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2016


1.2

直线的方程

第一课时

直线方程的点斜式

自主学习· 新知突破

有一根长长的线, 线的一端绑着一个美丽的风筝. 如果把风筝看作一个点, 随着风向的变化,风筝带着线在空中画出了一条条的直线. [问题 1] 对于上述问题,在平面直角坐标系中,若风筝看作一点,则过此点

是否可以确定无数条直线?

[提示1]

(1)已知直线上一点P(x0,y0)和直线的倾斜角.

(2)已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).

[问题 2]

如图,若直线 l 经过点 A(-1,3),斜率为

-2,点 P 是在直线 l 上异于点 A 的点,则点 P 的坐标 (x,y)满足怎样的关系式?

y-3 [提示 2] x-?-1?=-2, 即 y-3=-2[x-(-1)].

1.了解直线方程的点斜式的推导过程. 2.掌握直线方程的点斜式并会应用. 3.掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念.

直线的方程 如果一个方程满足以下两点,就把这个方程称为直线 l 的方程:

满足这个方程 . 任一点 的坐标(x,y)都________________ (1)直线 l 上________ 每一个数对 (x,y)所对应的点都_____________ 在直线l上 . (2)满足该方程的_____________

[强化拓展] 一个方程是直线 l 的方程,必须同时具备两个条件,缺一不可: (1)“直线 l 上任一点的坐标(x,y)都满足这个方程”,说明直线 l 上没有坐标 不满足方程的点,也就是说直线 l 上所有的点都适合这个方程而毫无例外. (2)“满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线 l 上”,说明适合 方程的所有点都在直线 l 上而毫无遗漏. 只有具备了以上两点,某个方程才能与直线 l 的方程建立一一对应关系.

直线方程的点斜式 (1)条件:点 P(x0,y0)在直线 l 上,直线 l 的斜率存在,设为 k. (2)图示:如图所示.

y-y0=k(x-x0) . (3)形式:___________________

[强化拓展] (1)直线的点斜式方程的适用前提是直线的斜率存在,即直线不与 x 轴垂直; (2)已知直线过定点且斜率存在时,常用点斜式求直线方程; y-y0 (3)方程x-x0=k 与 y-y0=k(x-x0)是不相同的,前者表示除去点(x0,y0)外的 直线,后者则表示整条直线; (4)当直线的倾斜角为 90° 时, 直线 l 没有斜率, 这时直线 l 与 y 轴平行或重合, 它的方程不能用点斜式表示.直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0,所以它的方程 是 x-x0=0.

直线方程的斜截式 (1)条件:直线 l 的斜率存在,设为 k,直线在 y 轴上的截距为 b. (2)图示:如图所示.

y=kx+b . (3)形式:___________

[强化拓展] (1)截距是直线与 y 轴交点的纵坐标,不是距离,它可以是任意的实数. (2)并非所有的直线在 y 轴上都有截距,当直线的斜率不存在时,该直线在 y 轴上就没有截距. (3)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存 在,且知在 y 轴上的截距 b.

[自主练习] 1.过点 P(-2,0),斜率是 3 的直线的方程是( A.y=3x-2 C.y=3(x-2) B.y=3x+2 D.y=3(x+2) )

答案:

D

2.直线方程为 y+2=2x-2,则( A.直线过点(2,-2),斜率为 2 B.直线过点(-2,2),斜率为 2 1 C.直线过点(1,-2),斜率为2 D.直线过点(1,-2),斜率为 2

)

解析:

把直线方程写成点斜式方程:y-(-2)=2(x-1),故直线过点(1,

-2),斜率为 2.

