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福建-童其林-构造图形及建立坐标系是解平面向量问题的重要方法

构造图形及建立坐标系是解平面向量问题的重要方法
童其林 向量的几何表示,三角形,平行四边行法则使向量具备形的特征,而向量的坐标表示, 和坐标运算又让向量具备数的特征. 所以,向量融“数” 、 “形”于一体,具有几何形式与代 数形式的“双重身份”.我们在研究向量问题或用向量解决数学问题时,如果恰到好处地构 造适合问题的图形或建立平面直角坐标系,可以将许多复杂问题简单化,抽象问题直观化. 本文结合实例,将构造思想在解决向量问题的妙处做一总结,以供参考. 1、构造三角形 例 1 设向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 , (a ? b ) ? c , a ? b ,若 a ? 1 ,则

?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?2 ?2 ?2 a ? b ? c 的值是

.

解法 1(代数法) ? (a ? b ) ? c , c ? ?(a ? b ) ,? (a ? b ) ? (?a ? b ) ,

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 0 ,? a 2 ? b 2 ? 0 ,? a ? b ? 1,又? c ? ?(a ? b ), a ? b ? 0 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? c ? ? (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? 2a ? b ? 2 ,? a ? b ? c ? 4 .
解法 2 (几何法)如右图作 AB ? BD ? a , BC ? b ,

?

?

C

? ? ? CA ? c ,? a ? b ,? AB ? BC ,又

? ? ? ? ? ? a ? b ? BD ? BC ? CD ,又? (a ? b ) ? c ,? CD ? CA ,
所以 ?ABC 是等腰直角三角形,? a ? 1, b ? 1, c ?

A

B

D

?

?

?

2,

?2 ?2 ?2 ? a ? b ? c ? 4.
2、构造圆 例 2 (2011 年高考全国卷理科 12)设向量 a, b, c 满足 a ? b ? 1 ,
B

1 a ? b ? ? , ? a ? c, b ? c ?? 60 0 , c 的最大值等于( 2
(A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1


C D

A

解析:如图,构造

AB ? a, AD ? b, AC ? c, , ?BAD ? 120? , ?BCD ? 60? ,所以 A, B, C, D 四点共圆,可知
当线段 AC 为直径时, c 最大,由余弦定理知 BD= 3 ,又

BD ? 2 R, 所以 2R=2,所以 sin 120 0

c 最大值为 2,选 A.

1

变式训练 已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足

?

?

?

? ? ? ? ? (a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 ,则 c 的最大值是(
(A)1 (B)2



(C) 2

(D)

2 2

答案 C。 3、构造点到直线的距离
0 例 3 已知向量 a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 ,问 x 为何值时, a ? xb 的值

最小?并求此时 b与a ? xb 的夹角. 解析 如图,设 OA ? a , OB ? b ,易知 a ? xb 就是点 A 到直线 OB 上某点的的距 离.所以, a ? xb

min

? 点 A 到直线 OB 的距离, ,即图中所示的 AH.在 ?AOH 中易得

AH=

? 3 .此时 b与a ? xb 的夹角为 . 2 2

4、构造其它图形 例 4 已知向量 OB ? (2,0),CA ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),OC ? (2,2), , ,则 OA 与 OB 夹 角的最小值和最大值依次是( ). (A) 0, 解析

?
4

(B)

? 5?
4 12 ,

(C)

? 5? , 12 12

(D)

5? ? , 12 2

OA ? (2 ? 2 cos? ,2 ? 2 sin ? ) 由

则点 A 在以 C ? 2, 2? 为圆心, 2 为半径的圆上,又由已知, OB ? (2,0) ,则 OB 是 Ox 轴上 的一个向量,所以圆 C 上的点与 ? 0, 0 ? 点的连线的倾斜角即为 OA 与 OB 的夹角. 如图,可以求出, ?AOx ? 因而, ? min ?

?

?
12

,? max

4 6 12 5? ? ,选(C). 12

?

?

?

?

, ?DOx ?

?
4

?

?
6

?

5? . 12

点评:解法 1 是直接法,麻烦,不如解法 2. 5、建立平面直角坐标 某些问题建立直角坐标系能降低解决问题的门槛. 例 5 ( 2013 年 重 庆 卷 理 科 10 ) 在 平 面 上 , AB1 ? AB2 )

????

???? ?



??? ? 1 ???? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 的取值范围是( 2
2

A. ? 0,

? ? ?

5? ? 2 ?

B. ? ?

? 5 7? , ? ? 2 2 ?

C. ? ?

? 5 ? , 2? ? 2 ?

D. ?

? 7 ? , 2 ? ? 2 ? ?

解析 根据条件知 A, B1 , P, B2 构成一个矩形 AB1 PB2 , 以 AB1 , AB2 所在直线为坐标轴 建立直角坐标系,设 AB1 ? a, AB2 ? b, 点 0 的坐标为(x,y),则点 P 的坐标为(a,b). 由 0 B1 ? OB2 ? 1 得 ?
2 2 2 2 ? ? ?( x ? a) ? y ? 1 ?( x ? a) ? 1 ? y . ,则 ? 2 2 2 2 ? ? x ? ( y ? b ) ? 1 ( y ? b ) ? 1 ? x ? ?

又由 OP ?

1 1 1 , 得 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? , 则 1 ? x 2 ? 1 ? y 2 ? , 即 2 4 4
7 7 2 2 ,所以 x ? y ? . 4 2

x2 ? y2 ?

又 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 1, 得 x 2 ? y 2 ? a 2 ? 1 ? 2ax ? 1 ? a 2 ? x 2 , 则 y 2 ? 1 .
2 2 2 同理由 x 2 ? ( y ? b) 2 ? 1, 得 x ? 1 ,即有 x 2 ? y 2 ? 2, 所以 x ? y ?

2.

而 OA ?

x 2 ? y 2 . 所以

7 ? OA ? 2 ,选 D. 2

以上例题都是关于平面向量的基础知识的考查,本身难度不大,属于中档题,可以依靠 向量本身的运算性质得到相应的结论.但是如果采用向量的几何运算或坐标法,就可以使运 算得以简化,有思维量而少计算量,而且整个思维过程充满技巧,小巧而有趣,充分反应了 平面几何和平面向量交汇点试题巧妙的特点.其次,构造法的威力不可小觑;数形结合的思 想是创新解题中永恒的主题.以前,我们强调更多的是用向量的观点解决几何问题,而上面 的例子充分说明了逆向应用即构造几何图形解决向量问题同样精彩!不过, “构造几何图形 巧解向量问题”技巧性强,需要有较好的数学功底. (作者单位:福建省永定县城关中学)

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