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极坐标和参数方程

1、极坐标与参数方程测试

三、解答题:

? x ? 2 ? 3cos ? 1.设曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上 ? y ? ?1 ? 3sin ?
到直线 l 距离为 A、1

7 10 的点的个数为( 10
B、2

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 1.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 。在极坐标系(与直角坐标 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中, 圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。

) C、3 ) D、4

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。

2。极坐标方程(p-1) ( ? ? ? )=(p ? 0)表示的图形是( (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 3.直线 l 的参数方程是 ? (A)(1,2) 4。直线 y ?

(B)两条直线 (D)一条直线和一条射线 可以是 ( )

? x=1+2t (t ? R) ,则 l 的方向向量 d ? y=2-t
(C)(-2,1) (D)(1,-2)

(B)(2,1)

? 3 ? x ? 3 ? 3 cos ? , (? ? [0, 2? )) 交于 A、B 两点,则直线 AD x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? 3 ? y ? 1 ? 3 sin ? ?
(B)

与 BD 的倾斜角之和为 (A)

7 π 6

5 π 4

(C)

4 π 3

(D)

5 π 3
2.在极坐标系中,已知圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值。

二、填空题:

?? ? t 1.已知圆 C 的圆心是直线 ? ( t 为参数)与 ? 轴的交点,且圆 C 与直线 ? ? ? ? 3 ? 0 相切。则 ?? ? 1 ? t
圆 C 的方程为 2. 在极坐标系 (ρ , θ ) (0 ≤ θ <2π ) 中, 曲线 ρ = 2 sin ? 与 p cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______. 3.已知圆 C 的参数方程 ?

? x ? cos? ( ? 为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ? y ? 1 ? sin ?

直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为

1

3.已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

4.已知 P 为半圆 C:

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

的坐标为(1,0) ,O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 (I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

的长度均为

? 。 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线

2

2、极坐标与参数方程测试 1.在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? 为参数)平行的直线的普通方程

? x ? 5cos ? ? x ? 4 ? 2t ( ? 为参数)的右焦点,且与直线 ? (t ? y ? 3sin ? ?y ? 3?t


2.若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 则改曲线的直角坐标方程为 3.在极坐标系中,点 ( ?, .

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? 4.已知两曲线参数方程分别为 ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标 ? ? y ? sin ? ? ?y ? t
为 .[ 5.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 ? ?
? x ? t ? 1, (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 ? 2 ? y ? (t ? 1)

π 与曲线 4

9.在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

.

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的点 A,B 求 AB

?
3

6.直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为 . 7.在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? 形式,则 f (? ) ? 。

与曲线 C1 , C 2 交于不同于原点

?
6

,若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的

8.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)曲线 C2 的参数方程为 y ? sin ? , ?

? x ? a cos ? , ( a ? b ? 0 , ? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? y ? b sin ? ,
L:θ = ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? = (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

π 时,这两个交点重合. 2

π π 时,L 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =- 时,L 与 C1, 4 4
3

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

10. 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程,并求出圆

11. 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ?y ? 3sin?

坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次 序排列,点 A 的极坐标为 (2,

C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示);
(Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。

?
3

)

(1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

4

3、极坐标与参数方程测试 1.直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为

9. 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为

?? ? ? ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4 4 ? ?
( 为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐 (Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

2.在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为

标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标 方程分别为 m(m 为非零数)与 。若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与员 O 相切,则

? x ? 1 ? cos a, (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a

椭圆 C 的离心率为___________________.

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l :? (t 为参数)过椭圆 C : ? 2.在平面直角坐标系 xoy 中,若 ? y ? t ? a ? y ? 2sin ? (?为参数)的 右顶点,

则常数 a的值为

.
y
2 2

3. 以 过 原 点 的 直 线 的 倾 斜 角 ? 为 参 数 , 则 圆 x ? y ? x ? 0 的 参 数 方 程 为 .
O θ

P

4.在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? 点,则 AB ? ______
? ?? 5.已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ? 3?

x

?x ? t2 ? ( t 为参数)相交于 A, B 两 3 ? ?y ? t

.

6. 在极坐标系中,点 (2,

?
6

) 到直线 ? sin ? ? 2 的距离等于_____。

7. 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t

( t 为参数 ), C 在点 ?1,1? 处的切线为 l , 以坐标原点为极

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为_____________. 8。设曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t ?y ? t
2

( t 为参数) ,若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,则曲线 c 的极坐标方程为
5

10.已知动点 P,Q 都在曲线 C: ? <α <2π )M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?

? ? 为参数?

上,对应参数分别为 β =α 与α =2π 为(0

11.

已知曲线 C1 的参数方程为?

? ?x=4+5cost ?y=5+5sint ?

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sinθ 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π )

(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

6


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