答案:

D

3.(2015· 天津高一检测)直线 y-2=- 3(x+3)的倾斜角是________,在 y 轴 上的截距是________.
解析: 因为直线斜率为- 3,

. 所以倾斜角为 120° 又因为 x=0 时,y=2-3 3, ∴在 y 轴上的截距是 2-3 3.
答案: 120° 2-3 3

4.求倾斜角为 30° ,且满足下列条件的直线方程: (1)经过点( 3,-1); (2)在 x 轴上的截距为-5.
∵直线倾斜角为 30° , 3 ∴斜率 k= 3 . 解析: 3 (1)∵所求直线经过点( 3,-1),斜率为 3 , 3 ∴所求直线方程为 y+1= 3 (x- 3), 即 3x-3y-6=0.

3 (2)∵所求直线的斜率是 3 ,在 x 轴上的截距为-5, 即过点(-5,0), 3 ∴所求直线的方程为 y-0= 3 (x+5), 即 3x-3y+5 3=0.

合作探究· 课堂互动

直线方程的点斜式 根据条件写出下列直线方程的点斜式. (1)经过点 A(-1,4),倾斜角为 45° ; (2)经过点 B(4,2),倾斜角为 90° ; (3)经过原点,倾斜角为 60° ; (4)经过点 D(-1,1),倾斜角为 0° .

[思路探究 ]

(1)(3)由倾斜角求出斜率,代入直线方程的点斜式即可; (2)(4)

可直接写出来.因为(2)斜率不存在,(4)直线斜率为 0.

[边听边记]

(1)直线斜率为 tan 45° =1,

∴直线方程为 y-4=x+1. (2)直线斜率不存在,直线平行于 y 轴, ∵所求直线方程为 x=4. (3)直线斜率为 tan 60° = 3, ∴所求直线的方程为 y= 3x. (4)直线斜率为 0, ∴直线方程为 y=1.

[规律方法]

求直线的点斜式方程的步骤

[特别提醒]

斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有

点的横坐标相等都为x0,故直线方程为x=x0.

1.(1)过点(-3,2),倾斜角为 60° 的直线方程为( A.y+2= 3(x-3) C.y-2= 3(x+3) 3 B.y-2= 3 (x+3) 3 D.y+2= 3 (x+3)

)

(2)已知三角形的三个顶点 A(1,1),B(4,0),C(3,2),求 BC 边上的高所在直线 的方程.

解析:

(1)∵k=tan 60° = 3,

∴直线方程为 y-2= 3(x+3). kBC=-1. (2)BC 边上的高所在的直线 l 通过点 A(1,1),且垂直于 BC,则 kl· 2- 0 1 1 因为 kBC=3-4=-2,所以 kl=2,则 BC 边上的高所在直线的方程为 y-1=2(x -1).

答案:

(1)C

直线方程的斜截式 (1)写出斜率为 2,在 y 轴上截距是 3 的直线方程的斜截式. (2)已知直线 l 的方程是 2x+y-1=0,求直线的斜率 k,在 y 轴上的截距 b, 以及与 y 轴交点 P 的坐标.

[思路探究] 写出直线方程.

利用斜截式写直线的方程需先确定斜率和截距,再利用斜截式

解析:

(1)∵直线的斜率为 2,在 y 轴上截距是 3,

∴直线方程的斜截式为 y=2x+3. (2)把直线 l 的方程 2x+y-1=0 化为斜截式为 y=-2x+1, ∴k=-2,b=1,点 P 的坐标为(0,1).

[规律方法]

直线的斜截式方程的求解策略

(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意 截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程 y=kx+b 不仅形式简单,而且特点明显,k 是直线的斜 b 是直线在 y 轴上的截距, 率, 只要确定了 k 和 b 的值, 直线的图像就一目了然. 因 此,在解决直线的图像问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用 k,b 的几何意义进行判断.

2.(1)已知直线 l 的方程为 9x-4y=36,则 l 在 y 轴上的截距为( A. 9 C.-4 B.-9 4 D.-9

)

(2)①写出直线斜率为-1,在 y 轴上截距为-2 的直线方程的斜截式; 4 ②求过点 A(6,-4),斜率为-3的直线方程的斜截式.

