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曲线与方程检测题及答案


9.9 曲线与方程
一、填空题 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的是________. 解析 ?x-y=0, (x-y)2+(xy-1)2=0?? ?xy-1=0, ?x=-1, 或? ?y=-1.

?x=1, ∴? ?y=1

故此方程表示两个点. 答案 两个点

2.方程|y|-1= 1-?x-1?2表示的曲线是________.

解析

?|y|-1≥0 2 原方程等价于?1-?x-1? ≥0 ??|y|-1?2=1-?x-1?2

?|y|-1≥0 ?? 2 2 ??x-1? +?|y|-1? =1 ?y≥1 ?y≤-1 ? ?? 或 2 2 2 2 ??x-1? +?y-1? =1 ??x-1? +?y+1? =1 答案 两个半圆

3. 动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为_______. 解析 考查抛物线定义及标准方程,知 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为

y 2 ? 8x .
答案 y 2 ? 8x
2 2 → → 4.设 P 为圆 x +y =1 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,若PM=λ MQ(其中 λ 为正常

数),则点 M 的轨迹为________. 解析 设 M(x,y),P(x0,y0),则 Q(x0,0),

x-x0=λ?x0-x?, → =λMQ → 得? ? 由PM (λ>0), ?y-y0=-λy ?x0=x, ∴? ?y0=?λ+1?y.
1

由于 x20+y20=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M 的轨迹为椭圆. 答案 椭圆
2

5.设 P 为双曲线 x ? y 2 ? 1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方程 4 是 . 解析 设 M(x,y),则 P(2x,2y)代入双曲线方程即得?. 答案 x2 ? 4 y 2 ? 1 6.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是________.

解析

由条件知 PM=PF.

∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF. ∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 答案 椭圆

7.若△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹 方程是________. 解析 如图 AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,所以 CA-CB=8-2=6.

根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 - = 9 16 1(x>3).

x2

y2

答案

x2

- =1(x>3) 9 16

y2

8.对于曲线 C:

x2
4-k



y2 k-1

=1,给出下面四个命题:

①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4;
2

5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中所有正确命题的序号为________.

解析 根据椭圆和双曲线的定义,可得当?k-1>0,

?

4-k>0,

?4-k≠k-1,

k<4, ? ?k>1, 即? 5 k≠ ? ? 2

时,表示椭圆;

当 k<1 或 k>4 时,表示双曲线. 答案 ③④ ? a ? ?a ? 9.在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?- ,0?,C? ,0?(a>0),且满足条件 sin C-sin B ? 2 ? ?2 ? 1 = sin A,则动点 A 的轨迹方程是________. 2 解析

AB AC 1 BC 由正弦定理得 - = × , 2R 2R 2 2R

1 ∴AB-AC= BC,由双曲线的定义知动点 A 的轨迹为双曲线右支. 2 答案 16x2 16y2 - 2 =1(x>0 且 y≠0) a2 3a

x2 y2 10.已知 P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点, a b
→ → +PF → ,则动点 Q 的轨迹方程是______________. OQ=PF
1 2

解析

→ +PF →, 由→ OQ=PF 1 2

→ +PF → =→ 又PF PM=2→ PO=-2→ OP, 1 2

y? 1 1 ? x 设 Q(x,y),则→ OP=- → OQ=- (x,y)=?- ,- ?, 2? 2 2 ? 2 y? ? x 即 P 点坐标为?- ,- ?,又 P 在椭圆上, 2? ? 2
? x?2 ?- ? ? 2? ? y?2 ?- ? ? 2?

则有

a2



b2

x2 y2 =1,即 2+ 2=1(a>b>0). 4a 4b

3

x2 y2 答案 + =1(a>b>0) 4a2 4b2
11.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与 l1、

l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心的轨迹方程是____________.
解析 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1 和 d2.

由弦心距、半径、半弦长间的关系得,
2 ? ?2 r -d21=26, ? ?2 r2-d22=24, ?

