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【热点重点难点专题透析】2016届高考数学二轮复习 细致讲解 第10章 高考押题中的数学能力课件 文课件 文


热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题10文

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【高考考情解读】 课标高考是强调“以能力立意”的.考查能力就是以数学知 识为载体,从问题入手,把握数学的整体意义,用统一的数学观念 组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的 应用,以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力,从 而检测出考生个体性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能, 强调的是对数学能力的考查.数学学习的目的之一就是形成一定 的数学能力,能力是运用已有的知识在反复练习的基础上形成的. 掌握基础知识是形成能力的前提;反复练习是形成能力的基础; 熟练运用是能力形成的标志.因此,解题的练习在技能的形成过 程中起着十分重要的作用.在高考复习阶段,多做一些练习是十 分必要的,通过练习,把知识转化为数学能力.高考试题对能力的

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考查,往往是综合考查,每一道题目同时考查几个能力.因此,只 要在解题时不断地积累解题经验,就会使数学能力不断提高. 【高考中的空间想象能力】 空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形,根据图形想 象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系 ; 能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示 问题的本质.其主要包括四个方面的要求:一是对基本几何图形 必须非常熟悉,能正确画图,画图是指将文字语言和符号语言转 化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换, 能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关 系;二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关 系;三是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形

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状及位置关系;四是有熟练的识图能力,即从复杂的图形中能区 分出基本图形,能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关 系.

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热点一 空间中点、线、面位置关系的判断 这类题为高考常考题型,主要考查空间中线面之间的位置关 系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力, 做到快速准确地解题. 例 1 已知 m,n 为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平 面,则下列命题中正确的是( ). A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C.若α∥β,m∥n,m∥α,则 n∥β D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

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【解析】对于选项 A,m∥α,n∥α,则 m 与 n 可以平行,可以 相交,可以异面,故 A 错;对于选项 B,由线面垂直的性质定理知,m ∥n,故 B 正确;对于选项 C,n 可以平行β,也可以在β内,故 C 错; 对于选项 D,α与β可以相交,故 D 错. 【答案】B 【点评】解决空间线面位置关系的组合判断题的两大思路: (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的 判定定理和性质定理逐项判断; (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型 中观察线面位置关系,结合有关定理,肯定或否定某些选项,并作 出选择.

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热点二 空间几何体的认识及表面积与体积的计算 涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的表面积和体积的计算 问题,要在正确理解概念的基础上,结合三视图画出符合题意的 图形或辅助线(面),分析几何体的结构特征,选择合适的公式,进 行计算.另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换 法的运用. 例 2 (2015 年重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为( ).

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A.3+π B.3+π

1

2

C.3+2π D.3+2π

1

2

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【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱 锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积 V1=3×2×2×1×1=3,半 圆柱的体积 V2=2×π×1 ×2=π,∴ V=3+π. 【答案】A
【点评】要求空间几何体的表面积与体积,首先要由三视图 还原空间几何体,同时还要由视图中标注的数字反映出空间几何 体的几何元素的数量.解题中就是要把这种数量关系找出,这就 需要空间想象能力.本题考查简单组合体的三视图的识别,对简 单组合体的三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视 图和俯视图,确定组合体的形状,再根据“长对正,宽相等,高平齐” 的法则确定组合体中的各个量.
1
2

1

1

1

1

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热点三 线线、线面、面面平行与垂直的证明 证明或探究空间中线线、 线面、 面面平行与垂直的位置关系, 一要熟练掌握所有判定定理与性质定理,梳理好几种位置关系的 常见证明方法,如证明线面平行,既可以构造线线平行,也可以构 造面面平行.而证明线线平行常用的是三角形中位线性质,或构 造平行四边形;二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思 路;三要注意表述规范,推理严谨,避免使用一些虽然正确但不能 作为推理依据的结论.

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例 3 (2015 年山东卷)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE, G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

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【解析】 (1)(法一)如图(1),连接 DG,CD,设 CD∩ GF=O,连接 OH. 在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G 为 AC 的中点, 可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形, 则 O 为 CD 的中点. 又 H 为 BC 的中点, 所以 OH∥BD.又 OH?平面 FGH,BD?平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH.

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(法二)在三棱台 DEF-ABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 BHFE 为平行四边形,可得 BE∥HF. 在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GH∥AB. 又 GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD?平面 ABED,所以 BD∥平面 FGH.

