当前位置:首页 >> 数学 >>

2017


4.1.2

圆的一般方程

1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径.(重点) 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题.(重点) 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.(难点、易错点)

[基础·初探] 教材整理 圆的一般方程 阅读教材 P121 至 P122“例 4”以上部分,完成下列问题. 1.圆的一般方程的概念 当 D +E -4F>0 时,二元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0)表示的圆的圆心为?- ,- ?,半 2? ? 2
2 2 2 2 2 2 2 2

? D

E?

1 2 2 径长为 D +E -4F. 2 3.对方程 x +y +Dx+Ey+F=0 的说明 方程 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点?- ,- ? 2? ? 2 表示以?- ,- ?为圆心, 2? ? 2 以 1 2 2 D +E -4F为半径的圆 2
2 2

D2+E2-4F<0 D2+E2-4F=0

? D

E?

x +y +Dx+Ey
+F=0

2

2

? D

E?

D2+E2-4F>0

1

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( (2)圆的一般方程和标准方程可以互化.( ) )

1 ? a ? 2 2 2 (3) 方 程 x + y + ax + 2ay + 2a + a - 1 = 0 表 示 圆 心 为 ?- ,-a? , 半 径 为 2 ? 2 ? -3a -4a+4的圆.(
2

)
2 2 2 2

(4)若点 M(x0,y0)在圆 x +y +Dx+Ey+F=0 外,则 x0+y0+Dx0+Ey0+F>0.( 【解析】 (1)正确.圆的方程都能写成一个二元二次方程. (2)正确.圆的一般方程和标准方程是可以互化的. 2 2 2 2 (3)错误.当 a +(2a) -4(2a +a-1)>0,即-2<a< 时才表示圆. 3 (4)正确.因为点 M(x0,y0)在圆外,所以?x0+ ? +?y0+ ? > 2? ? 2? ? +Ey0+F>0. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

)

?

D?2 ?

E?2 D 2+E2-4F
4

,即 x0+y0+Dx0

2

2

[小组合作型] 圆的一般方程的概念辨析 若方程 x +y +2mx-2y+m +5m=0 表示圆,求: (1)实数 m 的取值范围; (2)圆心坐标和半径. 【精彩点拨】 (1)根据表示圆的条件求 m 的取值范围; (2)将方程配方,根据圆的标准方程求解. 【自主解答】 (1)据题意知 1 5
2 2 2

D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即 4m2+4-4m2-20m>0,解得 m< ,
1? ? 故 m 的取值范围为?-∞, ?. 5? ? (2)将方程 x +y +2mx-2y+m +5m=0 写成标准方程为(x+m) +(y-1) =1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径 r= 1-5m.
2 2 2 2 2

2

形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法: ?1?由圆的一般方程的定义令 D +E -4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆. ?2?将方程配方后, 根据圆的标准方程的特征求解.?应用这两种方法时, 要注意所给 方程是不是 x +y +Dx+Ey+F=0 这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
2 2 2 2

2

2

[再练一题] 1.下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径. (1)x +y +x+1=0; (2)x +y +2ax+a =0(a≠0); (3)2x +2y +2ax-2ay=0(a≠0). 【解】 (1)∵D=1,E=0,F=1, ∴D +E -4F=1-4=-3<0, ∴方程不表示任何图形. (2)∵D=2a,E=0,F=a , ∴D +E -4F=4a -4a =0, ∴方程表示点(-a,0). (3)两边同除以 2,得 x +y +ax-ay=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

D=a,E=-a,F=0,∴D2+E2-4F=2a2>0,
∴方程表示圆,它的圆心为?- , ?, ? 2 2? 1 2 2 2 半径 r= D +E -4F= |a|. 2 2 求圆的一般方程 圆 C 过点 A(1,2),B(3,4),且在 x 轴上截得的弦长为 6,求圆 C 的方程. 【精彩点拨】 由条件,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定 系数法求解. 【自主解答】 设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. ∵圆过 A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,① 3D+4E+F=-25.② 令 y=0,得 x +Dx+F=0.设圆 C 与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1,x2,则
2 2 2

? a a?

x1+x2=-D,x1x2=F.
∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2) -4x1x2=36,
2

3

即 D -4F=36.③ 由 ①②③得 D=12,E=-22,F=27,或 D=-8,E=-2,F=7. 故所求圆的方程为 x +y +12x-22y+27=0,或 x +y -8x-2y+7=0.
2 2 2 2

2

1.利用待定系数法,先设出圆的方程,再根据条件列出方程组求出未知数,这是求方 程问题的常用方法. 2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用设圆的一般方程,再用待定系 数法求 D、E、F.

