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2013届高考理数一轮课件:10.2用样本估计总体


第二节

用样本估计总体

三年16考

高考指数:★★★

1.了解分布的意义与作用,会列频率分布表、会画频率分布直

方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点;
2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;

3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),
并作出合理的解释;

4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特

征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想;
5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简 单的实际问题

1.频率分布直方图的应用和平均数、标准差的计算及应用是考 查重点;

2.频率分布等内容经常与概率等知识相结合出题;
3.题型以选择题和填空题为主,与概率交汇则以解答题为主.

1.统计图表的含义 (1)频率分布表: 总体频率分布 ①含义:把反映______________的表格称为频率分布表.

②频率分布表的画法步骤:
全距 第一步:求______,决定组数和组距,组距= 全距 ;
组数

分组 第二步:______,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间, 最后一组取闭区间; 第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.

频率分布规律 (2)频率分布直方图:能够反映样本的______________的直方 图. 上 (3)频率分布折线图:将频率分布直方图中各相邻的矩形的__

底边 ______的中点顺次连接起来,就得到频率分布折线图.
(4)总体密度曲线:如果将样本容量取得足够大,分组的组距 足够小,则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,即总体密 度曲线.

(5)茎叶图的画法步骤:

第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;
第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列,写 在左(右)侧; 第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.

【即时应用】

判断下列关于频率分布直方图和茎叶图的说法是否正确.(请在
括号中填写“√”或“×”) ①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势. ( )

②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直 方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了. ( )

③茎叶图一般左侧的叶从大到小写,右侧的叶按从小到大的顺 序写,相同的数据可以只记一次. ( )

④用茎叶图表示数据有两个优点:一是统计图上没有原始数据

信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶
图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.

(
⑤茎叶图只能表示有两位有效数字的数据. (

)
)

【解析】根据频率分布直方图的含义可知①②都正确;茎叶图 要求不能丢失数据,所以③不正确;④正确;⑤不正确,茎叶 图也能够记录有三个或三个以上的有效数字的数据,只不过此 时茎和叶的选择要灵活. 答案:①√ ②√ ③× ④√ ⑤×

2.样本的数字特征 出现次数最多 (1)众数:一组数据中______________的那个数据,叫做这组 数据的众数. 最中间 (2)中位数:把n个数据按大小顺序排列,处于________位置的 一个数据叫做这组数据的中位数.
a1 ? a 2 ? ?? a n (3)平均数:把_____________称为a1,a2,?,an这n个数的平均 n

数.

(4)标准差与方差:设一组数据x1,x2,x3,?,xn的平均数为 x, 则这组数据的标准差和方差分别是
1 s? [(x1 ? x) 2 ? (x 2 ? x) 2 ??? (x n ? x) 2 ] n 1 s 2 ? [(x1 ? x) 2 ? (x 2 ? x) 2 ??? (x n ? x) 2 ] n

【即时应用】 (1)思考:在频率分布直方图中,如何确定中位数? 提示:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面 积是相等的.

(2)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们 每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名 运动员的中位数分别为______.

【解析】根据中位数的含义及茎叶图可知,甲的中位数是19, 乙的中位数是13. 答案:19、13

(3)已知一个样本为:1,3,4,a,7.它的平均数是4,则这个 样本的标准差是_____. 【解析】由平均数是4,得 1 ? 3 ? 4 ? a ? 7 ? 4,
5

∴a=5,代入标准差的计算公式得s=2.
答案:2

统计图表的应用

【方法点睛】
常用统计图表的作用

频率分布表、频率分布直方图、茎叶图都是用来描述样本数据
的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本 信息,可以随时记录;频率分布表和频率分布直方图则损失了 样本的一些信息.

【提醒】在画频率分布表或频率分布直方图分组时,取值区间
两端点有时可根据数据分别向外延伸半个组距.

【例1】对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: [100, 200) 20 [200, 300) 30 [300, 400) 80 [400, 500) 40 [500, 600] 30

寿命(h)





(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图;

(3)估计电子元件寿命在[100,400) h以内的概率;
(4)估计电子元件寿命在400 h以上的概率.

【解题指南】本题分组及频数统计已完成,只需列表画图即可,
解答(3)(4)可用频率代替概率.

