第三次月考试卷 文 新人教A版


衡阳市八中 2014 届高三第三次月考 文科数学
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 2. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 一、选择题:本大题共 9 小题。每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 复数

2 化简的结果为 ( A 1? i
B. ?1 ? i

) C. 1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i 2.已知集合 M ? x y ? A. (0, ?) ?

?

x ? 1 , N ? ? y y ? x 2,x ? R? ,则 M ? N ? ( D )
C. (1 ? ?) ,

?

? B. ? 0, ? ?

? D. ?1, ? ?

3.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( C ) A. y ? x ? 1 B. y ? tan x C. y ? x
3

D. y ? log 2 x )

4. “函数 f ( x) ? log a x 在区间(0,+∞)上为增函数”是“a=3”的( B A.充分不必要条件 C.充要条件 5.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? 析式是( D A. y ? sin 2 x ) B. y ? cos 2 x C. y ? sin(2 x ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
6

) 的图像向右平移

? 个单位,那么所得的图像所对应的函数解 6
2? ) 3
D. y ? sin(2 x ? A )

?
6

)

6.已知 | a |? 1,| b |? 2, a与b 的夹角为 120°,则 a ? b在a 方向上的投影为 ( A. 0 B.1 C.-1
n

?

?

? ?

? ? ?

D.2

? 7.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 3 ? a , n ? N ,则实数 a 的值是 ( C )

A. ?3

B. 3

C. ?1

D.1 )

8.函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π ,π ]的图象大致为 ( C

9.已知 an ? ( ) ,把数列 ?a n ? 的各项排列成如下的三角形状,

1 3

n

1

记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( ,12) = 10 A. ) (

( B ) D. ) (

1 3

92

B. ) (

1 3

93

C.( )

1 3

94

1 3

112

二、填空题:本大题共 6 小题。每小题 5 分,请将答案填写在答卷相应的位置上。 10.已知函数

f ( x) ? x ? 1 ,若 f (a) ? 4 ,则实数 a ? ____________17

11.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.-1

12.若

的内角 、 、 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则

11 16
-2

13.如果向量 a ? (k , 1) 与 b ? (4, k ) 共线且方向相反,则 k ?

?

?

14 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? (??, 0) 时 不 等 式 ,

f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,若 a ? 30.3 f (30.3 ), b ? (log? 3) f (log ? 3)

1 1 c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a,b,c 的大小关系(用“>”连接)是 9 9

c>a>b

{ 15. 定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) , 如果对于任意给定的等比数列 {an } , f (an )}
仍是等比数列,则称 f ( x) 为“等比函数” 。现有定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? 2 ; f ( x ) ? ②
x

1 2 ) l n ; f ( x) ? x ; f ( x ? 2 ③ ④ x

x

, 则其中是 “等比函数” f ( x) 的

的序号为

②③④

三、解答题:本大题共 6 个小题

? ? 1? ? 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a =?cos x,- ?, b =( 3sin x,cos 2x),x∈R, 2? ?
设函数

? ? f ( x) ? a ? b
4

(1)求 f (x)的最小正周期;

(2)求 f(x)在 [0, 3? ] 上的最大值和最小值. 1? 1 3 ? 16.解: f(x)=?cos x,- ?·( 3sin x,cos 2x)= 3cos xsin x- cos 2x= sin 2x 2? 2 2 ?

2

π? 1 π π ? - cos 2x=cos sin 2x-sin cos 2x=sin ?2x- ?. 6? 2 6 6 ? (1)f(x)的最小正周期为 T= 2π 2π = =π ,即函数 f(x)的最小正周期为π . ω 2

π π (2)∵0≤x≤ 3? ,∴- ≤2x- ≤ 4? 6 6 3 4 由正弦函数的性质, π π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π ?π ? 当 2x- = 4? ,即 x= 3? 时,f? ?= ? 3 , 6 ?2? 3 4 2 ∴f(x)的最小值为 ? 3 2 π 因此,f(x)在 0, 上最大值是 1,最小值是 ? 3 2 2 17. (本小题满分 12 分)已知 a ? 1, b ? 6 . (1)若 a ? (b ? a) ? 2 ,求向量 a 与 b 的夹角; (2)若 a 与 b 的夹角为

?

?

? ? ?

?

?

?

?

? ? ? ,求 a ? b 的值. 3

? ? ?2 ? ? ? 解: (1)由 a ? (b ? a) ? 2 得 a ? b ? 2 ? a ? 3

? ? ? ? a ?b 1 cos ? a, b ?? ? ? ? a?b 2

所以 向量 a 与 b 的夹角为

?

?

(2) a ? b ? (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b ? 31 ,? a ? b ?

? ?2

? ?

?2

? 3

? ? ?2

?

?

31

18. (本小题满分 12 分)公差不为零的等差数列 ? an ? 中, a4 ? 7 ,且 a2 、 a5 、 a14 成等 比数列.

(2)求 a1 +a4+a7+?+a3n-2. 解:(1)设公差为 d ? 0 ,则 ?

