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2.1.3-2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系_图文

高一数学 必修 2 第二章 空间点、线、面的位置关系

复习引入: 1、空间两直线的位置关系 (1)相交;(2)平行;(3)异面 2.平行公理的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么 这两个角相等或互补。 4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
王新敞
奎屯 新疆

5.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角? 什么是异面直线垂直?

一、研探新知 (1)一支笔所在直线与一个作业本所在 的平面,可能有几种位置关系? (2)如图,线段A?B所在直线与长方体 ABCD-A?B?C?D?的六个面所在平面有 几种位置关系?

二、新课

1、交流归纳:直线与平面的位置关系有且只有三种:
①直线在平面内——有无数个公共点(交点); ②直线与平面相交——有且只有一个公共点; ③直线与平面平行——没有公共点;

2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置 a a 关系?
α
① 错误画法: a ① a

α
② a

α


α

α


α


a

如何用符号语言表示直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内-----有无数个公共点

a ??

如图:

a

?
a

(2)直线在平面外:

a ??
?

①直线a和面α 相交 :

.

A

a ? ? ? A 如图:

②直线a和面α 平行 :

a

a // ?

如图:

?

三、尝试 练习
例1、判断下列命题的正确

(1)若直线l上有无数个点不在平面 内,则

l//

(2)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任意一条 直线都平行。( ) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那 么另一条也与这个平面平行。( ) (4)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。( )

?



X

X

X

? 。(

?



?

?

?

例2、若直线a不平行平面 ,且 a ? ? 则下列结论成立的是( B )
( A) (B) ( C) ( D)

?

? 内所有直线与a异面 ? 内不存在与a平行的直线 ? 内存在唯一的直线与a平行 ? 内的直线与a都相交

例3 已知直线a在平面α外,则 ( D) (A)a∥α (B)a?α =A (C)直线a与平面α至少有一个公共点 (D)直线a与平面α至多有一个公共点。

巩固练习: 1.选择题 (1)以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面) ①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则 a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?, b??,则a∥b 其中正确命题的个数是 ( A )
王新敞
奎屯 新疆

(A )0 个 (B )1 个 (C )2 个 (D )3 个

巩固练习: 2.已知a∥?,b∥?,则直线a,b的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交; ④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 ( D) (A )2 个 (B )3 个 (C )4 个 (D )5 个 3.如果平面?外有两点A、B,它们到平面?的距 离都是a,则直线AB和平面?的位置关系一定 是( C) (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB ??

巩固练习:

4.已知m,n为异面直线,m∥平面?,n∥ 平面b,?∩b=l,则l ( C) (A)与m,n都相交 (B)与m,n中至少一条相交 (C)与m,n都不相交 (D)与m,n中一条相交

反思 与 总结

? 问题1、平行于同一平面的两条直线一 定是两条平行直线吗? ? 问题2、两条平行线中的一条平行一个 平面,则另一条也一定平行于这个平 面吗? ? 问题3、两条相交直线可以平行同一个 面吗? ? 问题4、两条异面直线可以平行同一个 面吗?

四、小结: 1、空间中直线与平面的三种位置关系: 直线在平面内——有无数个公共点(交点);

相交——有且只有一个公共点;
直线在平面外 平行——没有公共点; 2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系: a a a A

α

α

α

① ② ③ 3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系:

① a? α

② a∩α=A

③ a∥α

五、小测:

(一)判断正误。 1、直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;( ) × 2、若直线a在平面α外,则a ∥α; ( ) × 3、若直线a∥b,直线b ? α,则a∥α; ( ) × 4、若直线a∥b,b ? α,那么直线a就平行于平面α内 √ 的无数条直线; ( )

(二)画出满足下列条件的图形。 a?α,A∈α,A∈a,b∩α=A

研探新知: 提出问题:空间中平面与平面的位置关系又是怎 样的呢? 观察思考: (1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左 右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种? (2)如图,围成长方体AC’的六个面, 两两之间的位置关系有几种? D'
A' B' C'

D

C

A

B

在问题(1)中,通过观察可以发现,两本书可 以平行,也可以是相交,注意平面是无限延展的。 在问题(2)中上下面,左右面,前后面是平行 的,相邻的两个面是相交的,所以位置关系有平 行与相交两种。
D' A' B' C'

D

C

A

B

两个平面之间的关系有且只有两种: (1)两个平面平行――没有公共点; (2)两个平面相交――有一条公共直线。 想一想:两个平面平行应怎样画?相交又怎样画?
画两个互相平行的平面时,要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行

图1

图2



×

小结:空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
b
β α

两个平面无公共点 两个平面平行 两个平面有一公共直线 两个平面相交

α∥β

?I b ?l

例2:已知? ∥β, a ? b?b 则直线a和直线b的位置关系如何?

?

?
b

a b b

1.直线与直线,直线与平面,平面与平面之间 没有公共点就平行,平行就没有公共点,这句 话对吗?为什么?
2.直线与直线,直线与平面,平面与平面之间 有两个公共点时,它们的位置关系如何? 3.如果平面与平面有三个公共点时位置 关系如何?

练习巩固:

1.如果三个平面两两相交,那么它们的 交线有多少条?交线有什么位置关系? 画出图形表示你的结论。

答:有可能1条,也有可能3条交线。
β l a γ

α

b
( 1) ( 2)

(3)

相交于一条交线

三条交线

三条交线

2.切割长方体

? 一个长方体切一刀可以分成多少块?2 ? 一个长方体切两刀可以分成多少块?
3 或4
D′

A′ D

B′ C

A

B

练习巩固:

3. 3个平面把空间分成几部分?

( 1)

4

( 2)

6

( 3)

6

( 4)

7

( 5)

8

归纳总结
(1)空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

A
A

a a

点在直线上

A? a A? a

点在直线外
点在平面内 点在平面外

? A A ?

A ?? A ??

(2)空间中线与线的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

b
a

两直线共面且无公 共点两直线平行 两直线共面且有一个 公共点两直线相交
两直线不共面且无 公共点两直线异面

a∥ b
aIb?A
a、b异面

b A
a
b
a

(3)空间中线与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a 直线与平面无公共点
直线与平面平行 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内

a∥?

? ?

A

aI ? ? A

a

a ??

(4)空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
b
β α

两个平面无公共点 两个平面平行 两个平面有一公共直线 两个平面相交

α∥β

?I b ?l

作业:
课时训练


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