9x 解析: (1)直线方程可化为 y= 4 -9, ∴l 在 y 轴上的截距为-9. (2)①易知 k=-1,b=-2, 由直线方程的斜截式知, 所求直线方程为 y=-x-2. 4 ②由于直线斜率 k=-3,且过点 A(6,-4), 根据直线方程的点斜式得直线方程为 4 y+4=-3(x-6), 4 化为斜截式为 y=-3x+4. 答案: (1)B

点斜式、斜截式方程的综合应用 已知直线 l 经过点 P(-1, -2), 在 y 轴上的截距的取值范围为[2,6], 求此直线斜率的取值范围.
[ 思路探究 ] 设点斜 化为斜截 求出直线在y 解不等式求斜 式方程 ―→ 式方程 ―→ 轴上的截距 ―→ 率的取值范围 或

设斜截 将点P坐 找到斜率与在y轴 求出斜率 式方程 ―→ 标代入 ―→ 上的截距的关系 ―→ 的范围

[规范解答]

方法一:设直线 l 的斜率为 k,

由于这条直线过点 P(-1,-2), 所以,它的点斜式方程是 y-(-2)=k[x-(-1)],3 分 可化为斜截式方程是 y=kx+k-2,5 分 所以直线 l 在 y 轴上的截距为 k-2.7 分 由已知得 2≤k-2≤6.9 分 所以 4≤k≤8.11 分 所以直线 l 斜率的取值范围为[4,8].12 分

方法二:设直线 l 的斜截式方程为 y=kx+b. 由于点 P(-1,-2)在直线 l 上, 所以-2=k(-1)+b,4 分 即 k=b+2.8 分 又因为 b∈[2,6],所以 k∈[4,8],10 分 所以直线 l 的斜率的取值范围为[4,8].12 分

[规律方法]

(1)直线方程的斜截式 y=kx+b 清晰地指出了该直线的两个几何

要素:斜率 k 和截距 b. (2)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,通常选用点斜式,再由其他条件 确定斜率;已知直线的斜率,常用斜截式,再由其 他条件确定该直线在 y 轴上的截距,无论采用哪种方式,在求解过程中待定 系数法是求解该类问题的常用方法.

3.已知直线 l2 的斜率是直线 l1:x-y+1=0 的斜率的 3 倍,且分别满足下 列条件: (1)在 y 轴上的截距为 3; (2)在 x 轴上的截距是-5,分别求直线 l2 的方程.

解析:

由 x-y+1=0 得 y=x+1,

∴直线 x-y+1=0 的斜率为 1, 从而直线 l2 的斜率为 3. (1)∵直线在 y 轴上的截距为 3,故直线 l2 的方程为 y=3x+3; (2)∵直线在 x 轴上的截距为-5, ∴直线经过点(-5,0), 利用点斜式方程可得 y=3(x+5), 即 3x-y+15=0.

◎求过点 P(-4,2)且与 x 轴的交点到(1,0)的距离为 5 的直线方程.
【错解】 ∴其与 x 设直线的斜率为 k,则其方程为 y-2=k(x+4).
? ? 2 ? 4 0 - - , 轴的交点为? k ? ?,

? ? 2 ? 4 1 - - - ∴? k ? ?=5,

1 解得 k=-5.故所求直线方程为 x+5y-6=0.

【错因】

本题由于只注意了直线的斜率存在的情况,忽视了直线的斜率不

存在的情况, 即过点 P 且垂直于 x 轴的直线, 而导致错误. 一般地, 经过点 P0(x0, y0)的直线有无数条,可分为两类: a.斜率存在的直线,方程为 y-y0=k(x-x0). b.斜率不存在的直线,方程为 x=x0.

【正解】

(1)当直线的斜率存在时,同错解;(2)当直线的斜率不存在时,

直线方程为x=-4,也适合题意.故所求直线方程为x+5y-6=0或x=-4.


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