图(2)

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(2)如图(2),连接 HE,GE. 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH∥AB. 由 AB⊥BC,得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形. 所以 CF∥HE. 又 CF⊥BC,所以 HE⊥BC. 又 HE,GH?平面 EGH,HE∩GH=H, 所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC?平面 BCD,所以平面 BCD⊥平面 EGH.

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【点评】空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、 面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想 象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全导致推理片面. 解决平行与垂直问题需要一些技巧,特别需要学会化归与转化能 力的应用.

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热点四 立体几何中的折叠问题 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的 转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题 型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典 型问题,也是考查实践能力与创新能力的好素材.解答折叠问题 的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前 后哪些发生了变化,哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件 都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问 题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及多面体表面的问题,解题时 不妨将它展开成平面图形试一试.

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例 4 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好 在 CD 上.

(1)求证:BC⊥A1D; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD.

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【解析】(1)∵A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴A1O⊥平面 BCD, 又 BC?平面 BCD,∴BC⊥A1O, 又 BC⊥CO,A1O∩CO=O,∴BC⊥平面 A1CD. 又 A1D?平面 A1CD,∴BC⊥A1D. (2)∵四边形 ABCD 是矩形,∴A1D⊥A1B, 由(1)知 A1D⊥BC,A1B∩BC=B,∴A1D⊥平面 A1BC, 又 A1D?平面 A1BD,∴平面 A1BC⊥平面 A1BD. 【点评】折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如 本题,不仅要求学生像解常规立体几何综合题一样懂得线线、线 面和面面垂直的判定定理及相互转化,还要正确识别出直角三角 形 ABD 沿斜边折叠而成的空间图形,更要识别折前折后有关线线、 线面位置的关系变化情况以及有关量(边长与角)的变化情况,否 则无法正确解题.这正是折叠问题的价值之所在.

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热点五 立体几何中的“割”“补”问题 当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者 虽然几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可 采用“割”“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体 (柱、锥、 台),或化离散为集中,给解题提供便利.

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例 5 如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直, 点 O 在线段 AD 上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正 三角形. (1)证明:BC∥EF; (2)求棱锥 F-OBED 的体积.

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【解析】(1)设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以
1 OB2DE,OG=OD=2,

同理,设 G'是线段 DA 与 FC 延长线的交点,有 OG'=OD=2. 又由于 G 和 G'都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G'重合. 在△GED 和△GFD 中,由 OB2DE 和 OC2DF,可知 B 和 C 分别 是 GE 和 GF 的中点,所以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF.
1 1

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(2)由 OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知 S△EOB= 2 . 而△OED 是边长为 2 的正三角形,故 S△OED= 3. 所以 S 四边形 OBED=S△EOB+S△OED=
1 3 3 . 2 3

3

由平面 ABED⊥平面 ACFD 知,FQ 就是四棱锥 F-OBED 的高,且

FQ= 3,所以 VF-OBED=3FQ·S 四边形 OBED=2.

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【点评】(1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几 何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求 之. (2)几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将 几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成 锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义,我们 在有些情况下,可以将台体补成锥体来进行研究.

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热点六 立体几何中的探究性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否 成立,立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力, 又可以考查学生的探究能力.近几年高考中立体几何试题不断出 现一些具有探索性、开放性的试题.内容涉及平行与垂直等方面. 对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向 量法来解决.一般此类立体几何问题描述的是动态的过程,结果 具有不唯一性或者隐藏性,往往需要耐心尝试及等价转化,因此, 对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的.

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例 6 (2014 年四川卷)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.

(1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在 一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC?请证明你的结论.

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【解析】(1)因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为 AB,AC 为平面 ABC 内两条相交的直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1.

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(2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点. 由已知,O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线, 所以 MD2AC,OE2AC, 因此 MDOE. 连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四边形,则 DE∥MO. 因为直线 DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC, 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥平面
1 1

A1MC.

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【点评】对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的 探究问题,采用的方法一般是执果索因的方法,假设求解的结果 存在,寻找使这个结论成立的充分条件,运用方程的思想转化为 代数的问题解决.如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在; 如果找不到符合题目结果要求的条件,或出现了矛盾,则不存在. 解答这类问题,需要主观的意志力,不要见到此类问题先发怵,进 行消极的自我暗示,而要通过一些必要的练习,加强解题信心的 培养,确定解题的一般规律,积极深入地分析问题的特征,进而实 现顺利解答.

