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2018高考数学异构异模复习第二章函数的概念及其基本性质2.4.1二次函数撬题理


2018 高考数学异构异模复习考案 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4.1 二次函数撬题 理
1 ?1 ? 2 1.如果函数 f(x)= (m-2)x +(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间? ,2?上单调递减,那么 2 ?2 ?

mn 的最大值为(
A.16 C.25 答案 B 解析

) B.18 D. 81 2

?1 ? 由已知得 f′(x)=(m-2)x+n-8,又对任意的 x∈? ,2?,f′(x)≤0,所以 ?2 ?


1? ? ?f′? ?2?≤0 ? ? ? ? ?f′?2?≤0

m≥0,n≥0 ? ? 即?m+2n≤18 ? ?2m+n≤12

,画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

令 mn=t,则当 n=0 时,t=0,当 n≠0 时,m= .由线性规划的相关知识知,只有当直

t n

t 1 - =- ? ? n 2 t 线 2m+n=12 与曲线 m= 相切时,t 取得最大值.由? n 1 t ?6-2n=n ?
2



解得 n=6,t=18,所以(mn)max=18,选 B. 2.已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 答案 A B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0
2

)

1

解析

由 f(0)=f(4)得 f(x)=ax +bx+c 的对称轴为 x=-

2

b =2,∴4a+b=0,又 2a
)

f(0)>f(1),∴f(x)先减后增,∴a>0,选 A.
3.两个二次函数 f(x)=ax +bx+c 与 g(x)=bx +ax+c 的图象可能是(
2 2

答案 D 解析 函数 f(x)图象的对称轴为 x=- , 函数 g(x)图象的对称轴为 x=- , 显然- 2a 2b 2a 与- 同号,故两个函数图象的对称轴应该在 y 轴的同侧,只有 D 满足.故选 D. 2b 4. 若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间? 答案 (-∞,2] 解析

b

a

b

a

?π ,π ?上是减函数, 则 a 的取值范围是________. ? ?6 2?

?π π ? f(x) =cos2x +asinx =1 - 2sin2x + asinx,令 t= sinx ,x ∈? , ? ,则 t∈ ?6
2?

?1,1?,原函数化为 y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知 y=-2t2+at ?2 ? ? ?
a 1 ?1 ? +1 在? ,1?上是减函数,结合抛物线图象可知, ≤ ,所以 a≤2. 4 2 ?2 ?
5.已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,则 a 的值为________. 答案 2 或-1 解析 f(x)=-(x-a) +a -a+1,在 x∈[0,1]时, 当 a≥1 时,f(x)max=f(1)=a; 当 0<a<1 时,f(x)max=f(a)=a -a+1; 当 a≤0 时,f(x)max=f(0)=1-a. 根据已知条件得,?
? ?a≥1, ?a=2 ? ? ?0<a<1, 或? 2 ?a -a+1=2 ? ? ?a≤0, 或? ?1-a=2. ?
2 2 2 2

解得 a=2 或 a=-1. 3 4 5 2 2 6.对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a -2ab+4b -c=0 且使|2a+b|最大时, - +

a b c

的最小值为________. 答案 -2 解析 设 2a+b=t,则 2a=t-b,由已知得关于 b 的方程(t-b) -b(t-b)+4b -c= 0 有解,即 6b -3tb+t -c=0 有解.
2 2 2 2

2

8 2 2 2 故 Δ =9t -24(t -c)≥0,所以 t ≤ c, 5 2 10c 5 2 1 3t 3t 所以|t|max= ,此时 c= t ,b= t,2a=t-b= ,所以 a= . 5 8 4 4 8 3 4 5 8 16 8 ? 1 1? 故 - + = - + 2=8? 2- ?

a b c t

t

t

?t

t?

?1 1?2 =8? - ? -2≥-2. ?t 2?
7.已知函数 f(x)=|x +3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 在同一坐标系中分别作出函数 f(x)与 y=a|x-1|的图象,由图知,当 a=0 时, 两函数的图象只有 2 个交点,当 a<0 时,两图象没有交点,故必有 a>0.
2

若曲线 y=-x -3x(-3≤x≤0)与直线 y=-a(x-1)(x≤1)相切,联立方程得 x +(3 -a)x+a=0,则由 Δ =0 得 a=1(a=9 舍去),因此当 0<a<1 时,f(x)的图象与 y=a|x-1| 的图象有 4 个交点; 若曲线 y=x +3x(x>0)与直线 y=a(x-1)(x>1)相切,联立方程得 x +(3-a)x+a=0, 则由 Δ =0 可得 a=9(a=1 舍去),因此当 a>9 时,f(x)的图象与 y=a|x-1|的图象有 4 个 交点,故当方程有 4 个互异实数根时,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).
2 2

2

2

3


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