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高中数学一轮复习导数与函数的单调性

课时分层训练(十四) A组 导数与函数的单调性 基础达标 (对应学生用书第 249 页) (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1 1.函数 y=2x2-ln x 的单调递减区间为( A.(-1,1) C.(1,+∞) B ) B.(0,1) D.(0,+∞) 2 1 2 1 x -1 [y= x -ln x,y′=x- = 2 x x = ?x-1??x+1? (x>0). x 令 y′<0,得 0<x<1,∴单调递减区间为(0,1).] 2.已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图象如图 2113 所示, 则下列叙述正确的是( ) 图 2113 A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) C [依题意得,当 x∈(-∞,c)时,f′(x)>0,因此,函数 f(x)在(-∞,c)上是 增函数,由 a<b<c,所以 f(c)>f(b)>f(a).因此 C 正确.] 3.若函数 f(x)=2x3-3mx2+6x 在区间(2,+∞)上为增函数,则实数 m 的取值范 1 围为( ) B.(-∞,2] 5? ? D.?-∞,2? ? ? A.(-∞,2) 5? ? C.?-∞,2? ? ? D [∵f′(x)=6x2-6mx+6, 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0 恒成立, 1 即 x2-mx+1≥0 恒成立,∴m≤x+ x恒成立. 1 1 令 g(x)=x+ x,g′(x)=1-x2, ∴当 x>2 时,g′(x)>0,即 g(x)在(2,+∞)上单调递增, 1 5 ∴m≤2+2=2,故选 D.] 4.(2017· 山东高考)若函数 exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在 f(x)的定义 域上单调递增, 则称函数 f(x)具有 M 性质. 下列函数中具有 M 性质的是( A.f(x)=2-x C.f(x)=3 -x ) B.f(x)=x2 D.f(x)=cos x A [若 f(x)具有性质 M, 则[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0 在 f(x)的定义域上恒成 立,即 f(x)+f′(x)>0 在 f(x)的定义域上恒成立. 对于选项 A,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合题意. 经验证,选项 B,C,D 均不符合题意. 故选 A.] 5.(2016· 湖北枣阳第一中学 3 月模拟)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) B ) 【导学号:79170066】 B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) [由 f(x)>2x+4,得 f(x)-2x-4>0,设 F(x)=f(x)-2x-4,则 F′(x)=f′(x) 2 -2, 因为 f′(x)>2, 所以 F′(x)>0 在 R 上恒成立,所以 F(x)在 R 上单调递增, 而 F(-1)=f(-1)-2× (-1)-4=2+2-4=0,故不等式 f(x)-2x-4>0 等价 于 F(x)>F(-1),所以 x>-1,故选 B.] 二、填空题 ln x 6.函数 f(x)= x 的单调递增区间是________. 1-ln x ?ln x? (0,e) [由 f′(x)=? x ?′= x2 >0(x>0), ? ? ? ?1-ln x>0, 可得? 解得 x∈(0,e).] ? x > 0 , ? 7.若函数 y=ax+sin x 在 R 上单调递增,则 a 的最小值为________. 1 [函数 y=ax+sin x 在 R 上单调递增等价于 y′=a+cos x≥0 在 R 上恒成立, 即 a≥-cos x 在 R 上恒成立,因为-1≤-cos x≤1,所以 a≥1,即 a 的最 小值为 1.] 1 8. (2017· 江苏高考)已知函数 f(x)=x3-2x+ex-ex, 其中 e 是自然对数的底数. 若 f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数 a 的取值范围是________. 1? ? ?-1,2? ? ? [因为 f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x- 1 e-x 1 =-x3+2x-ex+ex=-f(x), 1 所以 f(x)=x3-2x+ex-ex是奇函数. 因为 f(a-1)+f(2a2)≤0, 所以 f(2a2)≤-f(a-1),即 f(2a2)≤f(1-a). 因为 f′(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2 所以 f(x)在 R 上单调递增, ex· e-x=3x2≥0, 3 所以 2a2≤1-a,即 2a2+a-1≤0, 1 所以-1≤a≤2.] 三、解答题 9.已知函数 f(x)= ln x+k ex (k 为常数,e 是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 【导学号:79170067】 1 x-ln x-k [解] (1)由题意得 f′(x)= , ex 1-k 又 f′(1)= e =0,故 k=1. 1 x-ln x-1 (2)由(1)知,f′(x)= . ex 1 设 h(x)= x-ln x-1(x>0), 1 1 则 h′(x)=-x2-x <0, 即 h(x)在(0,+∞)上是减函数. 由 h(1)=0 知,当 0<x<1 时,h(x)>0,从而 f′(x)>0; 当 x>1 时,h(x)<0,从而 f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间是(1,+∞). 12 分 8分 5分 4 10.(2015· 重庆高考)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=-3处取得极值. (1)确定 a 的值;

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