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【高考中的抽象概括能力】 抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性;概括 是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽 象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须 在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,在抽象概括的过程 中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中概括出一些 结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断. 例 1 (2015 年福建卷)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f'(x)满足 f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误 的是( ). A.f( )<
1 1

B.f( )>

1

1

-1

C.f(

1

-1

)<

1

-1

D.f(

1

-1

)>



-1

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【解析】令 g(x)=f(x)-kx+1,则 g(0)=f(0)+1=0,

g(

1

-1

)=f(

1

-1

)-k·

1

-1

+1=f(
1

1

-1

)-

1

-1

.

∵g'(x)=f'(x)-k>0,∴g(x)在[0,+∞)上为增函数.
又∵k>1,∴
1 1 -1 1

>0,∴g(

∴f(

-1

)-

-1

>0,即 f(

-1 1

)>g(0)=0.
1 -1

-1

)>

.

【答案】C 【点评】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中 一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问 题,设法建立目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的 单调性、最值等问题,可使问题变得简单明了.

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例 2 已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x. (1)求函数 f(x)的单调区间; 2 (2)设 g(x)=x -2x,若对任意 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2],使 得 f(x1)<g(x2),求 a 的取值范围.

1 2

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2 【解析】f'(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).

(1)f'(x)=

( -1)( -2) (x>0),

①当 a≤0 时,x>0,ax-1<0, 在区间(0,2)上,f'(x)>0;在区间(2,+∞)上,f'(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). ②当 0<a<2时, >2,
在区间(0,2)和( ,+∞)上,f'(x)>0;在区间(2, ) 上,f'(x)<0,
1 1 1 1

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1

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故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和( ,+∞),单调递减区间是
1 (2, ). 1 ( -2) ③当 a=2时,f'(x)= 2 ,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 1 1 ④当 a>2时,0< <2, 1 1 在区间(0, )和(2,+∞)上,f'(x)>0;在区间( ,2)
2

上,f'(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间是(0, )和(2,+∞),单调递减区间是 ( ,2). (2)由已知,得在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max.
1 1

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由已知,g(x)max=0,由(1)可知,

①当

1 a≤2时,f(x)在(0,2]上单调递增,

故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2, 所以-2a-2+2ln 2<0,解得 a>ln 2-1, 故 ln 2-1<a≤2.
1 1 1 ②当 a>2时,f(x)在(0, ]上单调递增,在[ ,2]上单调递减, 1 1 故 f(x)max=f( )=-2-2 -2ln a. 1 1 1 由 a> 可知 ln a>ln >ln =-1,2ln a>-2,-2ln a<2, 2 2 e 1

所以-2-2ln a<0,f(x)max<0, 综上所述,a>ln 2-1.

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【点评】本题考查应用导数研究函数的单调性、常用逻辑等 基础知识,考查逻辑思维能力、运用分类讨论的思想解决问题的 能力.第一问中导数的分子的二次函数可分解因式,要注意比较 根的大小,同时考虑根与定义域的位置关系、并结合二次函数图 象判断导数符号;第二问中正确理解特称量词与存在量词的含义, 并能进行转化是解题的关键.

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【高考中的推理论证能力】 推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成; 论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过 程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理;论证方法既包括按形 式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直接证法和 间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证 明. 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正 确数学命题,论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.“考纲” 对推理论证能力的要求既包括了原来的演绎推理(或逻辑推理), 也包括了数学发现、创造过程中的合情推理,如归纳、类比等合 情推理.说到推理论证,不仅关注的是已建立的公理体系,想

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到的逻辑推理,而且还要知道公理体系的来源.它的形成过程,从 特殊到一般的归纳过程,或者从特殊到特殊的类比过程,这是形 成命题和猜想的过程.

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例 1 (2015 年陕西卷)对二次函数 f(x)=ax +bx+c(a 为非零 整数 ),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错 .. 误的,则错误的结论是( ). A.-1 是 f(x)的零点 B.1 是 f(x)的极值点 C.3 是 f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上

2

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【解析】A 中-1 是 f(x)的零点,则有 a-b+c=0. ① B 中 1 是 f(x)的极值点,则有 b=-2a. ② C中3是
4 - 2 f(x)的极值,则有 4 =3. 3 3 9 a=-4,b=2,c=4.