【规范解答】(1)频率分布表如下:

寿命(h)
[100,200)


20







0.10

[200,300)
[300,400) [400,500) [500,600] 合 计

30
80 40 30 200

0.15
0.40 0.20 0.15 1

(2)频率分布直方图如下:

频率/组距

0.004?0 0.0035 ? 0.003?0 0.002?5 0.002?0 0.0015 ? 0.0010 ? 0.000?5 o

100

200

300

400

500 600 寿命/h

(3)由频率分布表和频率分布直方图可得,寿命在[100,400)h 内的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65,所以我们 估计电子元件寿命在[100,400) h内的概率为0.65.

(4)由频率分布表可知,寿命在400 h以上的电子元件出现的频
率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在400 h以上的

概率为0.35.

【反思?感悟】1.画频率分布直方图时要注意纵、横坐标轴的 意义,频率分布直方图中小矩形的面积是该组数据的频率.

2.频率分布直方图反映了样本的频率分布.
(1)在频率分布直方图中纵坐标表示
频率 , 组距

频率=组距× 频率 .
组距

(2)频率分布表中频率的和为1,故频率分布直方图中各长方形 的面积和为1. (3)用样本的频率分布可以估计相应总体的概率分布.

数字特征的应用 【方法点睛】 1.众数、中位数与平均数的理解 众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,其中

平均数与每一个样本数据都有关,任何一个数据的改变都会引
起平均数的变化.

2.标准差与方差 标准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一 组数据相对于平均数的波动情况,标准差与方差越大,说明这 组数据的波动性越大. 【提醒】用样本的数字特征估计总体的数字特征时,样本容量

越大,估计就越精确.

【例2】(1)(2011?江西高考)为了普及环保知识,增强环保意 识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制) 如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为 x, 则( )

(A)me=mo= x
(C)me<mo< x

(B)me=mo< x
(D)mo<me< x

(2)某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差 为75,后来发现有2名同学的分数登错了,甲实得80分却记成了 50分,乙实得70分却记成了100分,则更正后平均分和方差分别 是( )

(A)70,50

(B)70,75

(C)70,1.04

(D)65,25

(3)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的 观测值如下: 甲 乙 60 80 80 60 70 70 90 80 70 75

问:甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课发展较平衡?

【解题指南】计算样本的数字特征可以利用定义进行,利用数 字特征估计总体,可以根据各数字特征反映的总体的某些方面

的特征进行.

【规范解答】(1)选D.由频数分布条形图可知,30名学生的得分
依次为2个3,3个4,10个5,6个6,3个7,2个8,2个9,2个10.中位数

为第15,16个数(为5,6)的平均数,即me=5.5,5出现次数最多,
故mo=5,
x= 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 10 ? 5 ? 6 ? 6 ? 3 ? 7 ? 2 ? 8 ? 2 ? 9 ? 2 ? 10 30

≈5.97.于是得mo<me< x .故选D.

(2)选A.甲少记了30分,乙多记了30分,故更正后平均分仍为70
分;

设更正前48名学生成绩为x1,x2,?,x46,50,100,则由条件知
(x1-70)2+(x2-70)2+?+(x46-70)2+(50-70)2+(100- 70)2=75×48. ∴更正后方差
1 [(x1-70)2+(x2-70)2+?+(x46-70)2+(80-70)2+ 48 1 (70-70)2]= (75×48-202-302+102)=50. 48

s 2=

(3) x甲 =

1 (60+80+70+90+70)=74, 5

5 1 s甲2= (142+62+42+162+42)=104, 5 1 s乙2= (72+132+32+72+22)=56, 5

= 1 (80+60+70+80+75)=73, x乙

∵ x甲 ? x乙, 甲2>s乙2 s ∴ 甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡.

【反思?感悟】牢记样本数据的数字特征是正确求解的关键, 各个数字特征只是反映了总体的某一方面的信息,应用时要综 合考虑.

统计与概率的综合应用 【方法点睛】

解答统计与概率综合问题的注意事项
(1)从统计图表中准确获取相关信息是解题关键.

(2)明确频率与概率的关系,频率可近似代替概率.
(3)此类问题中的概率模型多是古典概型,在求解时,要明确基 本事件的构成.

【例3】(2012?汕头模拟)某校高三
文科分为四个班,高三数学调研测

试后,随机在各班抽取部分学生进
行测试成绩统计,各班被抽取的测 试人数恰好成等差数列,人数最少 的班被抽取了22人,抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的 频率分布条形图如图所示,其中120~130(包括120但不包括130分) 的频率为0.05,此分数段的人数为5人.

