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(浙江专版)2018年高中数学第三章3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件新人教A版选修2_1_图文

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 预习课本 P92~94,思考并完成以下问题 1.空间向量基本定理的内容是什么? 2.在空间向量中,基底的定义是什么?应满足什么条件? [新知初探] 1.空间向量基本定理: 如果三个向量 a,b,c 不共面 ,那么对空间任一向量 p,存 在有序实数组{x,y,z},使得 p= xa+yb+zc . 其中{a, b, c}叫做空间的一个 基底 , a, b, c 都叫做 基向量 . 2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底: 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1,e2,e3 称为 单位正交基底. _____________ (2)空间直角坐标系: 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. (3)空间向量的坐标表示: 对于空间任意一个向量 p,一定可以把它 平移,使它的起点与 ??? ? 原点 O 重合,得到向量 OP =p,由空间向量基本定理可知,存在 有序实数组{x,y,z},使得 p= xe1+ye2+ze3.把 x,y,z 称作向 量 p 在单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标,记作 p=(x,y,z) , 即点 P 的坐标为 (x,y,z) . [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底 ( AP 的坐标与点 P 的坐标一致 (2)向量 ???? ) ) ( (3)对于三个不共面向量 a1,a2,a3,不存在实数组{λ1,λ2,λ3} 使 0=λ1a1+λ2a2+λ3a3 ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.已知 A(2,3-μ,-1+ν)关于 x 轴的对称点是 A′(λ,7,-6), 则 λ,μ,ν 的值为 A.λ=-2,μ=-4,ν=-5 C.λ=-2,μ=10,ν=8 ( ) B.λ=2,μ=-4,ν=-5 D.λ=2,μ=10,ν=7 答案:D 3.已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,下列向量中可以与 p= 2a-b,q=a+b 构成空间的另一个基底的是______(填序号). ①2a;②-b;③c;④a+c 答案:③④ 空间向量基本定理的理解 ??? ? [典例] 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且OA=e1+ ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2e2-e3, 试判断{OA, OC =e1+e2-e3, OB =-3e1+e2+2e3, OB , ??? ? OC }能否作为空间的一个基底? ??? ? ??? ? ??? ? [解] 假设 OA,OB ,OC 共面,由向量共面的充要条件 ??? ? ??? ? ??? ? 知存在实数 x,y,使 OA=x OB +yOC 成立. ∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. ∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底, ?-3x+y=1, ? ∴e1,e2,e3 不共面,∴?x+y=2, 此方程组无解, ?2x-y=-1 ? ??? ? ??? ? ??? ? 即不存在实数 x,y,使 OA=xOB +y OC 成立. ??? ? ??? ? ??? ? ∴ OA, OB , OC 不共面. ??? ? ??? ? ??? ? 故{ OA, OB , OC }能作为空间的一个基底. 判断给出的某一向量组能否作为基底,关键是要判断它 们是否共面.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些 常见的几何图形进行判断. [活学活用] 设 x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底.给 出下列向量组: ①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}. 其中可以作为空间的基底的向量组有________个. ??? ? ???? ???? ? ???? ? 解析: 如图所设 a= AB , b= AA1 , c= AD , 则 x= AB1 , ???? ? ???? ? ???? y= AD1 ,z= AC ,a+b+c= AC1 .由 A,B1,D,C 四 点不共面可知向量 x,y,z 也不共面.同理可知 b,c, z 和 x, y, a+b+c 也不共面, 可以作为空间的基底. 因 x=a+b,故 a,b,x 共面,故不能作为基底. 答案:3 空间向量基本定理的应用 如图,四棱锥 POABC 的底面 ??? ? ??? ? 为一矩形,PO⊥平面 OABC,设 OA=a,OC = ??? ? b, OP =c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,试 ???? ??? ? ???? ???? 用 a,b,c 表示: BF , BE , AE , EF . ???? 1 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 [解] 连接 BO, 则 BF = BP = ( BO + OP )= (c 2 2 2 1 1 1 -b-a)=- a- b+ c. 2 2 2 [典例] ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ???? 1 ??? 1 1 BE = BC + CE =-a+2 CP =-a+2( CO + OP )=-a-2b+2c. ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? AE = AP + PE = AO + OP +2( PO + OC )=-a+c 1 1 1 + (-c+b)=-a+ b+ c. 2 2 2 ???? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 EF =2 CB =2 OA=2a. 用基底表示向量时: (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形 法则和平行四边

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