D 中点(2,8)在曲线 y=f(x)上,则有 4a+2b+c=8. ④ 联立①②③解得 联立②③④解得 a=5,b=-10,c=8,从而可判断 A 错误,故选 A. 【答案】A

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【点评】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数 的极值,考查学生的逻辑推理能力、观察能力.若直接假设,会有 验算四次的可能,这在高考中时间上是不允许的.解题时一定要 抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”,否则很容易出现错 误.解推断结论的试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推 导论证,也可利用特殊值进行检验,或用合情推理求解.

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例 2 (2015 年广东卷)若空间中 n 个不同的点两两距离都相 等,则正整数 n 的取值( ). A.至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5

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【解析】n=3 时,为正三角形,可以;n=4 时,为正四面体,可 以;n=5 时,为四棱锥,侧面为正三角形,底面为菱形且对角线长与 边长相等,不可能.故选 B. 【答案】B 【点评】本题主要考查学生的空间想象能力,推理求解能力 和含有量词命题真假的判断,此题属于中高档题.如果直接正面 解答比较困难,考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累 的平面几何、空间几何知识进行排除,则不难得出正确答案 B,由 于 n=3 时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的,从而可以 排除 C、D,又当 n=4 时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相 等的从而可以排除 A.

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例 3 (2015 年新课标全国Ⅱ卷)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

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【解析】(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示.

(2)如图,作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH= 2 -E2 =6,AH=10,HB=6.
1 故四边形 EHA =2(4+10)×8=56, 1

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四边形

= (12+6)×8=72. 1 BH 2
9 7 7 9

1

因为长方体被平面α分成两个高为 10 的直棱柱, 所以其体积的比值为 ( 也正确). 【点评】立体几何的命题主要是考查学生的空间观念和空间 想象能力,对空间关系、几何体的体积的计算,文科学生一般不能 应用空间坐标和向量这一工具来进行求解,而是要依靠性质、定 理和相关公式来计算和证明,并注意与推理论证相结合.

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【高考中的运算求解能力】 运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数 据处理;能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径; 能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数 字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几 何图形和几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探 究运算方向、 选择运算公式、 确定运算程序等过程中的思维能力, 也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. 高考大纲对运算求解能力的要求是比较高的,有三个层次的 要求:第一层次是“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数 据处理”,即运算的正确性;第二层次是“能根据问题的条件,寻

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求与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和 近似计算”,即运算的合理性和迅速性;第三层次是“运算求解能 力是思维能力和运算技能的结合”,即运算的思维性.高考中暴露 最多的问题是计算不准,事实上,造成计算不准的原因,首先是在 思想意识上,很多考生在复习时,都不重视计算求解能力的训练, 往往只注意解题思路,认为只要思路对了,计算不成问题,出现错 误也是认为计算出错是自己会做,只是粗心大意,有的同学认为 只需细心,就能解决问题,但常常事与愿违.这些错误认识,成为 加强训练、提高运算能力的思想障碍.因此,首先要从思想上提高 认识,运算的准确、合理和熟练是数学能力高低的重要标志,平时 就要多下功夫,经过反复训练才能提高水平;要养成思维严谨,步 骤完整的解题习惯,要形成不但会求,而且求对、求好的 解题标准,只有全方位的“综合治理”,才能在坚实的基础上形成 运算能力,解决计算不准的弊病.

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例 1 (2015 年新课标全国Ⅱ卷)设函数 1 + log 2 (2-x),x < 1, f(x)= 则 f(-2)+f(log212)=( 2 -1 ,x ≥ 1, A.3 B.6 C.9 D.12 ).

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专题10文

【解析】∵-2<1,∴f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.

∵log212>1,∴f(log212)=2lo g 2 12 -1 = 2 =6. ∴f(-2)+f(log212)=3+6=9.故选 C.
【答案】C
【点评】本题是一个涉及指数、对数和分段函数的综合题, 考查分段函数求值,要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对 数运算法则,考查面很广,但运算难度不大,需要考生熟知基本的 概念、性质和运算.

12

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专题10文

例 2 (2014 年广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项 2 和为 Sn,且 Sn 满足 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有
1 1 1 1 + + … + < . ( +1 ) ( +1 ) ( +1 ) 3 1 1 2 2

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专题10文

【解析】(1)令 n=1 代入得 a1=2(负值舍去). 2 (2)由 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*得[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0. 2 又已知各项均为正数,故 Sn=n +n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 当 n=1 时,a1=2 也满足上式, 所以 an=2n,n∈N*. (3)k∈N*,4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0,∴ 4k2+2k≥ 3k2+3k,



1 1 1 1 = = ≤ ( +1) 2 (2 +1) 4 2 +2k 3 2 +3k 1

=3( - +1). ∴
1 1 1 + + … + 1 ( 1 +1) 2 ( 2 +1) ( +1)

1 1

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专题10文

1 1 1 1 1 1 1 ≤ ( - + - +…+ - ) 3 1 2 2 3 +1 1 1 1 =3(1- +1)<3.

