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2.示范教案(1.2 指数函数及其性质 第3课时)

第3课时 指数函数及其性质(3) 导入新课 思路1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并 且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数 ①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两 个的图象,那么,对y=ax与y=ax+m(a>0,m∈R)有着怎样的关系呢?在理论上, 含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内 容.教师点出课题:指数函数及其性质(3). 思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是 某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数 的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不 单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们 需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要 解决的问题——指数函数及其性质(3). 推进新课 新知探究 提出问题 (1)指数函数有哪些性质? (2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些? (3)对复合函数,如何证明函数的单调性? (4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生, 学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容. 讨论结果:(1)指数函数的图象和性质 一般地,指数函数y=ax在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质 如下表所示: a>1 0<a<1

图 象

图象特征图象分布在一、二象限,与y轴相交,落在x轴的上方 都过点(0,1) 图 象 特 征 第一象限的点的纵坐标都大于1;第二象限 的点的纵坐标都大于0且小于1 从左向右图象逐渐上升 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) 性 质 (3)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (4)x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 (5)在R上是增函数 (4)x>0时,0<y<1;x<0 时,y>1 (5)在R上是减函数 第一象限的点的纵坐 标都大于0且小于1;第 二象限的点的纵坐标 都大于1 从左向右图象逐渐下 降

(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是: ①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1<x2. ②作差变形.即求f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法, 向有利于判断差的符号的方向变形. ③定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x2)-f(x1)的符号,当 符号不确定时,可以进行分类讨论. ④判断.根据单调性定义作出结论. (3)对于复合函数y=f(g(x))可以总结为: 当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数; 当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数; 又简称为口诀“同增异减”. (4)判断函数的奇偶性: 一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(x)的关系,最后确定函数的奇偶性; 二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数 具有奇偶性. 应用示例 思路1 例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的 图象的关系. (1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2. 活动:教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数 图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住 关键点,特别是(0,1)点,或用计算机作图. 解:(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12. x -3 -2 -1 0 1 2 3 2x 2x+1 2x+2 0.125 0.25 0.5 0.25 0.5 1 0.5 1 2 1 2 4 2 4 8 4 8 16 8 16 32

图2-1-2-12 比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为:将指数函数y=2x 的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数 y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象. (2)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13 x -3 -2 -1 0 1 2 3 2x 2x-1 2x-2 0.125 0.625 0.3125 0.25 0.125 0.625 0.5 0.25 0.125 1 0.5 0.25 2 1 0.5 4 2 1 8 4 2

图2-1-2-13 比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为:将指数函数y=2x的 图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数 y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象. 点评:类似地,我们得到y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系: y=ax+m(a>0,m∈R)的图象可以由y=ax的图象变化而来. 当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象; 当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象. 上述规律也简称为“左加右减”. 变式训练 为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象( ) A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 答案:B 点评:对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出. 例2已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 活动:学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要

转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,(1)从条件出发,充分利用奇 函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),(2)在(1)的基础 上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化. (1)解:因为f(x)是奇函数, 所以f(0)=0,即=0b=1, 所以f(x)=; 又由f(1)=-f(-1)知=a=2. (2)解法一:由(1)知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因f(x)是奇函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,由上式推得: t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0, 从而判别式Δ=4+12k<0, ∴k<. 解法二:由(1)知f(x)=. 又由题设条件得<0, 即<0. 整理得>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0, 上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,即k<-. 点评:记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f(x)为增(减)函数, 则为减(增)函数. 思路2 例1 设a>0,f(x)=在R上满足f(-x)=f(x). (1)求a的值; (2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数. 活动:学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导. (1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程. (2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的 格式. (1)解:依题意,对一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=. 所以=0对一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1. 又因为a>0,所以a=1. (2)证明:设0<x1<x2, f(x1)-f(x2)===·. 由x1>0,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.

点评:在已知等式f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特 殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直 观. 例2已知函数f(x)=3x,且x=a+2时,f(x)=18,g(x)=3的定义域为[0,1]. (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明; (3)求g(x)的值域. 解:(1)因为f(x)=3x,且x=a+2时f(x)=18, 所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2. 所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x. 所以g(x)=2x-4x. (2)因为函数g(x)的定义域为[0,1],令t=2x,因为x∈[0,1]时,函数t=2x在 区间[0,1]上单调递增, 所以t∈[1,2],则g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈[1,2]. 因为函数t=2x在区间[0,1]上单调递增,函数g(t)=t-t2在t∈[1,2]上单调 递减, 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减. 证明:设x1和x2是区间[0,1]上任意两个值,且x1<x2, g(x2)-g(x1)===, 因为0≤x1≤x2≤1, 所以,且1≤<2,1< ≤2. 所以2<<4. 所以-3<1-<-1,可知<0. 所以g(x2)<g(x1). 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减. (3)因为函数g(x)在区间[0,1]上单调递减, 所以x∈[0,1]时,有g(1)≤g(x)<g(0). 因为g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0, 所以-2≤g(x)≤0. 故函数g(x)的值域为[-2,0]. 点评:此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合 题,要通盘考虑. 知能训练 求函数y=()|1+2x|+|x-2|的单调区间. 活动:教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时 注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复

