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2012年广州6中高一下学期期中数学试题


广州市第六中学 2011-2012 学年度第二学期期中考试高一数学试题

广州市第六中学 2011-2012 学年度第二学期期中考试高一数学试题
第Ⅰ卷 一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1.

sin120? 的值为(
A.



3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2.下列角中终边与 330°相同的角是( ) A. 30° B. - 30° C. 630° 3.如果
sin α ? 2 cos α = - 5,那么 tan ? 的值为 3sin α ? 5 cos α

D. - 630° ( D. 23 16

)

A. -2

B. 2

C.

23 16

4 . 设 ? ? 0 , 函数 y ? sin( ?x ? ( (A) )

?
3

)? 2的图像向右平移
3 2

2? 个单位后与原图像重合 , 则 ? 的最小值是 3
(D) 3

2 3

(B)

4 3

(C)

5.在 △ABC 中, AB ? c, AC ? b. 若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

????

????

) D. b ?

2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

1 3

2 c 3

6.三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角三角形)如图所示, 则这个三 棱柱的全面积等于 ( ) A. 12 ? 4 2 B. 6 ? 2 2 C. 8 ? 4 2 D. 4 主视图 2 俯视图 2 2 7.已知函数 f ( x ) ? 2 ? 1 , a ? b ? c ,且 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则下列结论中,必成立的是(
x

左视图



A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 C. 2 ? 2 ? 2
a c

B. a ? 0, b ? 0, c ? 0 D. 2
?a

? 2c

8.集合 U ? ?( x, y ) | x ? R, y ? R?, M ? ( x, y ) | x ? y ? a , P ? ?( x, y) | y ? f ( x)?, 现给出下列函数: ① y ? a ,② y = log a x ,③ y ? sin ? x ? a ? ,④ y ? cos ax ,若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则
x

?

?

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所有满足条件的函数 f ( x) 的编号是





①②

B ①②③

C ④

D ①②④

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、过点(1,2)且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程为
2

. .

10、若函数 f ? x ? ? ? a ? 2 ? x ? ? a ? 1? x ? 3 是偶函数,则函数 f ? x ? 的单调递减区间为 11、若 y ? a ? x
a2 ? 1 2

是幂函数,则该函数的值域是__________.

12、已知 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为
0

? ,那么 a ? b ? a ? b = 3

13、在 ?ABC 中, a ? x, b ? 2, B ? 45 , 若三角形有两解,则 x 的取值范围是 14、对于函数 f ( x) ,在使 f ( x) ? M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为 f ( x) 的"下确 界",则函数 f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x 的"下确界"等于_________.
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15、 (本题满分 12 分)已知向量 a =( cos ? ,sin ? ), b =( cos ? ,sin ? ).

5? ? , ? ? ? 时,求 a ? b 的值。 6 2 1 1 ? (2)已知 a ? b = , cos? ? ,0 ? ? ? ? ? , 求 sin ? 的值。 3 7 2
(1)当 ? ?

16、(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) =

1 + sin x + cos x + sin 2 x , 1 + sin x + cos x

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在 [0,2? ] 上的最值。

17、 (本题满分 14 分)已知圆 C 经过 A ? 3, 2 ? 、 B ?1, 6 ? 两点,且圆心在直线 y ? 2 x 上. (1)求圆 C 的方程;
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(2)若直线 l 经过点 P ? ?1,3? 且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

18、 (本题满分14分)如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线,过 AD 作圆 柱的截面交下底面于 BC . (1)求证: BC // EF ; (2)若四边形ABCD是正方形,求证 BC ? BE ; (3)在(2)的条件下,求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值。

19、(本题满分 14 分)如图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,?ABC 外的地方种草,?ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池 , 其余地方种花 . 若 BC=a, ?ABC=? , 设 ?ABC 的面积为 S 1 ,正方形

PQRS 的面积为 S 2 ,将比值

S1 称为“规划合理度”. S2

(1)试用 a , ? 表示 S 1 和 S 2 . (2)当 a 为定值, ? 变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角 ? 的大小. A P S

B

Q

R 第 3C 页 共 8 页

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20、 (本小题满分 14 分) 如图, G 是△ OAB 的重心, P 、 Q 分别是边 OA 、 OB 上的动点,且 P 、 G 、 Q 三点共线. (1)设 PG ? ? PQ ,将 OG 用 ? 、 OP 、 OQ 表示; 1 1 (2)设 OP ? xOA , OQ ? y OB ,证明: ? 是定值; x y T (3)记△ OAB 与△ OPQ 的面积分别为 S 、 T .求 的取值范围. S (提示: S ?OPQ

O

Q

1 ? OP ? OQ ? sin ?POQ) 2

P A M

G

B

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高一数学期中考试答案 1—8 A B D D A A C D 10. 9. 2 x ? y ? 0

? 0, ?? ? (或 ? 0, ?? ? )

11. [0,??) 12.