∴ 不等式成立.
【点评】本题主要考查的知识点有前 n 项和、通项公式、裂 项求和及不等式放缩等,同时考查转化与化归思想的应用和运算 求解能力.给出关于 Sn 和 an 的等式时,解题的基本思路就是化繁为 简,找到 an 与 an-1 或 Sn 与 Sn-1 的关系式,本题的突破口是对 2 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0 分解因式,得到 Sn=n2+n,否则,后续解题 就不好展开了.

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专题10文

例 3 已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与 圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求直线 l 的方程及△POM 的面积.

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专题10文

【解析】(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4. 设 M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由题设知·=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1) +(y-3) =2. 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是 (x-1)2+(y-3)2=2.
2 2

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专题10文

(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上, 从而 ON⊥PM. 因为直线 ON 的斜率为 3,所以直线 l 的斜率为- ,故直线 l 的 方程为 x+3y-8=0.又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为
4 10 ,所以 5 16 的面积为 . 5 1 3

|PM|=

4 10 1 4 10 4 10 16 ,S△POM= × × 5 = 5 ,故△POM 5 2 5

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专题10文

【点评】求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和 圆的半径,这实际上是三个独立的条件,只有根据已知把三个独 立条件找出才可能通过解方程(组)的方法确定圆心坐标和圆的 半径,其中列条件和解方程(组)都要注意其准确性.直线被圆所 截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题,是直线与圆的位置关 系的一个衍生问题.解决的方法,一是根据平面几何知识结合坐 标的方法,把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示;二是根 据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决.

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专题10文

【高考中的数据处理能力】 数据处理能力:会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽 取对研究问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依据 统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的 实际问题. 例 1 右图是根据某省统计年鉴中的资料 做成的 2006 年至 2015 年该省城镇居民百户家 庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右 分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字 和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数 字,从图中可以得到 2006 年至 2015 年该省城镇居民百户家庭人 口数的平均数为

.

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专题10文

【解析】10 个数据都减去 300,再计算平均数,故所求平均数 为 300+
-9-9-5-2+2+6+10+12+14+17 =303.6. 10

【答案】303.6 【点评】由于数据过大,直接计算容易引起计算错误,故要学 会像解析中介绍的方法那样尽量简化计算,同时要理解茎叶图的 特点,能够从茎叶图获取原始数据.

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专题10文

例 2 2014 年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房 贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款 的情况统计如图所示: (1)求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差; (2)求在本周内一位购房者贷款年限不超过 20 年的概率; (3)求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩 近似整数值).

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专题10文

【解析】 (1)贷款年限依次为 10,15,20,25,30,其平均值 =20.

s

2

(10 -20 ) +(15 -20 ) +(20 -20 ) +(25 -20 ) +(30 -20 ) = 5 10 10 25 9 80 80 80 16

2

2

2

2

2

=50,所以标准差 s=5 2 .
(2)所求概率 P=P1+P2+P3= + + = . (3)平均年限 n=
10×10+10×15+20×25+25×20+15×30 ≈22 80

年.

【点评】本题考查统计图的简单应用,考查平均数、方差、 概率等知识,考查数据的分析、处理能力和运算能力.

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专题10文

【高考中的应用意识】 应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题, 包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问 题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将 实际问题抽象为数学问题;能应用相关的数学方法解决问题进而 加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程 是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化 为数学问题,构造数学模型,并加以解决. 例 1 制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要 考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预 测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%、50%,可能的最大 亏损率分别为 30%、10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万 元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙 两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

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专题10文

【解析】设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项 目,由题意知 + ≤ 10, 0.3 + 0.1 ≤ 1.8, ≥ 0, ≥ 0, 目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界) 即为可行域.

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专题10文

将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为-2 随 z 变化的一 组平行线,当直线 y=-2x+2z 经过可行域内的点 M 时,直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距 2z 最大,z 也最大. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点. + = 10, = 4, 解方程组 得 0.3 + 0.1 = 1.8, = 6, 此时 z=4+0.5×6=7(万元). 所以当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、 6 万元投资乙项目,才能在 确保亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大. 【点评】线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意, 找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出 所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题,再按求最优解 的步骤解决.

