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(浙江专版)2018年高中数学第三章3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件新人教A版选修2


3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 预习课本 P92~94,思考并完成以下问题 1.空间向量基本定理的内容是什么? 2.在空间向量中,基底的定义是什么?应满足什么条件? [新知初探] 1.空间向量基本定理: 如果三个向量 a,b,c 不共面 ,那么对空间任一向量 p,存 在有序实数组{x,y,z},使得 p= xa+yb+zc . 其中{a, b, c}叫做空间的一个 基底 , a, b, c 都叫做 基向量 . 2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底: 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1,e2,e3 称为 单位正交基底. _____________ (2)空间直角坐标系: 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. (3)空间向量的坐标表示: 对于空间任意一个向量 p,一定可以把它 平移,使它的起点与 ??? ? 原点 O 重合,得到向量 OP =p,由空间向量基本定理可知,存在 有序实数组{x,y,z},使得 p= xe1+ye2+ze3.把 x,y,z 称作向 量 p 在单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标,记作 p=(x,y,z) , 即点 P 的坐标为 (x,y,z) . [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底 ( AP 的坐标与点 P 的坐标一致 (2)向量 ???? ) ) ( (3)对于三个不共面向量 a1,a2,a3,不存在实数组{λ1,λ2,λ3} 使 0=λ1a1+λ2a2+λ3a3 ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.已知 A(2,3-μ,-1+ν)关于 x 轴的对称点是 A′(λ,7,-6), 则 λ,μ,ν 的值为 A.λ=-2,μ=-4,ν=-5 C.λ=-2,μ=10,ν=8 ( ) B.λ=2,μ=-4,ν=-5 D.λ=2,μ=10,ν=7 答案:D 3.已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,下列向量中可以与 p= 2a-b,q=a+b 构成空间的另一个基底的是______(填序号). ①2a;②-b;③c;④a+c 答案:③④ 空间向量基本定理的理解 ??? ? [典例] 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且OA=e1+ ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2e2-e3, 试判断{OA, OC =e1+e2-e3, OB =-3e1+e2+2e3, OB , ??? ? OC }能否作为空间的一个基底? ??? ? ??? ? ??? ? [解] 假设 OA,OB ,OC 共面,由向量共面的充要条件 ??? ? ??? ? ??? ? 知存在实数 x,y,使 OA=x OB +yOC 成立. ∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. ∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底, ?-3x+y=1, ? ∴e1,e2,e3 不共面,∴?x+y=2, 此方程组无解, ?2x-y=-1 ? ??? ? ??? ? ??? ? 即不存在实数 x,y,使 OA=xOB +y OC 成立. ??? ? ??? ? ??? ? ∴ OA, OB , OC 不共面. ??? ? ??? ? ??? ? 故{ OA, OB ,

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