[再练一题] 2.已知 A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求三角形 ABC 的外接圆的方程. 【解】 设三角形 ABC 外接圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 2D+2E+F+8=0, ? ? 由题意得?5D+3E+F+34=0, ? ?3D-E+F+10=0,
2 2 2 2

D=-8, ? ? 解得?E=-2, ? ?F=12,

即三角形 ABC 的外接圆方程为 x +y -8x-2y+12=0. [探究共研型] 求动点的轨迹方程 探究 1 已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0)的距离的 2 倍,你能求出点 M 的轨迹方程吗? 【提示】 设 M(x,y),则 ?x-8? +y =2 ?x-2? +y ,整理可得点 M 的轨迹方 程为 x +y =16. 探究 2 已知直角△ABC 的斜边为 AB,且 A(-1,0),B(3,0),请求出直角顶点 C 的轨迹 方程. 【提示】 设 AB 的中点为 D, 由中点坐标公式得 D(1,0), 由直角三角形的性质知, |CD| 1 = |AB|=2,由圆的定义知,动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心,以 2 为半径长的圆(由于 A, 2
2 2 2 2 2 2

B,C 三点不共线,所以应除去与 x 轴的交点).
设 C(x,y),则直角顶点 C 的轨迹方程为(x-1) +y =4(x≠3 且 x≠-1).
4
2 2

已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l:x-y+1 =0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)线段 PQ 的端点 P 的坐标是(5,0), 端点 Q 在圆 C 上运动, 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹 方程. 【精彩点拨】 (1)利用圆的有关几何性质,确定圆心坐标与半径.可求得圆 C 的方程. (2)点 M 随点 Q 运动而运动,将 Q 点坐标用 P、M 两点坐标表示,再将 Q 点坐标代入(1) 中的圆的方程,即得 M 点的轨迹方程. 【自主解答】 (1)设点 D 为线段 AB 的中点,直线 m 为线段 AB 的垂直平分线,则 1? ?3 D? ,- ?.

?2

2?

1 又 kAB=-3,所以 km= , 3 所以直线 m 的方程为 x-3y-3=0. 由?
? ?x-3y-3=0, ?x-y+1=0 ?

得圆心 C(-3,-2),

则半径 r=|CA| = ?-3-1? +?-2-1? =5, 所以圆 C 的方程为(x+3) +(y+2) =25. (2)设点 M(x,y),Q(x0,y0). 因为点 P 的坐标为(5,0),
2 2 2 2

x +5 x= ? ? 2 , 所以? y +0 y= ? ? 2 ,
0 0

即?

?x0=2x-5, ? ? ?y0=2y.

又点 Q(x0,y0)在圆 C:(x+3) +(y+2) =25 上运动, 所以(x0+3) +(y0+2) =25, 即(2x-5+3) +(2y+2) =25. 25 2 2 整理得(x-1) +(y+1) = . 4 即所求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为 25 2 2 (x-1) +(y+1) = . 4
2 2 2 2

2

2

5

求与圆有关的轨迹问题常用的方法 1.直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动 点坐标所满足的关系式. 2.定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. 3.相关点法:若动点 P(x,y)随着圆上的另一动点 Q(x1,y1)运动而运动,且 x1,y1 可 用 x,y 表示,则可将 Q 点的坐标代入已知圆的方程,即得动点 P 的轨迹方程.

