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663755281§1-3 线段的垂直平分线(2)三角形的垂心


九年级数学(上册)第一章 证明(二)
3.线段的垂直平分线(2) 三角形的垂心

线段的垂直平分线 的作法 ?用尺规作线段的垂直平分线. C
?已知:线段AB,如图. ?求作:线段AB的垂直平分线. ?作法: ?1.分别以点A和B为圆心,以大于

回顾

思考

A

B

AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D. ?2. 作直线CD. ?则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.

D

老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.

驶向胜利 的彼岸

回顾

思考

?定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M ?如图, ?∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ?∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点距离 相等).
P

线段的垂直平分 线的性质

C N

B

老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.

回顾

思考

?逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. ?如图, ?∵PA=PB(已知), ?∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 A 线段的垂直平分线上).
M P

线段的垂直平分线的 性质定理的逆定理

C

B

老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.

N

从这个结果出发,你还能联想到什么?

做一做

1

亲历知识的发生和 发展

?剪一个三角形纸片通过折叠 找出每条边的垂直平分线. ?观察这三条垂直平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.

做一做

1

亲历知识的发生和 发展

利用尺规作出三角形 三条边的垂直平分线. ?再观察这三条垂直平分线,你 又发现了什么?与同伴交流.
结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.

咋证三条直线交于一点
命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点.

思 考 分 析

?基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在 A 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 . 如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平 分线相交于点P,连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, P ∴PA=PB (或AB的中点,). B C 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点. 想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也 可以得征?

做一做

1

几何的三种语言

定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且 这一点到三个顶点的距离相等.

如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直 c 平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且 B PA=PB=PC(三角形三条边的垂直 平分线相交于一点,并且这一点 到三个顶点的距离相等).

a A b P C

老师提示:
这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.

议一议

挑战自我

?已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三

角形吗? ?如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?
?已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作

出等腰三角形吗?能作几个?

老师期望:
你能亲自探索出结果并能用尺规 作出图形.

做一做P29 2

梦想成真

1.已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.
已知:线段a,h(如图). a
h

求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.. 作法:

老师期望:
你能亲自写出作法.

小结

拓展

回味无穷
a A b P C

? 定理 三角形三条边的垂直平分线 相交于一点,并且这一点到三个顶点 的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线 c (已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三 角形三条边的垂直平分线相交于一 B 点,并且这一点到三个顶点的距离相 等). 尺规作图的解题格式(六步骤): 已知: 求作: 分析: 作法: 证明: 讨论:

独立 作业

知识的升华

P9习题1.7 1,2题.

祝你成功!

独立作业

1

习题1.7

?1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰 三角形.这个等腰三角形有什么特征?

?这个等腰三角形有什么特征?

?老师提示:

?先分析,作出示意图形,再按要求 去作图.

独立作业

2

习题1.7

?2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育 中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该 城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等. P● (1) P● R● (2)

Q●

R●

Q●

?(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置; ?(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝角, 那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置? ?(3). 你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?

老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.

下课了!

结束寄语

? 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. ? 证明的规范性在于:条理清晰 ,因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.



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