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空间的角和距离


§7.7、
【复习目标】 1、理解直线的方向向量与平面的法向量。

空间的角和距离

6. 求点 P 到直线 l 的距离时,先在直线上找一点 Q,然后求向量 PQ 在直线 l 上投影的绝对值。 7. 求点 P 到平面 a 的距离时,现在平面 a 上找一点 Q,然后求向量 PQ 在平面的法向量方向上投影的绝对值。 8. 与 A(-1,2,3),B(0,0,5)两点距离相等的点的坐标(x,y,z)满足的等式为 2 x ? 4 y ? 4 z ? 0 【合作探究】 例 1、五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面ABCD , AD ∥ BC ∥ FE , AB ? AD , M 为EC中点 ,

2、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题, 3、能用向量方法解决点到面的距离的计算问题,以及直线与直线、直线与平面、平面与平面的距离的计算; 4、了解空间向量方法在研究立体几何问题中的作用。 【知识梳理】 1、 空间角的有关计算: (1)异面直线所成角:

AF ? AB ? BC ? FE ?

1 AD , 2

F

(1) 求异面直线 BF与DE所成角的大小 ; (2) 证明:平面 AMD ? 平面 CDE ; M A

E

(2)直线和平面所成角:

(3) 求二面角 A ? CD ? E 的余弦值。

D

(3)二面角: B 2、距离的有关计算: (1)点到面的距离: C

(2)线到面的距离:

(3)面与面的距离: 例 2、直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AB ? AC , D, E分别为AA,B1C的中点, ? 平面BCC1 , DE 1 1 (1) 证明: AB ? AC ; 【复习自测】 判断对错: 1. 已知 A(1,0,0), B(0,1,0), C (0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( 2. 已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则 a‖c,a⊥b。 3. 两异面直线夹角的范围是 ? 0, (2) 设二面角 A ? BD ? C 为 60 ,求 B1C与平面BCD 所成角的大小。
?

A1 1

C1

3 3 3 , , ) . 3 3 3

B1

D

? ?? ? ?? ? , 直线与平面所成角的范围是 ?0, 2 ? , 二面角的范围是 ?0, ? ?。 ? 2? ? ?

A

E C

4. 已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角大小为 5. 已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 a 的方向向量,法向量,若 cos m, n =-

1 5? . ,则 l 与 a 所成角为 2 6

? . 4

B

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例 3.如图甲,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BAD=

? , AB=2,AD=3,CD=1,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 2

【当堂检测】 如 图 , 在 三 棱 柱

1 1 AE= AD ,BF= BC .现将此梯形沿 EF 折至使 AD= 3 的位置(如图乙) 3 3 (1) 求证:AE ? 面 ABCD
(2) 求点 B 到平面 CDEF 的距离; (3) 求直线 CE 与平面 BCF 所成角的正弦值。 D C E F

A B? A1B1C1 中 , H C









AA1 B1 B









AA1 = 2 2 , C1 H ? 平 AA1 B1 B, 且C1 H ? 5. 面
(1)求异面直线 AC与A1 B1 所成角的余弦值。 (2)求二面角 A - A1C1 ? B1 的平面角的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA B1B 内,且 MN ? 平面A1B1C1 ,求线段 BM 的长。 1 C B C1 N B B1 H

A E A F B D C

M A A1

【总结反思】 (1)我的疑问 (2)我的收获

【复习自测】

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