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专题10文

例 2 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在今年举行促 销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与 年促销费用 t(t≥0)万元满足 x=4-2 +1(k 为常数).如果不搞促销 活动,则该产品的年销量只能是 1 万件.已知今年生产该产品的固 定投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元,厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成 本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家今年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数. (2)该厂家今年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最 大?


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专题10文

【解析】(1)由题意得 1=4- ,得 k=3,故 x=46+12 ×x-(6+12x)-t 3 18 =3+6x-t=3+6(4-2 +1)-t=27-2 +1-t(t≥0).

1

3 . 2 +1

所以 y=1.5×

(2)由(1)知

18 9 1 y=27-2 +1-t=27.5-[ 1+(t+2)]. +
2

1 由基本不等式 1+(t+ )≥2 2 +
2

9

9 +
1 2

·(t +

1 )=6, 2

当且仅当

9

+

1 =t+ ,即 t=2.5 时,等号成立, 2 2

1

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专题10文

故 y=27.5-[

9

+

1 +(t+ )]≤27.5-6=21.5. 2 2

1

即 t=2.5 时,y 有最大值 21.5.所以该厂家今年的年促销费用 投入 2.5 万元时,利润最大,最大利润为 21.5 万元. 【点评】有关函数最值的实际问题的解题技巧:(1)根据实际 问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最 值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函 数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范 围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用 函数的单调性求解.

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专题10文

【高考中的创新意识】 创新意识:能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的 数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立 的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题. 在命题中创设新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数 学问题,从定义型、多样型、发散型、研究型、探索型、开放型 入手设计试题是近年命题创新的整体趋势,因此必须引起我们的 重视,但对于考生来说,有些题目存在一定难度,解决此类问题要 依据题目所给条件或提供的信息,结合所学知识选择合适的方法 求解.

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专题10文

例 1 (2015 年新课标全国Ⅰ卷) 《九章 算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周 八尺,高五尺.问:积及为米几何?” 其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个 圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米 各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3, 估算出堆放的米约有( ). A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

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专题10文

【解析】设米堆的底面半径为 r
1 4 1 3 π 12

π 尺,则 2 r=8,所以 16 π

r= ,所以
π

16

米堆的体积为 V= × π·r2·5= ×( )2×5≈ 放的米约有
320 ÷1.62≈22(斛). 9

320 (立方尺).故堆 9

【答案】B 【点评】本题以《九章算术》中的问题为材料,试题背景新 颖创新,解答的关键是应想到米堆是4圆锥,底面弧长是4圆的周长, 根据题中条件列出关于底面半径的方程,解出底面半径.
1 1

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专题10文

例 2 (2015 年陕西卷)设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z| ≤1,则 y≥x 的概率为( ).
3 1 4 2π 1 1 B. + 2 π 1 1 C. 2 π 1 1 D.42π

A. +

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专题10文

【解析】|z|= (-1) + 2 ≤1,即(x-1) +y ≤1,表示的是圆
2 2

2

及其内部,如图所示.当|z|≤1 时,y≥x 表示的是图中阴影部分, 其面积为 S= π×1 - ×1×1=
1 4
2

1 2

π-2 . 4
π-2 4

又圆的面积为π,根据几何概型公式得概率 P= 【答案】D

1 1 = - . π 4 2π

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专题10文

【点评】本题主要考查的是复数的基本概念与知识,并与几 何概型相结合,具备一定的创新性.解几何概型的试题,一般先求 出试验的基本事件构成的区域长度(面积或体积),再求出事件 A 构成的区域长度(面积或体积),最后代入几何概型的概率公式即 可.

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专题10文

一、选择题 1.当
π 0<x< 4 时,函数 1 1

f(x)=

co s 2 x

cos sin -sin 2 x

的最小值是(

).

A.4 B.2

C.2

D.4

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专题10文

【解析】当 0<x< 4 时,0<tan x<1,

π

f(x)=

co s 2 x

设 t=tan x,则 0<t<1,y=

cos sin -sin 2 x tan -tan 2 x 1 -

=

1

.
1 (1- )

= 2



1

+1 - 2 ( ) 2

=4,当且仅当

t=1-t,即

1 t=2时,等号成立.