合函数的单调性学生思考讨论,然后解答. 解:由题意可知2与是区间的分界点. 当x<时,因为y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x, 所以此时函数为增函数. 当≤x<2时,因为y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x=()x, 所以此时函数为减函数. 当x≥2时,因为y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2()x, 所以此时函数为减函数. 当x1∈[,2),x2∈[2,+∞)时,因为2()x2-()x1= =, 又因为1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以1-3x2<-3-x1, 即2()x2<()x1. 所以此时函数为减函数. 综上所述,函数f(x)在(-∞,]上单调递增,在[,+∞)上单调递减. 拓展提升 设m<1,f(x)=,若0<a<1,试求: (1)f(a)+f(1-a)的值; (2)的值. 活动:学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要 有预见性,即第(2)问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决. 解:(1)f(a)+f(1-a)=== ===1. (2) =[ =500×1=500. 点评:第(2)问是第(1)问的继续,第(1)问是第(2)问的基础,两个问号是衔 接的,利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问 号与问号之间的联系. 课堂小结 本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数 的单调性和奇偶性又进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些 问题,对常考的函数图象的变换进行了学习,要高度重视,在不断学习中升 华提高. 作业 课本P59习题2.1A组 5. 设计感想

指数函数作为一类基本的初等函数,它虽然不具有函数通性中的奇偶 性,但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数,同时也可 以复合出比较特殊的奇函数和偶函数,判断复合函数的单调性和奇偶性 要十分小心,严格按规定的要求,有时借助数形结合可帮我们找到解题思 路,本堂课是在以前基础上的提高与深化,同时又兼顾了高考常考的内容, 因此涉及面广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务. 习题详解 (课本54页练习) 1.a=,a=,a=,a= . 2.(1)=x,(2)=(a+b),(3)=(m-n), (4)=(m-n)2,(5)=p3q,(6)=m=m. 3.(1)()=[()2]=()3=; (2)2××=2×3×()×(3×22)=2×3=2×3=6; (3)aaa=a=a; (4)2x(x-2x)=x-4x=1-4x-1=1. (课本58页练习) 1.如图

图2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需x-2≥0,即x≥2,所以函数y=3的定义域为{x|x≥2}; (2)要使函数有意义,需x≠0,即函数y=()的定义域是{x∣x≠0}. 3.y=2x(x∈N*) (课本第59页习题2.1)

A组 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y. 2解:(1)===a0b0=1. (2)===a. (3)===m0=1. 点评:遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的 运算性质来进行. 3.解:对于(1),可先按底数5,再按

键,再按1

2,最后按

,即可求得它的值. 答案:1.710 0; 对于(2),先按底数8.31,再按

键,再按1

2,最后按

即可. 答案:2.881 0; 对于(3)这种无理指数幂,先按底数3,再按

键,再按

键,再按2,最后按

即可. 答案:4.728 8; 对于(4)这种无理指数幂,可先按底数2,其次按

键,再按π键,最后按

即可. 答案:8.825 0. 4.解:(1)aaa=a=a; (2)aa÷a=a=a; (3)(xy)12==x4y-9; (4)4ab÷(ab)=(×4)=-6ab0=-6a; (5)===; (6)(-2xy)(3xy)(-4xy)=[-2×3×(-4)]x=24y; (7)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x-9y; (8)4x (-3xy)÷(-6xy)==2xy. 点评:进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意 运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又 有负指数. 5.(1)要使函数有意义,需3-x∈R,即x∈R,所以函数y=23-x的定义域为R.

(2)要使函数有意义,需2x+1∈R,即x∈R,所以函数y=32x+1的定义域 为R. (3)要使函数有意义,需5x∈R,即x∈R,所以函数y=()5x的定义域为R. (4)要使函数有意义,需x≠0,所以函数y=0.7的定义域为{x|x≠0}. 点评:求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方 数大于零,0的0次幂没有意义. 6.解:设经过x年的产量为y,一年内的产量是a(1+),两年内产量是a(1+)2, …,x年内的产量是a(1+)x,则y=a(1+)x(x∈N*,x≤m). 点评:根据实际问题,归纳是关键,注意x的取值范围. 7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y=3x,当x=0.8和0.7时的函 数值;因为3>1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8. (2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和 0.1时的函数值;因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.1<0.1, 所以0.750.1<0.75-0.1. (3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和 3.5时的函数值;因为1.01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7<3.5, 所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和 4.5时的函数值;因为0.99<1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5, 所以0.994.5<0.993.3. 8.(1)2m,2n可以看成函数y=2x,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数 y=2x在R上是增函数.因为2m<2n,所以m<n. (2)0.2m,0.2n可以看成函数y=0.2x,当x=m和n时的函数值;因为0.2<1,所以函 数y=0.2x在R上是减函数.因为0.2m<0.2n,所以m>n. (3)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0<a<1,所以函数 y=ax在R上是减函数.因为am<an,所以m>n. (4)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax 在R上是增函数.因为am>an,所以m>n. 点评:利用指数函数的单调性是解题的关键. 9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=(). 当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=()= ()9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡 前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在. (2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()<0.001,

解得t>5.7. 答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B组 1.当0<a<1时, a2x-7>a4x-12x-7<4x-1x>-3; 当a>1时, a2x-7>a4x-12x-7>4x-1x<-3. 综上,当0<a<1时,不等式的解集是{x|x>-3}; 当a>1时,不等式的解集是{x|x<-3}. 2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注 重完全平方公式的运用. 解:(1)设y=x+x, 那么y2=(x+x)2=x+x-1+2. 由于x+x-1=3,所以y=. (2)设y=x2+x-2, 那么y=(x+x-1)2-2. 由于x+x-1=3, 所以y=7. (3)设y=x2-x-2, 那么y=(x+x-1)(x-x-1), 而(x-x-1)2=x2-2+x-2=, 所以y=±3. 点评:整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解:已知本金为a元. 1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r), 2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2, 3期后的本利和为y3=a(1+r)3, … x期后的本利和为y=a(1+r)x. 将a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得 y=a(1+r)x=1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,5期后的本利和约为1 118元. 4.解:(1)因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x. 所以3x+1=-2x.

所以x=. (2)因为y1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以当a>1时,3x+1>-2x. 所以x>. 所以当0<a<1时,3x+1<-2x.所以x<. (设计者:刘玉亭)


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