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宁夏石嘴山市第三中学2016_2017学年高一数学上学期期末考试试题

2016-2017 学年度第一学期期末考试 高一数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3}, A ? {1,3} ,则集合 CU A ? ( A. ?0? B. ?1, 2? C. ?0, 2? D. ?0,1, 2? )
?



2. .直线 x ? 3 y ? a ? 0 ( a 为实常数)的倾斜角的大小是( A. 30
?

B. 60

?

C. 120

?

D. 150 )

3.若 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,则 c 与 b 的位置关系是( A. 相交 B. 异面 C.异面或相交 D.平行

4.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的 面积是( A.12 ) B.6 2 C.6 D.3 2 )

5.已知 a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 α ⊥ β ,a? α ,b? β ,则 a⊥b D.若 α ∥ β ,a ? α ,则 a ∥ β )

C.若 a ⊥ b,b ⊥ α ,则 a∥ α

6.过点 ( ?1 , 3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线的方程为( A.2x+y-1=0 C.x+2y- 5=0
2 2

B.2x+y-5=0 D.x-2y+7=0
2 2

7.若圆 c1 : x ? y ? 4 x ? 6 y ? 9 ? 0 ,圆 c 2 : x ? y ? 12 x ? 6 y ? 19 ? 0 ,则两圆位置是( A.相交 B.内切 C.外切 D.相离



x ?2 ? ?2 , x ? 2 8.设 f (x ) ? ? ,则 f [f (5)] =( ( x ?1) ? log , x ? 2 2 ?

) D.2

A.0

B. 1

C.-1

9.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体 的体积是 ( A. 7 3 cm 8 ) B. 2 3 cm 3

1

5 3 C. cm 6 10.若 log a A. (0,1)

D.

1 3 cm 2 )

2 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( 3
B. (1, ??) D. (0, ) ? ( ,1)
2 2

C. (0, ) ? (1, ?? )

2 3

2 3

2 3

11.已知点 M(a,b)在圆 O: x +y =4 外,则直线 ax+by=4 与圆 O 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
2 2

)

12.已知两点 A(0,-3)、B(4,0),若点 P 是圆 C:x +y -2y=0 上的动点,则△ABP 面积的最小 值为( A.6 ) 11 B. 2 C.8 21 D. 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共4小题,每 小题5分,共20分. 13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别 为 1,2,3,则此球的表面积为________ 14.已知过点 A ?- 2,m? 、B ?m,4 ? 的直线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为________ 15.给出下列四个命题: ①奇函数的图象一定经过原点;②偶函数的图象一定关于 y 轴对称; ③函数 y= x ? 1 不是奇函数; ④函数 y ? ? x ? 1 不是偶函数。
3

其中正确命题序号为________ .(将你认为正确的序号都填上) 16.已知一个空心密闭(表面厚度忽略不计)的正四面体工艺品的棱长为 3 6 ,若在该工艺品内嵌 入一个可以在其内部任意转动的正方体,则正方体棱长的最大值为___. 三、解答题:本大题共 6 小题, 共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . (本小题满分 10 分) 如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (1)PA∥平面 BDE; (2)平面 PAC ? 平面 BDE.

2

18. (本小题满分 12 分) 已知圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1, P点坐标为(2,3), 求: (1)过 P 点的圆的切线长. (2)过 P 点的圆的切线方程

19.(本小题满分 12 分) 已知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程.
2 2

20.(本小题满分 12 分) 如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,棱 PD 与 EC 均垂直于底面 ABCD ,
PD ? 2 EC , N 为 PB 的中点,
P E N D C
3

求证:( 1)平面 EBC ∥平面 PDA ; (2) NE ⊥平面 PDB.

21.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)= x ? 2bx ? c (b,c∈R).
2

(1)若函数 y=f(x)的零点为-1 和 1,求实数 b,c 的值; (2)若 f(x)满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别 在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数 b 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1, 若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有

f ( a ) ? f (b ) >0 成立. a?b

(1)判断 f(x)在 [-1,1]上的单调性,并证明; (2)解不等式: f (2 x ? 1) ? f (1 ? 3x) ; (3)若 f(x)≤ m ? 2am ? 1 对所有的 a∈ [-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

4

2016-2017 学年第一学期期末考试 高一数学答案 一、选择题 1 C 2 D 3 C 4 A 5 D 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C 11 C 12 B

二、填空题 13、14π 三 、 解答题 17. 证明: (1)∵O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点,∴OE∥AP, 又∵OE ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE,∴PA∥平面 BDE …5 分 (2)∵PO ? 底面 ABCD,∴PO ? BD,又∵AC ? BD,且 AC ? PO=O ∴ BD ? 平面 PAC ,而 BD ? 平面 BDE ,∴ 平面 PAC ? 平面 BDE。 …10 分 14、-8 15、② ③ 16、 3

