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河南省商丘市2017届高三第三次模拟考试文科数学试题含答案

商丘市 2017 年高三第三次模拟考试 数学(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? ?x | x(x ?1) ? 2?,且 A B ? A ,则集合 B 可能是( )

A. ??1, 2?

B.?0,1?

C. ??1, 0?

D.?0, 2?

2.设 i 是虚数单位,复数 z ? 2i3 ,则复数 z 的共轭复数为( ) 1?i

A. ?1? i

B. ?1? i

C.1? i

D.1? i

? ? 3.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S6 ? 24 , S9 ? 63 ,则 a4 ? ( )

A.4

B.5

C.6

D.7

4.已知命题 p :对任意 x ? R ,总有 2x ? x2 ; q :“ ab ? 4 ”是“ a ? 2 , b ? 2 ”的充分

不必要条件,则下列命题为真命题的是( )

A. p ? q

B. ?p ? q

C. p ? ?q

D. ?p ? ?q

5.甲在微信群中发布 6 元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数

元,且每人至少领到 1 元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数不少于其他任何人)的

概率是( )

A. 1 3

B. 3 10

C. 2 5

D. 3 4

6.设点

P

是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? 0 ,b ? 0 )与圆 x2

?

y2

?

a2

? b2 在第一象限的交点,

F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,且| PF1 |? 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率为( )

A. 5 2

B. 5

C. 10 2

D. 10

7.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器——商鞅

铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若? 取 3,其体积为 12.6(立方寸),则图中的 x

值为( )

A.1.2

B.2.4

C.1.8

D.1.6

?x ? 2,

8.不等式组

? ?

x

?

y

?

6,

所表示的平面区域为 ? ,若直线 ax ? y ? a ?1 ? 0 与 ? 有公共点,

??x ? 2 y ? 0,

则实数 a 的最小值为( )

A. ? 1 3

B. 1

C. 1

D.1

5

4

9.函数 f (x) ? 1 ? ln | x | 的图象大致是( ) x

10.给出 40 个数:1,2,4,7,11,16,…,要计算这 40 个数的和,如图给出了该问题的程序框 图,那么框图①处和执行框②处可分别填入( )

A. i ? 40?; p ? p ? i ?1

B. i ? 41?; p ? p ? i ?1

C. i ? 41?; p ? p ? i

D. i ? 40?; p ? p ? i

11.已知函数 f (x) ? Asin(?x ??) ? B( A ? 0 ,? ? 0 ,| ? |? ? )的部分图象如图所示,
2 将函数 f (x) 的图象向左平移 m( m ? 0 )个单位后,得到的图象关于点 (? , ?1) 对称,则 m
6
的最小值是( )

A. ? 6

B. ? 3

C. 5? 6

D. 2? 3

12.已知函数

f

(x)

?

??x2 ? 2x ? 3, ? ?ln x, x ? 1,

x

? 1, 若关于

x

的方程

f

(x)

?

kx

?

1 2

恰有四个不相等的

实数根,则实数 k 的取值范围是( )

A. (1 , e) 2

B.[1 , e) 2

C. (1 , e ) 2e

D. (1 , e ] 2e

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.抛物线 y ? 3x2 的焦点坐标为



14.已知向量 a , b ,其中| a |? 1,| b |? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则| a ? 2b |?



15.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的四个顶点坐标分别是 (0, 0, 0) , (0,3,1) ,

(2,3, 0) , (2, 0,1) ,则它的外接球的表面积为



? ? ? ? 16.设数列

an

是等比数列,公比 q ? 2 , Sn 为

an

的前 n

项和,记 Tn

?

9Sn ? S2n an?1

( n ? N *),则数列?Tn?最大项的值为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

17.已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,若 5b ? 4c , B ? 2C . (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 c ? 5 ,点 D 为边 BC 上一点,且 BD ? 6 ,求 ?ADC 的面积.
18.某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,该协会分别到气 象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到 如图所示的频率分布直方图.该协会确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩 下的 4 组数据求线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验.

