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高中数学学业水平测试课件(知识梳理+典例剖析+过关演练):专题十一第40讲数列求和


专题 十一 数列 第 40 讲 数列求和 求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 n(a1+an) n(n-1) Sn= =na1+ d. 2 2 ②等比数列的前 n 项和公式 (ⅰ)当 q=1 时,Sn=na1; a1(1-qn) a1-anq (ⅱ)当 q≠1 时,Sn= = . 1- q 1-q (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个 等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首 尾若干项. 常见的裂项公式 1 1 1 ① =n- ; n(n+1) n+1 1 ? 1 1? ? 1 ? - ② = 2n-1 2n+1?; (2n-1)(2n+1) 2? ? ? ③ 1 n+ n+1 = n+1- n. (4)倒序相加法. 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求 和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法. 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘 所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的 推广. (6)并项求和法. 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之 为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并 求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100 +99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 1.分组转化法求和 【例 1】 已知数列{an}的通项公式是 an=2· 3n 1 +( - - 1)n·(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,求其前 n 项和 Sn. (导学号 54840158) 解:Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(- 1)n]· (ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3, 1-3n n n n ∴当 n 为偶数时,Sn=2× + ln 3=3 + ln 3- 2 1- 3 2 1; 1-3n n-1 当 n 为奇数时, Sn=2× -(ln 2-ln 3)+( - 2 1-3 n-1 n)ln 3=3 - ln 3-ln 2-1. 2 n ? ?3n+nln 3-1,n为偶数, 2 ? 综上所述,Sn=? ? n n-1 3- ln 3-ln 2-1,n为奇数. ? 2 ? 剖析: 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可 求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就要通 过对数列通项结构特点进行分析研究, 将数列的通项合理 分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 2.错位相减法求和 【例 2】 已知数列{an}满足首项为 a1=2,an+1= 2an(n∈N*).设 bn=3log2an-2(n∈N*),数列{cn}满足 cn =anbn. (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn. (导学号 54840159) (1)证明:由已知可得,an=a1qn-1=2n,bn=3log22n -2,∴bn=3n-2, ∴bn+1-bn=3, ∴数列{bn}为首项 b1=1,公差 d=3 的等差数列. (2)解:cn=anbn=(3n-2)×2n. Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)×2n,① 2Sn = 1×22 + 4×23 + 7×24 + … + (3n - 5)×2n + (3n -2)×2n+1,② ①-②得 -Sn=2+3(22+23+24+…+2n)

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