?

a1 ? 3d ? 7
2

?(a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 13d ) 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

解得 a1 ? 1, d ? 2

3

(2) a3n-2}是以 1 为首项, 6 为公差的等差数列,S n { 以

? na1 ?

n( n ? 1) d ? 3n 2 ? 2n 2

19. (本小题满分 13 分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑 均线(记作 MA)的变化情况来决定买入或卖出股票.股 民老王在研究股票的走势图时,发现一只股票的 MA 均线 近期走得很有特点: 如果按如图所示的方式建立平面直角 坐标系 xoy,则股价 y(元)和时间 x 的关系在 ABC 段可 近似地用解析式 y ? a sin(

?
72

x ? ? ) ? 19 (0 ? ? ? ? ) 来

描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天 出现了明显的筑底结束的标志, D 点和 C 点正好关于直 且 线 l : x ? 34 对称. 老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示, 这里 DE 段与 ABC 段关于 直线 l 对称,EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点 F.现在老 王决定取点 A(0,22) ,点 B(12,19) ,点 D(44,16)来确定解析式中的常数 a, ? (1)请你帮老王算出 a, ? ,并回答股价什么时候见顶(即求 F 点的横坐标) ; (2)老王如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 5000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖出, 不计其它费用,这次操作他能赚多少元? 解: (1)∵C,D 关于直线 l : x ? 34 对称∴C 点坐标为(2×34-44,16) , 即(24,16)

? ?a sin ? ? 19 ? 22..........................1) ? ? ? 把 A、B、C 的坐标代入解析式,得 ? a sin( ? ? ) ? 19 ? 19.................2) 6 ? ? ? ?a sin( 3 ? ? ) ? 19 ? 16.................3) ?
2) ? 1) : 3) ? 1) : a(sin( ? ? ) ? sin ? ) ? ?3.........................4) 6 a(sin( ? ? ) ? sin ? ) ? ?6 ..........................5) 3
又? 0 ? ? ? ?

?

?

3 5) ,整理得 tan? ? ? 3 4)
将?? ?

?? ?

5? 6

5? 代入 1)得 a ? 6 6

于是, ABC 段的解析式为 y ? 6 sin(

?
72

x?

5? ) ? 19 6
4

由对称性得, DE 段的解析式为 y ? 6sin[

?

72 5? ? 所以,由 (68 ? x) ? ? ,得 x ? 92 72 6 2 所以当 x ? 92 时,股票见顶.

(68 ? x) ?

?

5? ] ? 19 6

(2)由(1)可知, y F ? 25 ,故这次操作老王能赚 5000×(25-16)=45000 元.

20. (本小题满分 13 分)若数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an , 记 bn ? log 1 an .
2

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ?1 ? cn ? bn , c1 ? 0, 求证:对任意 n ? 2, n ? N *都有 解:(1)由 6S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 由 6Sn ? 1 ? 2an ①, ②,

1 1 1 3 ? ??? ? . c2 c3 cn 4

1 . 8

当 n ? 2 时,有 6Sn ?1 ? 1 ? 2an ?1 ①-②得:

an 1 ? , an ?1 4
1 ?1? ? ?? ? 8 ?4?
n ?1

1 1 ?数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 4 8
?1? ?? ? ?2?
2 n ?1

? an ? a1q

n ?1



?1? ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?

2 n ?1

? 2n ? 1 .

(2)? cn?1 ? cn ? bn =2n ? 1 ,

? cn ? cn ?1 ? bn ?1 =2 ? n ? 1? ? 1 ,
cn ?1 ? cn ?2 ? bn ?2 =2 ? n ? 2 ? ? 1 ,


c3 ? c2 ? b2 =2 ? 2 ? 1 , c2 ? c1 ? b1 =2 ?1 ? 1 ,
以 上 n ? 1 个 式 子 相 加 得 cn ? c1 ? bn ?1 =2 ?1+2+3+ ? +n ? 1? ? n ? 1=n ? 1 ,
2

? cn = ? n ? 1?? n ? 1? ,

5

?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, cn ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?

?

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c2 c3 cn 2 ? 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1? 1 1 1 ? 3 1?1 1 ? = ?1+ ? ? ?? ? ? ? ?, 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ?

1?1 1 ? ? ? ? ? ? 0, 2 ? n n ?1?

?

1 1 1 3 ? ? ? ? ? 对任意 n ? 2, n ? N * 均成立. c2 c3 cn 4
x

21. (本小题满分 13 分)设函数 f(x)=lnx-ax,g(x)=e -ax,其中 a 为实数. (1)若 f(x)在(2,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(2,+∞)上有最小值,求 a 的取值范 围; (2)若 g(x)在(0,+∞)上是单调增函数,试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论.

1 解:(1) f(x)在(2,+∞)上是单调减函数,则当 x ? (2, ?? ) ,f′(x)= -a ? 0 恒成立, x

a?

1 恒成立, 1 1 a ? ( ) max ? x 2 x
x

.令 g′(x)=e -a=0,得 x=ln a.当 x<ln a 时,g′(x)<0;当 x>ln a 时,g′(x)>0.又 2 g(x)在(2,+∞)上有最小值,所以 ln a>2,即 a>e . 2 综上,有 a∈(e ,+∞). (2)当 x ? (0, ?? ) , g 令 f(x)=0, a
/

( x) ? e x ? a ? 0恒成立, a ? e x) ,? a ? 1 ( min

?

ln x ln x ,设 h ( x ) ? x x

h / ( x) ?

1 ? ln x / ( x ? 0) ,令 h ( x ) ? 0, x ? e 2 x
/

当 x ? (0, e), h

( x) ? 0, h( x)在(0,e)上单调递增
/

当 x ? (e, ? ), h ?

( x) ? 0, h( x)在(e,+?)上单调递减

6

? h( x )的最大值为h(e) ?
h(x)的大致图象如图所示:

1 e

y

1/e

e e

x



1 1 1 ? a ? 1 时无零点, 0 ? a ? 时,两个零点, a ? 0, a ? 时一个零点 e e e

7


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