故函数 f(x)的最小值为 4. 【答案】D

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专题10文

2.已知数列{an}满足 an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,记 Sn=a1+a2+… +an,则下列结论正确的是( ). A.a2015=-1,S2015=2 B.a2015=-3,S2015=5 C.a2015=-3,S2015=2 D.a2015=-1,S2015=5

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专题10文

【解析】由 an+1=an-an-1(n≥2),知 an+2=an+1-an,则 an+2=-an-1(n≥ 2),an+3=-an,…,an+6=an.又 a1=1,a2=3,a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,所以 当 k∈N 时,ak+1+ak+2+ak+3+ak+4+ak+5+ak+6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以 a2015=a5=-3,S2015=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+2+(-1)+(-3)=2. 【答案】C

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专题10文

3.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =3,a+b=2 ( ). A.2
3 B. 2 1 D. 2

x

y

1 1 3,则 + 的最大值为

C.1

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专题10文

【解析】由 a =b =3,得 x=loga3,y=logb3, 则 + =lo g 3+lo g 3=


x

y

1 1

1

1

又 a>1,b>1,所以 从而 + ≤
1 1

lg +lg lg = lg 3 . lg 3 + ab≤( 2 )2=3,所以

lg ab≤lg 3,

lg 3 =1,当且仅当 lg 3

a=b= 3时,等号成立.

【答案】C

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专题10文

4.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f'(x)>1, x x 则不等式 e ·f(x)>e +1 的解集为( ). A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<-1 或 x>1} D.{x|x<-1 或 0<x<1}

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专题10文

【解析】构造函数 g(x)=ex·f(x)-ex.因为 g'(x)=ex·f(x)+ex·f'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)]-ex>ex-ex=0,所以 g(x)=ex· f(x)-ex 是 R 上的增函数.因为 g(0)=e0· f(0)-e0=1,所以 原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0. 【答案】A

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专题10文

5.下图是函数 f(x)=x +ax+b 的图象,则函数 g(x)=ln x+f'(x)的 零点所在区间是( ).

2

1 1 A.(4,2)

B.(1,2) C.(2,1) D.(2,3)
1

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专题10文

【解析】由函数 f(x)的图象知 0<b<1,f(1)=0,从而 -2<a<-1,g(x)=ln x+2x+a,g(x)在定义域内单调递
1 1 1 增,g(2)=ln2+1+a<0,g(1)=2+a>0,g(2)·g(1)<0,故选

C.

【答案】C

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专题10文

6.已知函数 f(x)=ax +bx+c 且 a>b>c,a+b+c=0,集合 A={m|f(m)<0}, 则( ). A.?m∈A,都有 f(m+3)>0 B.?m∈A,都有 f(m+3)<0 C.?m0∈A,使得 f(m0+3)=0 D.?m0∈A,使得 f(m0+3)<0

2

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专题10文

【解析】由 a>b>c,a+b+c=0 可知 a>0,c<0, 且 f(1)=0,f(0)=c<0, 即 1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根. 由 a>b,得 1> , 设方程 ax2+bx+c=0 的另一个根为 x1, 则 x1+1=- >-1,即 x1>-2, 又 1·x1= <0,所以-2<x1<0. 由 f(m)<0 可得-2<m<1, 所以 1<m+3<4,
由抛物线的图象(图略)可知,f(m+3)>0,故选 A. 【答案】A


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专题10文

3-5 + 6 ≥ 0, 7.若实数 x,y 满足条件 2 + 3-15 ≤ 0,当且仅当 x=y=3 ≥ 0, 时,z=ax+y 取最大值,则实数 a 的取值范围是( A.(-3,5)
3 2 B.(-∞,- )∪( ,+∞) 5 3 3 2 C.(- , ) 5 3 2 3 D.(-∞,-3)∪(5,+∞) 2 3

).

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专题10文

3-5 + 6 ≥ 0, 【解析】不等式组 2 + 3-15 ≤ 0,所围成的平面区域如图, ≥ 0,

因为目标函数 z=ax+y,仅在(3,3)处取得最大值,则直线

y=-ax+z 的斜率 k=-a 需满足-a<5,且-a>-3,即-5<a<3.
【答案】C

3

2

3

2

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专题10文

8.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱 与长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是( ). A.(0, 2) B.(0, 3) C.(1, 2) D.(1, 3)

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专题10文

【解析】此题相当于把一个正方形沿着对角线折成一个四面 体,长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 2.故选 A. 【答案】A

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专题10文

9.已知 1 +2 +…+n =

2

2

2

( +1)(2 +1) ,数列{an}的通项 6

an=n (cos

2

2 π

3

-sin

2 π

3

),其前 n 项和为 Sn,则 S30 为(

).