(Ⅰ)已知选取的是 1 月至 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出就诊人数 y 关

于昼夜温差 x 的线性回归方程;
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问(Ⅰ)中该协会所得线性回归方程是否理想?

参考公式:回归直线的方程 y ? bx ? a ,

n

n

? ? (xi ? x)( yi ? y)

xi yi ? nx y

其中 b ? i?1 n
? (xi ? x)2

? ? i?1 n

xi2

?

2
nx

, a ? y ?bx .

i ?1

i ?1

19.四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,AD ? AA1 ? A1D ? 2 ,H 为 AD

中点,且 A1H ? BD .

(Ⅰ)证明: AB ? AA1 ;
(Ⅱ)求点 C 到平面 A1BD 的距离.
20.在平面直角坐标系 xOy 中, A , B 两点的坐标分别为 (?2, 0) , (2, 0) ,动点 P 满足: 直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 ? 3 .
4 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 A 作两条互相垂直的直线 l1 ,l2 分别交曲线 E 于 M , N 两点,设 l1 的斜率为 k ( k ? 0 ), ?AMN 的面积为 S ,求 S 的取值范围.
k 21.已知函数 f (x) ? (x ? 2) ln x ? 2x ? 3 ( x ?1).
(Ⅰ)试判断函数 f (x) 的零点个数;

(Ⅱ)若函数 g(x) ? (x ? a) ln x ? a(x ?1) 在[1, ??) 上为增函数,求整数 a 的最大值. x
(可能要用的数据: ln1.59 ? 0.46, ln1.60 ? 0.47, 400 ? 9.76 ) 41
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修 4-4:坐标系与参数方程

已知直线 l : ? sin(? ? ? ) ? 3

3 2

m

,曲线 C



?? x ? ?? y

?1? ?3

3 cos? sin ?

(?

为参数).

(Ⅰ)当 m ? 3 时,判断直线 l 与曲线 C 的位置关系;

(Ⅱ)若曲线 C 上存在到直线 l 的距离等于 3 的点,求实数 m 的范围. 2
23.选修 4-5:不等式选讲
设函数 f (x) ?| x ? 2 | ? | x ?1| .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小值及取得最小值时 x 的取值范围;

(Ⅱ)若集合?x | f (x) ? ax ?1 ? 0? ? R ,求实数 a 的取值范围.

商丘市 2017 年高三第三次模拟考试数学(文科)答案

一、选择题

1-5: BDBDC 二、填空题 13. (0, 1 )
12 三、解答题

6-10: CDBBD

11、12: AC

14. 21

15.14?

16. 3

17.解:(Ⅰ)由题意 B ? 2C ,则 sin B ? sin 2C ? 2sin C cosC ,

又 5b ? 4c ,所以 cos C ? sin B ? b ? 2 5 , 2sin C 2c 5
所以 cos B ? cos 2C ? 2cos2 C ?1 ? 3 . 5
(Ⅱ)因为 c ? 5 , 5b ? 4c ,所以 b ? 4 5 , 由余弦定理得, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,则 80 ? a2 ? 25 ? 2?5? 3 ? a
5 化简得, a2 ? 6a ? 55 ? 0 ,解得 a ?11,或 a ? ?5(舍去),
由 BD ? 6得, CD ? 5 ,

由 cos C ? 2 5 ,得 sin C ? 1? cos2 C ? 5 ,

5

5

所以 ?ADC 的面积 S ? 1 DC ? AC ?sin C ? 1 ? 5? 4 5 ? 5 ? 10 .

2

2

5

18.解:(Ⅰ)由数据求得 x ? 11?13 ?12 ? 8 ?11 ,y ? 25 ? 29 ? 26 ?16 ? 24 ,

4

4

4
?(xi ? x)( yi ? y) ? (11?11) ?1? (13 ?11) ? 5 ? (12 ?11) ? 2 ? (8 ?11) ? (?8) ? 36 ,
i ?1
4
?(xi ? x )2 ? 02 ? 22 ? 12 ? (?3)2 ? 14 ,
i ?1

n

? ? 由公式求得 b? ?

