当前位置:首页 >> 数学 >>

2004年国家集训队选拔考试(三)


国家集训队选拔考试(三)
第一天,2004 年 3 月 26 日 8:00-12:00 广东,南海 每题 7 分 1. 给定非零实数 a, b ,试求所有函数 f : R ? R ,使得

f (2 x) ? af ( x) ? bx, ?x? f ( x) f ( y) ? f ( xy) ? f ? ? y? ? ? ? 对任给 x ? R 及任给的 y ? R, y ? 0 成立,其中 R 表示实数集.
2. 设 k 为 正整数, A 为整数集 Z 的一个 子集,若存在 k 个整数 x1 , x2 ,?, xk , 使得

( xi ? A) ? ( x j ? A) ? ? 对 任 何 i ? j 成 立 , 则 称 A 为 一 个 k 集 , 其 中 x ? A ? {x ? a : a ? A}. 证明:如果 A1 , A2 ,?, At 分别为 k1 , k 2 ,?, kt 集,整数集 Z 是 A1 , A2 ,?, At 的并集,则
1 1 1 ? ? ? ? ? 1. k1 k 2 kt
3. 在凸四边形 ABCD 中, AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , AC ? e , BD ? f ,且

max{a, b, c, d , e, f } ? 1, 求 abcd 的最大值.
第二天,2004 年 3 月 27 日 8:00-12:00 广东,南海 每题 7 分

, 4. 已知数列 {cn } 满足 c0 ? 1, c1 ? 0, c2 ? 2005 cn?2 ? ?3cn ? 4cn?1 ? 2008 , n ? 1, 2, 3,?


an ? 5(cn?2 ? cn )(502? cn?1 ? cn?2 ) ? 4n ? 2004? 501 , n ? 2, 3, ? 问:对 n ? 2 , an 是否均为平方数?说明理由.
5. 平面上有 n ? 5 个互不相同的点, 每个点与其它恰好 4 个点的距离为 1, 求这样 值. 6. 若 大 于 1 的 整 数

n 的最小

?1 ? 2 n ? p1 p2 ? pt?t , 其 中 p1 , p2 ,?, pt 为 互 不 相 同 的 素 数 ,
1 2 t

? ? ?1 , ? 2 , ?, ? t 均为正整数,则称 p1 , p2 , ?, pt? 中最大的一个为 n 的最大素数幂因子.

设 n1 , n2 , ?, n10000 为 10000 个互不相同的正整数,并且, n1 , n2 , ?, n10000 的 最大素数幂因子均相同,证明:存在整数

a1 , a2 , ?, a10000 ,

使得,10000 个等差

} (i 数列 {ai , ai ? ni , ai ? 2ni , ai ? 3ni , ?

? 1,2, ?,10000 ) 两两不相交.



相关文章:
2001年IMO中国国家集训队选拔考试
2001年IMO中国国家集训队选拔考试_数学_高中教育_教育专区。2001 年 IMO 中国...三、给定大于 1 的整数 k, 记 R 为全体实数组成的集合. 求所有的函数 f:...
...中国国家集训队选拔考试试题(扫描版,无答案)
第 56 届国际数学奥林匹克(2015IMO) 中国国家集训队选拔考试试题 1 2015 年 3 月 14 日 8:00—12:30 2 3 4 第56 届国际数学奥林匹克(2015IMO) 中国...
...中国国家集训队选拔考试试题(扫描版,无答案)
第 56 届国际数学奥林匹克(2015IMO) 中国国家集训队选拔考试试题 1 2015 年 3 月 14 日 8:00—12:30 2 3 4 第56 届国际数学奥林匹克(2015IMO) 中国...
更多相关标签: