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高中数学31和角公式311两角和与差的余弦课后导练新人教B版4!

3.1.1 两角和与差的余弦
课后导练 基础达标 1.cos(-15°)的值为( A. ) B.

2? 6 4 2? 6 4

6? 2 4 2? 6 4


C. 解

D. ? 析

cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°= 答案:C 2.cos78°·cos18°+sin78°·sin18°的值为( A.

2? 6 . 4

) D.

1 2

B.

1 3

C.

3 2
1 . 2

3 3

解析:原式=cos(78°-18°)=cos60°=

答案:A 3.化简 cos(α +β )·cosα +sin(α +β )·sinα 得( A.cosα B.cosβ C.cos(2α +β ) D.sin(2α +β ) 解析:原式=cos(α +β -α )=cosβ . 答案:B 4.若 sinα -sinβ =1-



1 3 ,cosα -cosβ =- ,则 cos(α -β )的值为( 2 2



A.

1 2

B.

3 2

C.

3 4

D.1

解 析 : 将 两 式 平 方 后 相 加 , 可 得 2-2(cosα cosβ +sinα sinβ )=2-

3 ,即有

cos(α -β )= 答案:B

3 . 2

5. 若 sin(π +θ )= ? cos(θ -φ )的值是(

3 ? 2 5 ,θ 是第二象限角, sin( +φ )= ? ,φ 是第三象限角,则 5 2 5


1

A. ?

5 5

B.

5 5

C.

11 5 25

D. 5

解析:由 sin(π +θ )= ?

3 3 4 ,得 sinθ = ,又 θ 是第二象限角,得 cosθ = ? . 5 5 5

由 sin(

? 2 5 2 5 5 +φ )= ? ,得 cosφ = ? ,又 φ 是第三象限角,得 sinφ = ? , 2 5 5 5
5 . 5

则 cos(θ -φ )=cosθ cosφ +sinθ sinφ = 答案:B

1 2 2 ,则(sinα +sinβ ) +(cosα +cosβ ) =___________. 3 8 2 2 解析:(sinα +sinβ ) +(cosα +cosβ ) =2+2cos(α -β )= . 3 8 答案: 3
6.若 cos(α -β )= 7.在△ABC 中,若 sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 的形状为________. 解析:∵sinAsinB<cosAcosB, ∴cos(A+B)>0.又 A+B+C=π , ∴cos(π -C)>0.∴cosC<0. ∴△ABC 为钝角三角形. 答案:钝角三角形 8.已知 α 、β 均为锐角,则 sinα = 解析:∵α 、β 均为锐角, ∴cosα =

5 10 ,cosβ = ,则 α -β 的值为_________. 5 10

2 5 3 10 .sinβ = . 5 10

又 sinα <sinβ ,∴α <β . ∴cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ = ∴α -β = ? 答案: ? 综合运用 9.已知 tanα = 4 3 ,cos(α +β )= ? 解:∵tanα = 4 3 ,α 为锐角,

2 . 2

?
4

.

?
4

11 ,α 、β 均为锐角,求 cosβ 的值. 14

2

∴sin α =48cos α =48(1-sin α ). ∴sinα =

2

2

2

1 4 3 .∴cosα = . 7 7

又 cos(α +β )= ?

11 ,及 0°<α +β <180°, 14

∴sin(α +β )= ∴cosβ =cos

5 3 . 14
[ (α +β )-α ]

=cos(α +β )·cosα +sin(α +β )sinα = ?

11 1 5 3 4 3 1 × + × = . 2 14 7 14 7

10.已知锐角 α 、β 满足 sinα =

4 3 5 3 ,sin(α +β )= ,求 β . 7 14 4 3 5 3 ,sin(α +β )= ,得 7 14

解:由已知锐角 α 、β 满足 sinα =

cosα = 1 ? (

4 3 2 1 ) ? , 7 7

又 sinα >sin(α +β ),故 α +β 必为钝角, ∴cos(α +β )=- 1 ? ( ∴cosβ =cos

5 3 2 11 ) ?? . 14 14
[ (α +β )-α ]

=cos(α +β )cosα +sin(α +β )·sinα = ? ∴β =60°.

11 1 4 3 5 3 1 × + × = . 14 7 7 14 2

3 ? 2m ? ? 有解,其中 x∈[- , ],求 m 的范围. m ?1 2 2 3 ? 2m ? 3 ? 2m 解:由 cosx- 3 sinx= ,得 2cos( +x)= . m ?1 m ?1 3 ? ? ? ? 5? 由 x∈[- , ],则 +x∈[ ? , ], 6 6 2 2 3
11.使 cosx- 3 sinx=

? +x)∈[- 3 ,2]. 3 3 ? 2m ∴- 3 ≤ ≤2. m ?1 5 解得 ≤m≤3+ 3 . 4
∴2cos( 拓展探究

3

12.重量为 G 的小车在地面上,卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图) ,若设小车和地面间的动 摩擦因数为 μ ,问牵引角 φ 多大时,用力最小?

? F cos? ? f ? 0, ? 解:可由物理学中的受力分析作图,由平衡条件得 ? N ? F sin ? ? G ? 0, ? f ? ?N . ?
即得 F=

?G ?G ? 2 cos? ? ? sin ? 1 ? ? (cos? cos? ? sin ? sin ? )
?G
(μ =tanα ),

?

1 ? ? 2 cos(? ? ? )

要使 F 最小,分母应最大,即 cos(α -φ )=1,即 α =φ . 又 tanα =μ ,所以当 φ =arctanμ 时,F 最小, 最小值为 Fmin=

?G
1? ? 2

=Gsinα =Gsinφ .

4


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