( xi
i ?1 n

? x)( yi ? (xi ? x )2

y)

? 18 7



i ?1

所以 a ? y ? b?x ? ? 30 , 7

所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 18 x ? 30 . 77

(Ⅱ)当 x ?10 时, y ? 150 , 150 ? 22 ? 2 ;

7

7

同样,当 x ? 6 时, y ? 78 , 78 ?12 ? 2 . 77

所以,该协会所得线性回归方程是理想的.

19.(Ⅰ)证明:等边 ?A1AD 中, H 为 AD 中点,∴ A1H ? AD ,

又 A1H ? BD ,且 AD? BD ? D , ∴ A1H ? 面ABCD ,∴ A1H ? AB ,

在正方形 ABCD中, AD ? AB, A1H ? AD ? H ∴ AB ? 面ADD1A1

∴ AB ? AA1 .

(Ⅱ)解: ?A1BD 中, A1D ? 2, BD ? 2 2, A1B ? 2 2 ,?S?A1BD ? 7 由 (Ⅰ)知, A1H ? 面ABCD

V ∴ A1 ?BCD

?

1 3 SBCD

?

A1H

?

23 3



等体积法可得VC? A1BD

?

1 3 S A1BD

?d

?

1 3

7?d ? 2 3 , 3

点C

到平面

A1BD

的距离为 d

?

2

21 7



20.解: (Ⅰ)已知 A??2,0?, B?2,0? ,设动点 P 的坐标 ? x, y? ,

所以直线 PA 的斜率 k1

?

y x?

2

(x

?

?2) ,直线 PB 的斜率 k2

?

x

y ?2

(x

?

2 ),



k1

? k2

?

?

3 4

,所以

x

y ?

2

?

x

y ?

2

?

?

3 4



即 x2 ? y2 ? 1 ? x ? ?2? .
43

(Ⅱ)设 M

点坐标为 (x0 ,

y0 ) ,直线 l1 的方程为

y

? k(x ? 2) ,代入

x2 4

?

y2 3

?1,

可得, (3 ? 4k 2 )x2 ?16k 2 x ?16k 2 ?12 ? 0 ,

x0

? (?2)

?

16k 2 ?12 3 ? 4k 2

,所以

x0

?

6 ? 8k 2 3 ? 4k 2

所以| AM |?

1?

k2

6 ? 8k 2 (3 ? 4k2

?

2)

?

1? k2

12 3 ? 4k2



同理| AN |? 1? 1 12k 2 , k 2 3k 2 ? 4

所以 S ? 1 | AM | ? | AN |? 1 ?

2

2

1? k2

12 3 ? 4k 2

?

1 12k 2 1? k 2 3k 2 ? 4 ,

S

72(k 2 ?1)

k ? (3k 2 ? 4)(4k 2 ? 3) ,

令 t ? k 2 ?1, (t ? 1)

S

72(k 2 ?1)

?

?

72t

? 72 ,

k (3k 2 ? 4)(4k 2 ? 3) (4t ?1)(3t ?1) 12t ?1? 1

t

令 h(t) ? 12t ?1? 1 , t ? 1, h?(t) ? 12 ? 1 ? 0 , h(t) 单调递增, h(t) ? h(1) ? 12

t

t2

所以 S ? (0, 6) . k

21.解:(Ⅰ) f ' (x) ? (x ? 2)' ln x ? (x ? 2)(ln x)' ? 2 ? ln x ? 2 ? 3 在[1,??) 上为增函数, x
且 f ' (x) ? f ' (1) ? 1,故 f (x) ? (x ? 2) ln x ? 2x ? 3 在[1, ??) 上为增函数,

又 f (1) ? 0 ? 2 ? 3 ? ?1 ? 0 , f (2) ? 0 ? 4 ? 3 ?1 ? 0 ,

则函数 f (x) 在[1, ??) 上有唯一零点. (Ⅱ) g' (x) ? ln x ?1? a ? a ? 0 在[1, ??) 上恒成立,
x x2 当 x ?1时显然成立,
当 x ?1时,可得 a ? x2 (ln x ?1) 在 (1, ??) 上恒成立, x ?1