(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于90分的 概率. 【解题指南】(1)读懂频数分布条形图,根据已知数据,结合等 差数列求出各班人数;(2)用频率来估计概率.

【规范解答】(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为
5 =100人,∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差 0.05

为d,则4×22+6d=100,解得d=2,∴各班被抽取的学生人数分别是

22人,24人,26人,28人;
(2)在抽取的学生中,任取一名学生,则分数不小于90分的频率

为:0.35+0.25+0.1+0.05=0.75,
即分数不小于90分的概率是0.75.

【反思?感悟】1.在频率分布表中,频数的和等于样本容量,
频率的和等于1,每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容

量;
2.在频率分布直方图中,小矩形的高等于每一组的 频率 ,它们
组距

与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率.

【满分指导】统计的综合应用解答题的规范解答 【典例】(12分)(2011?北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组 各四名同学的植树棵数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认, 在图中以X表示.

(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两 名同学的植树总棵数为19的概率.

(注:方差 s 2=1 [(x1 x) 2+ 2-x) 2+ + n-x) 2 ], 其中 x 为 - (x ? (x
n

x1,x2,?,xn的平均数)

【解题指南】(1)利用平均数和方差的定义计算.
(2)利用列举法求出所有可能情况,然后求概率.

【规范解答】 (1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树
棵数是:8,8,9,10,

所以平均数为
8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ?????????????????3分 x = ? ; 4 4 方差为 s 2=1[(8 ? 35 ) 2 ? (8 ? 35 ) 2 ? (9 ? 35 ) 2 ? (10 ? 35 ) 2] 11 . ? 4 4 4 4 4 16

??????????????????????????6分

(2)记甲组四名同学分别为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依 次为9,9,11,11;乙组四名同学分别为B1,B2,B3,B4,他们植

树的棵数依次为9,8,9,10.
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16

个,它们是:
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),

(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4).??????10分 用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则

C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),
(A4,B2),故所求概率为P(C)=
4 1 ? . ????????12分 16 4

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议:

失 分

在解答本题时有两点容易造成失分: (1)对方差的公式掌握不准确或计算出错导致失分;




(2)求不出“分别从甲、乙两组中随机选取一名同
学”的所有情况导致概率求错而失分.

解决统计应用问题时,还有以下几点容易造成失 备 考

分,在备考时要高度关注:
(1)对样本的获取即抽样方法应用不熟练; (2)对常用的统计图表和数字特征反映的总体的特 征理解不透彻; (3)与其他知识,特别是概率结合时,相关的概率




模型不熟悉.

1.(2011?四川高考)有一个容量为66的样本,数据的分组及各

组的频数如下:
[11.5,15.5) 2 [23.5,27.5) 18 [35.5,39.5) 7 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9

[27.5,31.5) 11 [39.5,43.5) 3

[31.5,35.5) 12

根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约 是( (A) 1
6

) (B) 1
3

(C) 1
2

(D) 2
3 66 3

【解析】选B.从31.5到43.5共有22个数据,所以 P ? 22 ? 1 .

2.(2012?汕头模拟)某商场在国庆黄 金周的促销活动中,对10月2号9时至 14时的销售额进行统计,其频率分布 直方图如图所示.已知9时至10时的销

售额为2.5万元,则11时至12时的销售
额为( )

(A)6万元
(C)10万元

(B)8万元
(D)12万元

【解析】选C.根据频率分布直方图可知9时至10时的频率是 0.10×1=0.10,11时至12时的频率是0.40×1=0.40, ∴ 0.40 ×2.5=10(万元),故选C.
0.10

3.(2011?江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分 别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=______. 【解析】平均值 x ? 10 ? 6 ? 8 ? 5 ? 6 ? 7,
5 ∴ s 2 ? 1 ??10 ? 7 ?2 ? ? 6 ? 7 ?2 ? ? 8 ? 7 ?2 ? ? 5 ? 7 ?2 ? ? 6 ? 7 ?2 ? ? 16 ? 3.2. ? 5 5?

答案:3.2

4.(2012?韶关模拟)为了解某校教师使用
多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽 样的方法,从该校200名教师中抽取20名 教师,调查了他们上学期使用多媒体进行 教学的次数,结果用茎叶图表示如图:据此可估计该校上学期 200名教师中,使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数 为_______.

【解析】由茎叶图可知,使用多媒体进行教学次数在[15,30] 内的人数是10人,即所占比例是 10 ? 1 , ∴200× 1 =100.
20 2 2

答案:100



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