?r -d21=169, 即? 2 ?r -d22=144,
2

消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d22-d21=25, 即 ?3x-2y+3?2 ?2x-3y+2?2 - =25. 13 13

化简得(x+1)2-y2=65. 此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程. 答案 (x+1)2-y2=65

12.直线 + 解析

x y =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是______. a 2-a x y =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B 中点为 M(x, a 2-a

(参数法)设直线 +

a a y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.
2 2 答案

x+y=1(x≠0,x≠1)

13. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面 内的轨迹是________. 解析 在边长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,DC 与 A1D1 是两条相互垂直的异面直线,平面 ABCD

过直线 DC 且平行于 A1D1,以 D 为原点,分别以 DA、DC 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设 点 P(x,y)在平面 ABCD 内且到 A1D1 与 DC 之间的距离相等,∴|x|= y2+a2, ∴x2-y2=a2,故该轨迹为双曲线.
4

答案

双曲线

二、解答题 14.求过直线 x-2y+4=0 和圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1=0 的交点,且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积. 解析 设所求圆的方程是 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? ? ( x ? 2 y +4)=0, 即 x2 ? y 2 ? (2 ? ? ) x ? 2(2 ? ?) y ? 1 ? 4? ? 0 . (1)因为圆过原点,所以 1 ? 4? ? 0? 即 ? ? ? 1 . 4 故所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 7 x ? 7 y ? 0 . 4 2 (2)将圆系方程化为标准式,有: ( x ? 2 ? ? ) 2 ? ( y ? 2 ? ? ) 2 ? 5 (? ? 2 ) 2 ? 4 . 2 4 5 5 当其半径最小时,圆的面积最小,此时 ? ? ? 2 为所求. 5 故满足条件的圆的方程是 ( x ? 4 )2 ? ( y ? 8 )2 ? 4 . 5 5 5 点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系 数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小. 15.如图,椭圆 C: + =1 的右顶点是 A,上、下两个顶点分别为 B、D,四边形 OAMB 是矩 16 4 形(O 为坐标原点),点 E、P 分别是线段 OA、AM 的中点.

x2

y2

(1)求证:直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上; (2)过点 B 的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于点 R、S(不同于点 B),且它们的斜率 k1,k2 满足 k1k2 1 =- ,求证:直线 RS 过定点,并求出此定点的坐标. 4
5

解析

(1)由题意,得 A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1).

1 所以直线 DE 的方程为 y=x-2,直线 BP 的方程为 y=- x+2. 4

?y=x-2, 解方程组? 1 y=- x+2, 4 ?

16 ? ?x= 5 , 得? 6 y= . ? ? 5

?16 6? 所以直线 DE 与直线 BP 的交点坐标为? , ?. ? 5 5? ?16?2 ?6?2 ? ? ? ? ? 5 ? ?5? 因为 + =1, 16 4

x2 y2 ?16 6? 所以点? , ?在椭圆 + =1 上. 16 4 ? 5 5?
即直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上. (2)设直线 BR 的方程为 y=k1x+2.

?y=k x+2, 解方程组? x y ?16+ 4 =1,
1 2 2

?x=0, 得? ?y=2

16k ? x =- , ? 1+4k 或? 2-8k y= ? ? 1+4k ,
1 2 1 2 1 2 1

16 2-8k2 ? 1? , 所以点 R 的坐标为?- 2 2?. ? 1+4k1 1+4k1? 1 1 因为 k1k2=- ,所以直线 BS 的斜率 k2=- . 4 4k1 直线 BS 的方程为 y=- 1 x+2. 4k1 16k ? x = ? 1+4k , 或? 8k -2 y= ? ? 1+4k .
1 2 1 2 1 2 1

1 ? y =- x+2, ? 4k 解方程组? x y ? ?16+ 4 =1,
1 2 2

?x=0, 得? ?y=2

6

8k2 ? 16k1 1-2? ?. 所以点 S 的坐标为? 2, 1 + 4 k 1 + 4k2 1 1? ? 所以点 R,S 关于坐标原点 O 对称. 故 R,O,S 三点共线,即直线 RS 过定点 O. 16.已知圆 O:x2+y2=2 交 x 轴于 A、B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为 2 的椭圆, 2

其左焦点为 F.若点 P 是圆 O 上的一点,连接 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线 于点 Q.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与点 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置 关系?若是,请证明;若不是,请说明理由. 解析 (1)因为 a= 2,e= 2 ,所以 c=1. 2