令 h(x)

?

x2 (ln x ?1) x ?1

,则 a

?

h( x) min

, x ? (1, ??) ,

h' ( x)

?

x(2 ln

x ? 3)(x ?1) ? (x ?1)2

x2 (ln

x

? 1)

?

x[( x

? 2) ln x ? (x ?1)2

2x ? 3] ,

由(Ⅰ)可知: f (x) ? (x ? 2) ln x ? 2x ? 3 在[1, ??) 上为增函数,故 f (x) 在[1, ??) 上有

唯一零点 m , 则 x ? (1, m) ? h' (x) ? 0 ? h(x) 在区间 (1, m]上为减函数,

x ? (m, ??) ? h' (x) ? 0 ? h(x) 在区间[m, ??) 上为增函数,



x

?

m

时, h(x)

有最小值, h(x)min

?

h(m)

?

m2 (ln m ?1) m ?1

.

又 f (1.60) ? ?0.40? ln1.60 ? 0.20 ? 0.012 ? 0 ,

f (1.59) ? ?0.41? ln1.59 ? 0,18 ? ?0.0086 ? 0 ,

则 m ?(1.59,1.60) , 有 f (m) ? (m ? 2) ln m ? 2m ? 3 ? 0 ? ln m ? 2m ? 3 ,
2?m 所以 h(m) ? m2 (ln m ?1) ? m2 , m ?(1.59,1.60) ,
m ?1 2? m 令 2 ? m ? t ?(0.4, 0.41) ,则 h(x) 最小值

h(m) ? m2 ? (2 ? t)2 ? t ? 4 ? 4 ? ( 41 ? 236 , 32) ,

2?m t

t

100 41 5

因 41 ? 236 ? 6.17, 32 ? 6.4,则 h(x) 的最小值大约在 6.17 6.4 之间,

100 41

5

故整数 a 的最大值为 6.

22. 解 :( Ⅰ ) 当 m ? 3 时 , 直 线 l : ? sin(? ? ? ) ? 3 3 , 展 开 可 得 : 32

?(1 sin? + 3 cos? ) ? 3 3 ,

2

2

2

化为直角坐标方程: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ,

曲线

C:

?? ?

x

?

1

?

3 cos?


?? y ? 3 sin?

利用平方关系化为: (x ?1)2 ? y2 ? 3.

圆心 C(1, 0) 到直线 l 的距离 d ? | 3 ? 3 3 | ? 3 ? r , 2
因此直线 l 与曲线 C 相切.

(Ⅱ)∵ 曲线 C 上存在到直线 l 的距离等于 3 的点, 2

∴ 圆心 C(1,0) 到直线 l 的距离 d ?

3 ? 3m ? 3?

3,

2

2

解得 ?2 ? m ? 4 .∴实数 m 的范围是[?2, 4] .

23.解:(Ⅰ)∵ 函数 f (x) ? x ? 2 ? x ?1 ? x ? 2? (x ?1) ? 3 ,

当且仅当 (x ? 2)(x ?1) ? 0 ,即 ?2 ? x ?1时

函数 f (x) 的最小值为 3 .

? ?2x ?1, x ? ?2,

(Ⅱ)函数

f (x)

?

x?2

?

x ?1

?

? ?

3,

? 2 ? x ? 1,

??2x ?1, x ? 1.

而函数 y ? ?ax ?1 表示过点 (0,1) ,斜率为 ?a 的一条直线,

如图所示:当直线 y ? ?ax ?1 过点 A(1,3) 时, 3 ? ?a ?1,∴ a ? ?2 , 当直线 y ? ?ax ?1 过点 B(?2,3) 时, 3 ? 2a ?1,∴ a ?1,
? ? 故当集合 x f (x) ? ax ?1 ? 0 ? R ,函数 f (x) ? ?ax ?1 恒成立,

即 f (x) 的图象恒位于直线 y ? ?ax ?1 的上方, 数形结合可得要求的 a 的范围为 (?2,1) .


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