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人教b版高中数学课件_高二选修2-2:第一章6《微积分基本定理》_图文

1.6 微积分基本定理 feixuejiaoyu 微积分基本定理 内容: ?a b f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a) 应用: 1.计算简单函数的定积分 2.计算复合函数的定积分 feixuejiaoyu 本课主要学习微积分基本定理 .复习定积分的定义、几何 意义及性质,引入新课,先让学生得到基本的公式雏形,再利 用定义进行证明.而不是避过证明,进行大量的计算练习,这 样既在课堂上体现思想方法的构建过程,让学生去尝试,经 历挫折,讨论调整,选择更合理的解题思路.有体现了教材的 编写意图,同时培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能 力和运用数形结合思想解决问题的能力.设置了2个例题,通 过解决具体问题,理解微积分基本定理的含义,并能正确运 用基本定理计算简单的定积分。 例1是简单函数定积分求解,难度控制较好,例2的教学 加深了对复合函数定积分求法的理解,也为后续学习做好了 铺垫.例2及变式,既注重了与原问题的联系,又在不知不觉 中提高了难度,提高了学生的解题能力,开阔了学生的思路. feixuejiaoyu 复习:1、定积分是怎样定义? 设函数f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]中任意插入n-1个分点 : 把区间[a,b]等分成n个小区间, 在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 任取?i ?[ xi ?1 , xi ] ?Si ? f (?i )?x 做和式: ? f (?i )?x? ? f (?i )(b ? a) / n. i ?1 i ?1 n n 且有, lim ? f (?i )(b ? a) / n ? A(常数) n?0 i ?1 n 则,这个常数A称为f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分) 记作 即A ? ? b a f ( x)dx ? lim ? f (? i ( ) b - a) / n n ?0 i ?1 feixuejiaoyu n 积分上限 b n 积分和 即A ? ? f ( x)dx ? lim ? f (?i( ) b - a) / n a n ?0 i ?1 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 [a , b] 积分区间 feixuejiaoyu 复习:2、定积分的几何意义是什么? 1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时,那么: 定积分 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。 S1 S2 S3 2、定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积 的代数和来表示。 feixuejiaoyu f ( x ) ? 0, ?a f ( x )dx ? A b b 曲边梯形的面积 f ( x ) ? 0, ?a f ( x )dx ? ? A 曲边梯形的面积的负值 A3 A4 A1 A2 ?a f ( x )dx ? A1 b A2 A3 A4 feixuejiaoyu 定积分的简单性质 feixuejiaoyu 题型1:定积分的简单性质的应用 1、化简? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ? 0 1 2 1 2 3 2008 2007 f ( x)dx ? 2、已知, ? dx ? 3, ? 0 3 3 0 求: 3 0 3 9 3 2 81 3 xdx ? , ? x dx ? 9, ? x dx ? 0 2 0 4 3 2 ( 1 ) ( 4 x ? 3 x ? 6 x ? 8)dx ? ? ? (2) ? (?8 x ? 21x ? 12x ? 15)dx ? ? 3 2 0 3 点评:运用定积分的性质可以化简定积分计算,也可以把 一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差. feixuejiaoyu 题型2:定积分的几何意义的应用 问题1:你能求出下列格式的值吗?不妨试试. 1、 ? 4dx=? 8 1 3 2、 ? xdx=? 0 a 3、 ? (2 ? x) dx=? 2 0 3 4、 ? 9 ? x dx=? 2 0 3 feixuejiaoyu 问题2: 设某物体作直线运动,已知速度 v ? v ( t )是时间 间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数,且 v ( t ) ? 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为 ?T T2 1 v ( t )dt 另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 ) ? ? v ( t )dt ? s(T2 ) ? s(T1 ). 其中 s?(t ) ? v(t ). T 1 T2 从中你能发现导数和定积分的内在联系吗? feixuejiaoyu feixuejiaoyu feixuejiaoyu 物体的位移是函数在两个端点处的函数值之差, 即 S ? s(b) ? s(a) 从几何意义上看,由导数的几何意义知 求和得近似值 ?Si ? hi ? tan ?DPC ? ?t ? s '(ti ?1 ) ? ?t ? v(ti ?1 ) ? ?t , S ? ? ?Si ? ? hi ? ? v(ti ?1 )?t ? ? s '(ti ?1 )?t. i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n 取极限,由定积分的定义得 S ? ? v(t )dt ? ? s '(t )dt ? s(b) ? s(a) a a b b 进而得出微积分基本定理. feixuejiaoyu 从定积分角度来看:如果物体运动的速度函数为 v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定 积分表示为 另一方面,从导数角度来看:如果已知该变速直线运 动的路程函数为s=s(t),则在时间区间[a,b]内物体的 位移为s(b)–s(a),所以又有

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