21

13. 2 ? x ? 2 2

14.-1

a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? cos( ? ? ?)
15. 解、 (1)

5? ? 5? 1 ? cos[ ? (? )] ? ? sin ?? 6 2 6 2

…………..4 分

(2) 因为: 0 ? ? ? ? ?

?
2

,? 0 ? ? ? ? ?

?
2
1 3
所 以 : sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ?
2

a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? cos( ? ? ?) =
6分 因为: cos? ?

2 2 3

1 ? 4 3 ,0 ? ? ? ,? sin ? ? 1 ? sin 2 ? ? 7 2 7

8分

sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? sin(? ? ? ) ….10 分
=

4 3 1 1 2 2 4 3?2 2 ? ? ? ? …………………………..12 分 7 3 7 3 21

16. 解: f ( x) =

1 + sin x + cos x + sin 2 x sin 2 x ? cos2 x ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x = 1 ? sin x ? cos x 1 + sin x + cos x

=

(sin x ? cos x) 2 ? sin x ? cos x (sin x ? cos x)(1 ? sin x ? cos x) ? ? sin x ? cos x …4 分 1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x
2 2 ? sin x ? cos x) ? 2 sin(x ? )......... ......... 6 分 2 2 4

= 2(

(1) T=

2?

?

? 2? …………………………………………..8 分

(2) 由 x ? [0,2? ] 得: x ? 当x?

?

时,f(x)取得最大值 2 …………10 分 2 4 ? 3? 5? 当x? ? 时,(x)取得最小值 2 …………12 分 ,即x ? 4 2 4

?

4

?

?

,即x ?

?

? 9? ?[ , ] 4 4 4

17. 解(1)方法 1:设圆 C 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2

2

? r ? 0? ,

1分

第 5 页 共 8 页

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?(3 ? a) 2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 依题意得: ?(1 ? a ) ? (6 ? b) ? r , ?b ? 2a. ?
解得 a ? 2, b ? 4, r ? 5 .
2

4分

7分
2

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 .
2

8分 2分

方法 2:因为 A ? 3, 2 ? 、 B ?1, 6 ? ,所以线段 AB 中点 D 的坐标为 ? 2, 4 ? , 直线 AB 的斜率 k AB ?

6?2 ? ?2 , 1? 3

3分

因此直线 AB 的垂直平分线 l ? 的方程是 y ? 4 ? 圆心 C 的坐标是方程组 ?

1 ? x ? 2? ,即 x ? 2 y ? 6 ? 0 . 2
5分

4分

? x ? 2 y ? 6 ? 0, 的解. ? y ? 2x

解此方程组,得 ?

? x ? 2, 即圆心 C 的坐标为 ? 2, 4 ? . ? y ? 4.

6分

圆心为 C 的圆的半径长 r ? AC ?
2

? 3 ? 2? ? ? 2 ? 4?
2
2

2

? 5.

7分 8分

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 . (2)由于直线 l 经过点 P ? ?1,3? , 当直线 l 的斜率不存在时, x ? ?1 与圆 C ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 相离.
2 2

9分

当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 1? , 即: kx ? y ? k ? 3 ? 0 . 10分

因为直线 l 与圆 C 相切,且圆 C 的圆心为 ? 2, 4 ? ,半径为 5 ,所以有

2k ? 4 ? k ? 3 k 2 ?1

? 5.

解得 k ? 2 或 k ? ?

1 . 2

13分

所以直线 l 的方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1? 或 y ? 3 ? ? 即: 2 x ? y ? 5 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 .

1 ? x ? 1? , 2
14分

18.证明: (1)由圆柱的性质知:AD 平行平面BCFE 又过 AD 作圆柱的截面交下底面于 BC . AD ∥ BC ?????..2 分

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又 AE、DF 是圆柱的两条母线

AE ∥ D F , 且 A E = D F

?四边形A D 是平行四边形 F E

A D ∥ E F

? BC // EF ………………………………………………….4 分 (2)? 四边形 ABCD 是正方形? BC ? AB 又 AE ? BC
BC、AE 是平面 ABE 内两条相交直线

? BC ? 平面ABE ????????????????9 分

? BC ? BE ……………………………………………………10分
(3)设正方形 ABCD 的边长为 x,则在 Rt ?AEB中有:BE ? x ? 4
2 2

