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3 PPT.1.1空间向量及其加减运算课件_图文

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量及其加减运算 1 复习回顾:平面向量 1.定义: 既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量:长度相等且方向相同的向量 B A D C 平面中存在向量,空间中是否也有向量? F3 已知F1=2000N, F2 F1 F2=2000N, F3=2000N, 这三个力两两之间 的夹角都为600, 它们的合力的大小 为多少N? 这需要进一步来认识空间中的向量 …… 2、空间向量的加法和减法运算法则 回顾:平面向量的加、减法运算法则: b a 向量加法的平行四边形法则 b a 向量加法的三角形法则 b a 向量减法的三角形法则 4 空间向量的加减运算和平面有什么联系? 思考1:在平面中,一个向量经过平移后和原向量相等,在 空间向量中呢? 思考2:空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的 两个向量吗? 思考3:空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向 量的运算? b a O 结论:空间任意两个向量的运算都 可转化为共面向量的运算. 5 空间向量的加减运算 ? 平行四边形法则 ? 三角形法则 b a?b a b a a?b b a?b b a a 6 推广: (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即 A1 A2 ? A2 A3 ?AA1 3 A4 ? ? An?1 An ? A1An An A2 (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则这些向量的和为零向量,即 A1A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? An A1 ? 0 An A2 A1 7 3、空间向量的加法运算律 回顾:平面向量的加法运算律 ⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ⑵加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 思考:空间任意两个向量可都转化 为共面向量,那么空间任意三个向 量也都能转化为共面向量吗? 空间向量中 还成立吗? 8 3、空间向量的加法运算律 ⑴加法交换律: 空间向量中显然成立 a?b ?b?a ⑵加法结合律:(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) a a b +c b c b c 9 例 1.化简下列各式: ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑶ AB ? AC ? BD ? CD; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ⑷ OA ? OD ? DC . ?1? 0 ?2? AB ?3? 0 ?4? CA 10 变式:化简下列各式: ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ⑹ AB ? AD ? DC ; ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP . ?5? BA ?6? CB ?7? 0 11 例题 例2 已知平行六面体ABCD ? A' B 'C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量: ⑴AB ? BC; D’ ⑵AB ? AD ? AA'; A’ 解:⑴AB ? BC ? AC ⑵AB ? AD ? AA' ? AC ? AA'  ? AC ? CC' ? AC' D A C’ B’ C B 变式 1:在上图中,用 AB,AD,AA ' 表示 A?C,BD ? 和 DB? . D’ A’ C’ B’ D A C B 13 变式2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 (1) AB1 ? A1D1 ? C1C ? xAC 解(1) AB1 ? A1D1 ? C1C D1 ? AB1 ? B1C1 ? C1C A1 C1 B1 ? AC ? x ? 1. D A (2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 C B (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1 变式2 :已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 (2) 2AD1 ? BD1 ? xAC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? xAC1 (2) 2AD1 ? BD1 ? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (AD1 ? D1B) ? AD1 ? AB ? AC1 ? x ? 1. D1 A1 D C1 B1 C A B 3.1.2 空间向量的数乘运算 一、空间向量的数乘运算定义: 与平面向量一样,实数?与空间向量a的积仍然是 一个向量,记作? a,它的长度和方向规定如下: (1) ?a? ?? ? a (2) 当? ? 0时,?a的方向与a的方向相同; 当特?别?地0时,,当??a的?方0或向a?与?a0?的时方,?向a?相? 反0? .; 以上运算称为空间向量的数乘运算. 17 (4)空间共线向量定理: 对空间任意两个向量 a,b(b ? 0), a // b(b ? 0) ?有且只有一个实数 ? , 使 a ? ?b 思考:这个定理有什么作用? 1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线 3.1.3 空间向量的数量积 回顾:平面向量数量积定义: 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数 量积(或内积),记作a·b. a·b=|a| |b| cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 类似地,空间向量是否也有相应的数量积运算 呢? 20 1.两个空间向量的夹角的定义: 如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则角 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作: a, b . ?起点相同? ⑴范围: 0 ≤ ?a, b? ≤

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