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高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件_图文

第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其 中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工 具,三角恒等变换是利用三角恒等式 ( 两角和与差、二倍角 的正弦、余弦、正切公式 ) 进行变换,“角 ” 的变换是三角 恒等变换的核心;2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题 是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的 范围问题. 真题感悟 1.(2016· 全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, 2 b,c.已知 a= 5,c=2,cos A=3,则 b=( A. 2 B. 3 C.2 2 2 ) D.3 2 解析 由余弦定理,得 5=b +2 -2×b×2× ,解得 b 3 ? ? 1 =3?b=-3舍去?,故选 D. ? ? 答案 D 2.(2016· 全国Ⅰ卷)已知 θ 是第四象限角, 且 则 ? π? tan?θ-4?=________. ? ? ? π? 3 sin?θ+4?= , ? ? 5 解析 由题意,得 ? ? ? π? 4 π? π π? cos?θ+4?=5,∴tan?θ-4?=tan?θ+4-2? ? ? ? ? ? ? ? ? π π? π? sin?θ+4-2? -cos?θ+4? 4 ? ? ? ? = ? π π?= ? π? =-3. cos?θ+4-2? sin?θ+4? ? ? ? ? 4 答案 - 3 3.(2016· 全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 4 5 c,若 cos A=5,cos C=13,a=1,则 b=________. 4 5 3 解析 在△ABC 中由 cos A=5,cos C=13,可得 sin A=5, 12 63 sin C= ,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= , 13 65 asin B 21 由正弦定理得 b= sin A =13. 21 答案 13 4.(2016· 浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; 2 (2)若 cos B= ,求 cos C 的值. 3 (1)证明 由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+ cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π),故 0<A-B<π, 所以 B=π-(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π(舍去)或 A=2B,所以 A=2B. 2 5 (2)解 由 cos B= 及 B 是△ABC 一内角得 sin B= , 3 3 1 2 cos 2B=2cos B-1=-9, 1 故 cos A=- ,又 A 是△ABC 一内角, 9 4 5 所以 sin A= ,故 cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+ 9 22 sin Asin B=27. 考点整合 1.三角函数公式 sin α (1)同角关系:sin α+cos α=1,cos α=tan α. kπ (2)诱导公式:对于“ 2 ± α,k∈Z 的三角函数值”与“α 角 2 2 的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变, 符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β; cos(α± β)=cos αcos β?sin α sin β ; tan α± tan β tan(α± β )= . 1?tan α tan β (4)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1=1-2sin2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式 a+b+c a b c (1)sin A=sin B=sin C= =2R(R 为 sin A+sin B+sin C △ABC 外接圆的半径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R;a∶b∶c=sin A∶ sin B∶sin C. (2)a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C; b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab ; 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 1 1 1 (3)S△ABC=2absin C=2acsin B=2bcsin A. 热点一 三角恒等变换及应用 值 [微题型1] 求 1 【例 1-1】 (1)(2016· 全国Ⅲ卷)若 tan θ=-3,则 cos 2θ=( ) 4 1 1 4 A.-5 B.-5 C. 5 D.5 ? ?π α? 3π? 5 (2)(2016· 成都模拟)sin(π-α)=- 3 且 α∈?π, 2 ?, 则 sin?2+2?= ? ? ? ? ( ) 6 B.- 6 6 C. 6 6 D. 3 6 A.- 3 (3)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是________. 解析 1 (1)tan θ=- , 3 2 2 2 cos θ - sin θ 1 - tan θ 4 2 2 则 cos 2θ=cos θ-sin θ= 2 = = . cos θ+sin2θ 1+tan2θ 5 5 (2)sin(π-α)=sin α=- 3 , ? 3π? 又 α∈?π, 2 ?

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