在 Rt ?FEB中有:BE ? x ? 28 ? x ? 4 ???????12 分
2 2

由(2)可知: ?ABE 为二面角 A-BC-E 的平面角,所以 sin ?ABE ? 19. 解: (1) 、 如图,在 Rt ? ABC中

AE 1 ? ……14 分 AB 2

AC=a ?s i n

,B = a c o s , ?A

1 2 1 -----------------------------4 分 a sin ? cos ? = a 2 sin 2? 2 4 x 设正方形的边长为 x 则 BQ= ,RC=xtan? tan? x a sin 2? a = ---------------6 分 ? +x+xtan? =a ? x= 1 tan? 2 ? sin 2 ? +tan? +1 tan? S1 ?
? a sin 2? ? S2 ? x 2 ? ? ? ----------------------------------------------7 分 ? 2 ? sin 2? ? S a 2 sin 2 2? 1 4 ? 1 ? (t ? ? 4) (2) 、t ? -----10 分 n i s 2? 而 S 2 = 2 t 4 ? 4 sin 2? ? sin 2? S 2 4 1 4 ? ∵0 < ? < ,又 0 <2 ? < ? ,?0< t ?1? f (t ) ? (t ? ? 4) 为减函数 –12 分 2 4 t S1 9 ? 当 t ? 1时 取得最小值为 此时 sin 2? ? 1 ?? = ----------------14 分 S2 4 4
20. 解: (1) OG ? OP ? PG ? OP ? ? PQ ? OP ? ? (OQ ? OP)
2

? (1 ? ? )OP ? ? OQ .????????????????2 分
(2)一方面,由(1) ,得 OG ? (1 ? ? )OP ? ? OQ ? (1 ? ? ) xOA ? ? yOB ;① 另一方面,∵ G 是△ OAB 的重心,

2 2 1 1 1 OM ? ? (OA ? OB) ? OA ? OB . ② ????????4 分 3 3 2 3 3 1 ? ?(1 ? ? ) x ? 3 , 而 OA 、 OB 不共线,∴由①、②,得 ? ???????6 分 1 ?? y ? . 3 ?
∴ OG ?

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?1 ? x ? 3 ? 3? , 1 1 ? 解之,得 ? ,∴ ? ? 3 (定值) .???8 分 1 x y ? ? 3? . ? ?y
1 | OP | ? | OQ | sin ?POQ T 2 | OP | | OQ | ? ? ? xy .???????10 分 (3) ? 1 S | OA | | OB | | OA | ? | OB | sin ?AOB 2

1 1 ? x ? 1 , ? y ? 1, 2 2 1 1 T 1 且 x ? 时, y ? 1 ; x ? 1 时, y ? .此时,均有 ? . 2 2 S 2 2 2 T 4 x ? 时, y ? .此时,均有 ? . 3 3 S 9 x 4 T 1 以下证明: ? ? . (法一)由(2)知 y ? , 9 S 2 3x ? 1
由点 P 、 Q 的定义知 ∵

T 4 x2 4 (3x ? 2) 2 T 4 ? ? ? ? ? 0 ,∴ ? .????12 分 S 9 3x ? 1 9 9(3x ? 1) S 9 T 1 x2 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) T 1 ? ? ? ? ? 0 ,∴ ? . S 2 3x ? 1 2 2(3x ? 1) S 2



4 1 T 的取值范围 [ , ] .??????14 分 S 9 2 ? ? T x2 1? 1 1 2? (法二) ? xy ? ? ?( x ? ) ? ? ?, 1 S 3x ? 1 3 ? 3 3? 9( x ? ) ? ? 3 ? ? T 1? 1 2? 1 1 2 令 t ? x ? ,则 ? ? t ? ? ? ,其中 ? t ? . S 3 ? 9t 3 ? 3 6 3 T 1? 1 2? 1 1 利用函数单调性的定义可以证明:关于 t 的函数 ? ? t ? ? ? 在闭区间 [ , ] 上单调递减, S 3 ? 9t 3 ? 6 3 1 2 在闭区间 [ , ] 上单调递增.????12 分 3 3 1?1 1 2? 4 1 ?T ? ∴ t ? 时, ? ? ? ? ? ? ?? . 3 ? S ? min 3 ? 3 3 3 ? 9


1?1 2 2? 1 1 2 ?T ? ? ? ? ? ?? . 或 t ? 时,均有 ? ? 6 3 ? S ? max 3 ? 6 3 3 ? 2 4 1 T ∴ 的取值范围 [ , ] .??????14 分 S 9 2
而t ?

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