18. 解: (1)如图,此圆的圆心 C 为(1,1) ,CA=CB=1,则切线长

| PA |? | PC |2 ? | CA |2 = (3 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 12 =2
………………4 分 (2)若切线的斜率存在,可设切线的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 则圆心到切线的距离 d ?

| k ? 1 ? 2k ? 3| k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

3 4

故切线的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ………………8 分 若切线的斜率不存在,切线方程为 x=2 ,此时直线也与圆相切。………………11 分 综上所述,过 P 点的切线的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 和 x=2. ………………12 分

19、解:
5

(Ⅰ)若直线 l 与圆 C 相切,则有圆心(0,4)到直线 l:ax+y+2a=0 的 距离为

4 ? 2a a2 ?1
3 . 4

?2

……………3 分

解得 a ? ?

…………… 6 分

(Ⅱ)过圆心 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.则由 AB=2 2和圆半径为 2 得 CD= 2……… 8 分 因为 CD ?

4 ? 2a a2 ?1

? 2

所以解得 a ? ?7 或 ? 1 . 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. …………… 12 分

20.证明:(1) ∵ PD⊥平面 ABCD,CE⊥平面 ABCD ∴EC∥PD 又 PD? 平面 PDA,EC?平面 PDA ∴EC∥平面 PDA ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴BC∥AD,又 AD? 平面 PDA,BC?平面 PDA ∴BC∥平面 PDA ∵EC? 平面 EB C,BC? 平面 EBC,EC∩BC=C ∴平面 EBC∥平面 PDA (2) 设 AC 与 BD 相交于点 O,连接 NO ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴O 为 BD 的中点,又 N 为 PB 的中点
N D O C

………………2 分

………………4 分

………………6 分
P E

1 ∴NO∥PD 且 NO= PD 2
又由(1)得 EC∥PD,且 EC ? ∴NO∥EC 且 NO=EC ∴四边形 NOCE 为平行四边形 ∴NE∥OC,即 NE∥AC ………………9 分

1 PD 2

A

B

∵PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD ∴AC⊥PD 又 DB⊥AC,PD∩BD=D ∴AC⊥平面 PBD,又 NE∥AC
6

∴NE⊥平面 PDB 21.

………………12 分

解:(1) 函数 y=f(x)的零点为-1 和 1.由根与系数的关系,得

??1 ? 1 ? ?2b, ? ?2b ? 0, 即? 所以 b=0,c = 1. ? ?c ? ?1. ??1?1 ? c.
(2)由题意可知,f(1)=1+2b+c=0,所以 c=-1-2 b.
2 2

…………………5 分 …………6 分

记 g(x)=f(x)+x+b=x +(2b+1)x+b+c=x +(2b+1)x-b-1, 因为关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(- 3,-2),(0,1 )内,

? g (?3) ? 5 ? 7b ? 0, ? g (?2) ? 1 ? 5b ? 0, ? 所以有 ? ? g (0) ? ?1 ? b ? 0, ? ? g (1) ? b ? 1 ? 0.

1 5 解得 ? b ? , 5 7

1 5 即实数 b 的取值范围 ( , ). 5 7

…………12 分

22、解: (Ⅰ)任取 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2,则 x1-x2∈[-1,1],∵f(x)为奇函数, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= 由已知得

f?x1?+f?-x2? ·(x1-x2),…………… 2 分 x1+?-x2?

f?x1?+f?-x2? >0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2 )<0,即 f(x1)<f(x2). x1+?-x2?
…………… 4分

∴f(x)在[-1,1]上单调递增.

?? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? (Ⅱ)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,∴ ?? 1 ? 1 ? 3 x ? 1 ?2 x ? 1 ? 1 ? 3 x ?
∴不等式的解集为 ? x 0 ? x ?

…………… 6 分

? ?

2? ?. 5?
2

…… ……… 7 分

(Ⅲ)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增.∴在[-1,1]上,f(x)≤1. 问题转化为 m -2am+1≥1,即 m -2am≥0,对 a∈[-1,1]恒成立.……… 9 分 下面来求 m 的取值范围.设 g(a)=-2m·a+m ≥0. ①若 m=0,则 g(a)=0≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. ②若 m≠0,则 g(a)为 a 的一次函数,若 g(a)≥0,对 a∈[-1,1]恒成立, 必须 g(-1)≥0 且 g(1)≥0,∴m≤-2 或 m≥2. 综上,m=0 或 m≤-2 或 m≥2 …………… 12 分
2 2

7


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