则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. 2 1 (2)因为 P(1,1),所以 kPF= ,所以 kOQ=-2,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x. 2 又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4). 所以 kPQ=-1.又 kOP=1,所以 kOP·kPQ=-1,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 与圆 O 相切. (3)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切. 证明如下:
2 设 P(x0,y0)(x0≠0,±1),则 y2 0=2-x0,所以 kPF=

x2

y0 x0+1

,kOQ=-

x0+1 . y0

所以直线 OQ 的方程为 y=- 2x0+2? ? ?. 所以点 Q?-2, y0 ? ?

x0+1 x. y0

7

y0-
所以 kPQ=

2x0+2

y0

x0+2

y2 -x2 x0 y0 0-?2x0+2? 0-2x0 = = =- ,又 kOP= , ?x0+2?y0 ?x0+2?y0 y0 x0

所以 kOP·kPQ=-1,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切. 17.如图,在直角坐标系中,A、B、C 三点在 x 轴上,原点 O 和点 B 分别是线段 AB 和 AC 的中 点,已知 AO=m(m 为常数),平面的点 P 满足 PA+PB=6m.

(1)试求点 P 的轨迹 C1 的方程;

y ? ?x ?一定在某圆 C2 上; (2)若点(x,y)在曲线 C1 上,求证:点?3, 2 2? ?
(3)过点 C 作直线 l 与圆 C2 相交于 M、N 两点,若点 N 恰好是线段 CM 的中点,试求直线 l 的方 程. 解析 (1)由题意可得点 P 的轨迹 C1 是以 A、B 为焦点的椭圆,

且半焦距长 c=m,长半轴长 a=3m,则 C1 的方程为 (2)若点(x,y)在曲线 C1 上,则 则 x=3x0,y=2 2y0.

x2 y2 + =1. 9m2 8m2

x2 y2 x y =y0, 2+ 2=1.设 =x0, 9m 8m 3 2 2

x2 y2 2 2 代入 2+ 2=1,得 x2 0+y0=m , 9m 8m y ? ?x ?一定在某一圆 C2 上. 所以点?3, 2 2? ?
(3)由题意,得 C(3m,0).
2 2 设 M(x1,y1),则 x2 1+y1=m .①

?x1+3m y1? , ?. 因为点 N 恰好是线段 CM 的中点,所以 N? 2? ? 2 ?x1+3m?2 ?y1?2 ? +? ? =m2.② 代入 C2 的方程得? ? 2 ? ?2? 联立①②,解得 x1=-m,y1=0. 故直线 l 有且只有一条,方程为 y=0.
8

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(-4,0),B(4,0),动点 P 与点 A、B 连线的斜率之 1 积为- . 4 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C, 半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线上, 且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r. ①求圆 M 的方程; ②当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程;如果不 存在,请说明理由. 解析 (1)设 P(x,y),则直线 PA、PB 的斜率分别为

k1=

y x+4

,k2=

y x-4

.

1 x2 y2 由题意,知 · =- ,即 + =1(x≠±4). x+4 x-4 4 16 4

y

y

所以动点 P 的轨迹方程是

x2
16

+ =1(x≠±4). 4

y2

(2)①由题意,得 C(0,-2),A(-4,0), 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3. 设 M(a,2a+3)(a>0),则⊙M 的方程为(x-a)2+(y-2a-3)2=r2. ? 3r?2 r ? ,得 a= . 圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 r2=d2+? 2 ? 2 ?

r? ? 所以⊙M 的方程为?x- ?2+(y-r-3)2=r2. 2? ?
②假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切. 当定直线的斜率不存在时,不合题意. 设直线 l∶y=kx+b,

r ? ? ?k× -r-3+b? 2 ? ? 则 =r 对任意 r>0 恒成立. 2 1+k
??k ? ? 由?? -1?r+?b-3??=r 1+k2, ??2 ? ?

9

?k ?2 2 2 2 2 得? -1? r +(k-2)(b-3)r+(b-3) =(1+k )r . 2 ? ? ?k ? ? -1? =1+k , ?? ?2 ? 所以? ?k-2??b-3?=0, ? ??b-3? =0.
2 2 2

?k=0, 解得? ?b=3

?k=-4 , 3 或? ?b=3.

所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y-9=0 与动圆 M 均相切.

10


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