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高中数学 错误解题分析 3-1-1 空间向量及其加减运算

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算

双基达标 限时 20 分钟

1.在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′的棱所在向量中,与向量A→A′模相等的向量有

( ).

A.0 个

B.3 个

C.7 个

D.9 个

解析 如右图,与向量A→A′模相等的向量有:

A→′A,BB→′,B→′B,C→C′,C→′C,DD→′,D→′D.

答案 C

2.化简→PM-→PN+→MN所得的结果是

( ).

A.P→M

B.→NP

C.0

D.→MN

解析 P→M-P→N+M→N=N→M+M→N=0.

答案 C

3.下列说法中正确的是

( ).

A.若|a|=|b|,则 a、b 的长度相同,方向相同或相反

B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b|

C.空间向量的减法满足结合律

D.在四边形 ABCD 中,一定有A→B+A→D=A→C

解析 |a|=|b|,说明 a 与 b 模长相等,但方向不确定;对于 a 的相反向量 b=-a 故|a|

=|b|,从而 B 正确;空间向量只定义加法具有结合律,减法不具有结合律;一般的四边

形不具有→AB+→AD=→AC,只有平行四边形才能成立.故 A、C、D 均不正确.

答案 B

4.对于空间中的非零向量→AB、→BC、→AC,有下列各式:①A→B+B→C=A→C;②→AB-→AC=→BC;③|A→B

|+|→BC|=|A→C|;④|A→B|-|→AC|=|B→C|.其中一定不成立的是________.

解析 根据空间向量的加减法运算,对于①:→AB+→BC=→AC恒成立;

对于③:当A→B、B→C、A→C方向相同时,有|A→B|+|→BC|=|A→C|;

对于④:当B→C、A→B、A→C共线且B→C与A→B、A→C方向相反时,有|A→B|-|→AC|=|B→C|. 只有②一定不成立. 答案 ② 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 AB、B1C 的 中点.用→AB、→AD、A→A1表示向量M→N,则→MN=________. 解析 M→N=M→B+B→C+C→N =12A→B+A→D+12(→CB+B→B1) =12A→B+A→D+12(-A→D+A→A1) =12A→B+12→AD+12A→A1. 答案 12A→B+12→AD+12A→A1 6.如图,在长、宽、高分别为 AB=3,AD=2,AA1=1 的长 方体 ABCD -A1B1C1D1 的八个顶点的两点为起点和终点的 向量中, (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为 5的所有向量; (3)试写出与A→B相等的所有向量; (4)试写出A→A1的相反向量. 解 (1)由于长方体的高为 1,所以长方体 4 条高所对应的向量A→A1、A→1A、B→B1、B→1B、C→C1、 C→1C、D→D1、D→1D共 8 个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为 1,故单位向量共 8 个. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 5,故模为 5的向量有A→D1、D→1A、A→1D、D→A1、 B→C1、C→1B、B→1C、C→B1,共 8 个. (3)与向量→AB相等的所有向量(除它自身之外)共有A→1B1、→DC及D→1C1,共 3 个. (4)向量A→A1的相反向量为A→1A、B→1B、C→1C、D→1D,共 4 个.
综合提高(限时 25 分钟) 7.如图,在四棱柱的上底面 ABCD 中,A→B=D→C,则下列向量相等的是
( ).

A.A→D与C→B

B.O→A与O→C

C.A→C与D→B

D.D→O与O→B

解析 ∵→AB=→DC,∴|A→B|=|→DC|,AB∥DC,即四边形 ABCD 为平

行四边形,由平行四边形的性质知,→DO=→OB.∴应选 D.

答案 D

8.空间任意四个点 A、B、C、D,则→DA+→CD-→CB等于

A.D→B

B.A→C

C.A→B

D.→BA

解析 D→A+C→D-C→B=D→A+B→D=B→A.

答案 D

9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若C→A=a,→CB=b,C→C1=c,则A→1B

=______(用 a,b,c 表示).

解析 A→1B=C→B-C→A1=C→B-(→CA+C→C1)=-a+b-c.

答案 -a+b-c

10.已知点 M 是△ABC 的重心,则M→A+M→B+M→C=________.

解析 设 D 为 AB 的中点,则→MA+→MB=2M→D,又 M 为△ABC 的

重心,则→MC=-2M→D,所以M→A+M→B+M→C=0.

答案 0

11.如图,在四棱柱 A′B′C′D′-ABCD 中,求证:→AB+→BC+

C→A′=DD→′.

证明 如图,

→AB+→BC=→AC,→AC+C→A′=AA→′,

所以→AB+→BC+C→A′=A→C+C→A′=A→A′,

在四棱柱 A′B′C′D′-ABCD 中 ,A→A′=DD→′,

所以→AB+→BC+C→A′=D→D′.

( ).

12.(创新拓展)已知点 G 是△ABC 的重心,O 是空间任意一点, 若O→A+O→B+O→C=λ →OG,求 λ 的值. 解 连结 CG 并延长交 AB 于 D, 则 D 为 AB 中点,且 CG=2GD, ∴O→A+O→B+O→C =O→G+G→A+O→G+G→B+O→G+G→C =3O→G+G→A+G→B+G→C =3O→G+2→GD+→GC =3→O(G→)-G→C+G→C=3→OG. ∴λ =3.


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