A.470 B.490 C.495 D.510

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专题10文

【解析】an=n2(cos2 当 n=3k+1 当 n=3k+2

π 2 π 2 π 2 sin ) =n · cos . 3 3 3

当 n=3k 时,a3k=(3k)2=9k2;
2π 1 时,a3k+1=(3k+1) ·cos =- (3k+1)2; 3 2 4π 1 2 2 时,a3k+2=(3k+2) ·cos 3 =-2(3k+2) ;
2

所以 S30=(a3+a6+a9+…+a30)+(a1+a4+a7+…+a28)+(a2+a5+a8+…

+a29)=(32+62+92+…+302)-2(12+42+72+…+282)-2(22+52+82+… +29
2

1

1

3 2 2 2 1 2 2 2 2 )= (3 +6 +9 +…+30 )- (1 +2 +3 +…+282+292+302) 2 2 3 1 30×31× (2×30+1) 2 2 2 2 2 =2×3 (1 +2 +3 +…+10 )-2× 6 27 10×11× (2×10+1) 5×31×61 =2× - 2 6 27×55×7-5×31×61 = =470,故选 A. 2

【答案】A

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专题10文

二、填空题 10.在△ABC 中,有 sin A=2sin Bcos C,a,b,c 分别是角 A,B,C 的 对边,且满足
+ + 3 = ,则△ABC 的形状为 + -

三角形.(填 “等

腰”“等边”“等腰直角”)

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专题10文

【解析】由正弦定理和余弦定理 sin A=2sin Bcos C 变形为
2 2 + 2 - 2 = · 2 ,化简得 2 2

b=c,代入

+ + 3 = ,化简得 + -

a=c,所以该三

角形是等边三角形. 【答案】等边

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专题10文

≤ + 1, 11.设 x,y 满足约束条件 ≥ 2-1, 若目标函数 ≥ 0, ≥ 0,

z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为 35,则 a+b 的最小值为

.

热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题10文

【解析】可行域如图所示,当直线 abx+y=z(a>0,b>0)过点 B(2,3)时,z 取最大值 2ab+3,于是有 2ab+3=35,ab=16,所以 a+b ≥2 =2 16=8,当且仅当 a=b=4 时等号成立,所以(a+b)min=8.

【答案】8

热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题10文

12.有一个奇数组成的数阵排列如下: 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 则第 30 行从左到右第 3 个数是

.

热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题10文

【解析】观察每 1 行的第 1 个数,由归纳推理可得第 30 行从 左到右的第 1 个数是
30× (2+60 ) 1+4+6+8+10+…+60= -1=929.又第 2

n

行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n,第 3 个数比第 2 个数大 2n+2,所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60,第 3 个 数比第 2 个数大 62,故第 30 行从左到右第 3 个数是 929+60+62=1051. 【答案】1051

热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题10文

三、解答题 13.某旅游景点预计 2016 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足

p(x)=2x·(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均
消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 35-2(∈N* ,且 1 ≤ ≤ 6),
160 (x∈N * ,且

1

q(x)=

7 ≤ ≤ 12).

(1)写出 2016 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数 关系式. (2)试问 2016 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总 额为多少元?

热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题10文

【解析】(1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37. 当 2≤x≤12,且 x∈N*时, f(x)=p(x)-p(x-1)

=2x(x+1)(39-2x)-2(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,
验证 x=1 也满足此式, 所以 f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12). (2)第 x 个月旅游消费总额为

1

1

g(x)=

(-3 2 + 40x)(35-2x)(x∈N * ,且 1 ≤ ≤ 6), (-3 2 + 40x)
160 (x∈N * ,且

7 ≤ ≤ 12),

热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题10文

即 g(x)=

6 3 -185 2 + 1400x(x∈N * ,且 1 ≤ ≤ 6), -480 + 6400(∈N* ,且 7 ≤ ≤ 12).
140 (舍去). 9

①当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g'(x)=18x2-370x+1400,
令 g'(x)=0,解得 x=5 或 x= 当 1≤x<5 时,g'(x)>0, 当 5<x≤6 时,g'(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3125(万元). ②当 7≤x≤12,且 x∈N*时,g(x)=-480x+6400 是减函数,∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3040(万元). 综上,2016 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额 为 3125 万元.


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