[再练一题] 3.已知定点 A(4,0),P 点是圆 x +y =4 上一动点,Q 点是 AP 的中点,求 Q 点的轨迹 方程. 4+x′ 0+y′ 【解】 设 Q 点坐标为(x,y),P 点坐标为(x′,y′),则 x= 且 y= , 2 2 即 x′=2x-4,y′=2y. 又 P 点在圆 x +y =4 上, ∴x′ +y′ =4,将 x′=2x-4,y′=2y 代入得(2x-4) +(2y) =4, 即(x-2) +y =1. 故所求的轨迹方程为(x-2) +y =1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1.圆 x +y -4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3)
2

2

2

) B.(-2,3) D.(2,-3)
2

【解析】 圆的方程化为(x-2) +(y+3) =13,圆心为(2,-3),选 D. 【答案】 D 2.已知方程 x +y -2x+2k+3=0 表示圆,则 k 的取值范围是( A.(-∞,-1) C.(-∞,-1)∪(3,+∞)
2 2 2 2

)

B.(3,+∞)

? 3 ? D.?- ,+∞? ? 2 ?

【解析】 方程可化为:(x-1) +y =-2k-2,只有-2k-2>0,即 k<-1 时才能表 示圆.

6

【答案】 A 3. 若方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示以(2, -4)为圆心, 4 为半径的圆, 则 F=________. 【解析】 以(2,-4)为圆心,4 为半径的圆的方程为(x-2) +(y+4) =16,即 x +
2 2 2 2 2

y2-4x+8y+4=0,故 F=4.
【答案】 4 4.设 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程是 __________. 【解析】 设 P(x,y)是轨迹上任一点, 圆(x-1) +y =1 的圆心为 B(1,0), 则|PA| +1=|PB| , ∴(x-1) +y =2. 【答案】 (x-1) +y =2 5.求经过三点 A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的一般方程. 【解】 设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,将 A,B,C 三点的坐标代入方程整理可 得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

D-E+F=-2, ? ? ?D+4E+F=-17, ? ?4D-2E+F=-20, D=-7, ? ? 解得?E=-3, ? ?F=2.
故所求的圆的一般方程为 x +y -7x-3y+2=0.
2 2

7



相关文章:
2017十九大知识竞赛题以及答案
2017 十九大知识竞赛题及答案【标准版】 2017 年 10 月 18 日-10 月 24 日中国共产党第十九次全国代表大会在北京盛大召开, 以下是 为各位同学整理十九大知识...
2017年重点新闻事件汇总
2017年重点新闻事件汇总 - 春季 H7N9 禽流感多地频发 从 2016 年冬季至今,H7N9 禽流感疫情在我国多地出现,一直来关于 H7N9 禽流感消 息都引起了...
2017年7月——12月时事政治精选
2017年7月——12月时事政治精选_政史地_初中教育_教育专区。2017年7月——12月时事政治,精选!量少!易记!2017 年下半年 7 月——12 月时事政治...
2017年9月—2018年1月时事政治
2017年9月—2018年1月时事政治_政史地_初中教育_教育专区。2017年9月—2018年1月,时事政治 2017 年 9 月—2018 年 1 月时事政治 1、2017 年...
2017一建机电实务真题及解析(完整版)
2017一建机电实务真题及解析(完整版) - 2017 一级建造师考试《机电工程》真题及答案(完整版) 一、单选题 1.SF6 断路器的灭弧介质和绝缘介质分别是()。 A....
最新危险化学品目录2017年
最新危险化学品目录2017年 - 危险化学品目录 (2017 版) 二〇一七年二月 说 明 一、危险化学品的定义和确定原则 定义:具有毒害、腐蚀、爆炸、燃烧、助燃等性质...
2017中考数学分类汇——实数
2017中考数学分类汇——实数 - 2017 中考数学试题分类汇编 专题 01 实数 一、选择题 1.(2017 衢州市第 1 题)-2 的倒数是( A. ? ) C. -2 ) C.-2 ...
2017 《法律文书》形成性考核册
2017 《法律文书》形成性考核册_电大_成人教育_教育专区。电大 2017 《法律文书》形成性考核册 法律文书形成性考核册作业 1 一、写一份呈请拘留报告书。呈请拘留...
2017年政治时事
2017年政治时事 - 2017 年 1—9 月时事政治汇总 1. 2017 年 1 月 1 日,第三次全国农业普查拉开大幕,这是继 1996 年和 2006 年两次全国 ...
2017人教版一年级数学下册全册教案
2017人教版一年级数学下册全册教案_数学_小学教育_教育专区。2017-2018学年度人教版一年级数学下册全册教案 2017-2018 学年 新人教版一年级数学下册全册教案 (新...
更多相关标签: