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定义域与值域

第二节

函数的定义域和值域

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题 中,且多与集合问题相交汇,考查与对数函数、分式函数、根式函

会求简单函数的定 义域和值域.

数有关的定义域问题.如 2012 年江西 T2,江苏 T5 等. 2.函数的值域或最值问题很少单独考查,通常与不等式恒成立等问 题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.

[归纳·知识整合] 1.常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y=a (a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0,+∞).
? ? π (6)y=tan x 的定义域为?x|x≠kπ + ,k∈Z?. 2 ? ?
x

(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函数 自变量的制约. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax +bx+c(a≠0)的值域是:
2

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? 4ac-b ? ?; 当 a>0 时,值域为?y|y≥ 4a ? ? ? 4ac-b ? ?. 当 a<0 时,值域为?y|y≤ 4a ? ?
2

2

(3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=a (a>0 且 a≠1)的值域是{y|y>0}. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. (6)y=sin x,y=cos x 的值域是[-1,1]. (7)y=tan x 的值域是 R. [探究] 1.若函数 y=f(x)的定义域和值域相同,则称函数 y=f(x)是圆满函数,则函数 1 ①y= ;②y=2x;③y=
x

k x

x

x;④y=x2 中是圆满函数的有哪几个?

1 1 提示:①y= 的定义域和值域都是(-∞,0)∪(0,+∞),故函数 y= 是圆满函数;②y

x

x

=2x 的定义域和值域都是 R,故函数 y=2x 是圆满函数;③y= +∞),故 y= 圆满函数.

x的定义域和值域都是[0,

x是圆满函数;④y=x2 的定义域为 R,值域为[0,+∞),故函数 y=x2 不是

2.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系? 提示:分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集. [自测·牛刀小试] 1.(教材习题改编)函数 f(x)= A.[-∞,4] C.(-∞,4) 解析:选 D 要使函数 f(x)= 的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 2.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( ) 15≤x≤20 5 4-x 的定义域为( x-1 B.[4,+∞) D.(-∞,1)∪(1,4]
? ?4-x≥0, 4-x 有意义,只需? x-1 ?x-1≠0, ?

)

即?

? ?x≤4, ?x≠1. ?

所以函数

x y

0<x<5 2

5≤x<10 3

10≤x<15 4

A.[2,5] C.(0,20]

B.N D.{2,3,4,5}

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解析:选 D 函数值只有四个数 2,3,4,5,故值域为{2,3,4,5}. 3.若 f(x)= 1 log 1 ?2x+1?
2

,则 f(x)的定义域为(

)

? 1 ? A.?- ,0? ? 2 ? ? 1 ? C.?- ,+∞? 2 ? ?
2

? 1 ? B.?- ,0? ? 2 ?
D.(0,+∞)

解析:选 A 根据题意得 log 1 (2x+1)>0, 1 ? 1 ? 即 0<2x+1<1,解得- <x<0,即 x∈?- ,0?. 2 ? 2 ? 4.(教材改编题)函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的定义域为________, 值域为________. 解析:由图象可知,函数 y=f(x)的定义域为[-6,0]∪[3,7),值 为[0,+∞). 答案:[-6,0]∪[3,7) [0,+∞) 5.(教材改编题)若 x-4有意义,则函数 y=x -6x+7 的值域是________. 解析:∵ x-4有意义,∴x-4≥0,即 x≥4. 又∵y=x -6x+7=(x-3) -2, ∴ymin=(4-3) -2=1-2=-1. ∴其值域为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)
2 2 2 2



求函数的定义域

1 [例 1] (1)(2012·山东高考)函数 f(x)= + ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]
2

4-x 的定义域为(

2

)

B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

(2)已知函数 f(x -1)的定义域为[0,3],则函数 y=f(x)的定义域为________.

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x+1>0, ? ? [自主解答] (1)x 满足?x+1≠1, ? ?4-x2≥0,
解得-1<x<0 或 0<x≤2. (2)∵0≤x≤3, ∴0≤x ≤9,-1≤x -1≤8. ∴函数 y=f(x)的定义域为[-1,8]. [答案] (1)B (2)[-1,8]
2 2

x>-1, ? ? 即?x≠0, ? ?-2≤x≤2.

本例(2)改为 f(x)的定义域为[0,3],求 y=f(x -1)的定义域. 解:∵y=f(x)的定义域为[0,3], ∴0≤x -1≤3, 解得-2≤x≤-1 或 1≤x≤2, 所以函数定义域为[-2,-1]∪[1,2].
2

2

—————

—————————————— 简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)对抽象函数: ①若已知函数 f(x)的定义域为[a, b], 则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出. ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值 域.

1.(1)(2012·江苏高考)函数 f(x)=

1-2log6x的定义域为________.
2

(2)已知 f(x)的定义域是[-2,4],求 f(x -3x)的定义域. 1 解析:(1)由 1-2log6x≥0 解得 log6x≤ ? 0<x≤ 6,故所求定义域为(0, 6 ]. 2 答案:(0, 6 ] (2)∵f(x)的定义域是[-2,4], ∴-2≤x -3x≤4,由二次函数的图象可得,-1≤x≤1 或 2≤x≤4. ∴定义域为[-1,1]∪[2,4].
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2

求函数的值域

[例 2] 求下列函数的值域: (1)y=

x-3 4 ;(2)y=x- 1-2x;(3)y=x+ . x+1 x x-3 x+1-4 4 4 = =1- .因为 ≠0,所以 1 x+1 x+1 x+1 x+1

[自主解答] (1)法一:(分离常数法)y= - 4 ≠1, x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. 法二:由 y=

x-3 得 yx+y=x-3. x+1

y+3 解得 x= ,所以 y≠1, 1-y
即函数值域是{y|y∈R,y≠1}. 1-t 1-t 1 2 (2)法一:(换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= ,于是 y= -t=- (t+1) 2 2 2
? 1? 1 +1,由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是?y|y≤ ?. 2? 2 ?
2 2

1 法二: (单调性法)容易判断函数 y=f(x)为增函数, 而其定义域应满足 1-2x≥0, 即 x≤ . 2
? 1? ?1? 1 所以 y≤f? ?= ,即函数的值域是?y|y≤ ?. 2? ?2? 2 ?

(3)法一:(基本不等式法)当 x>0 时,

x+ ≥2 x

4

x× =4, x

4

当且仅当 x=2 时“=”成立; 4 4 当 x<0 时,x+ =-(-x- )≤-4,

x

x

当且仅当 x=-2 时“=”成立. 即函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

x2-4 法二:(导数法)f′(x)=1- 2= 2 . x x
4

x∈(-∞,-2)或 x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,
当 x∈(-2,0)或 x∈(0,2)时,f(x)单调递减. 故 x=-2 时,f(x)极大值=f(-2)=-4;
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x=2 时,f(x)极小值=f(2)=4.
即函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

4 若将本例(3)改为“y=x- ”,如何求解?

x

4 4 解:易知函数 y=x- 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数,故函数 y=x- 的值域为

x

x

R.

—————

—————————————— 求函数值域的基本方法

(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域. (3)换元法:形如 y=ax+b± cx+d(a,b,c,d 均为常数,且 a≠0)的函数常用换元法 求值域,形如 y=ax+ a-bx 的函数用三角函数代换求值域. ?4?分离常数法:形如 y=
2

cx+d ?a≠0?的函数可用此法求值域. ax+b

?5?单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其 增减性进而求最值和值域. ?6?数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找 其变化范围.

2.求下列函数的值域. (1)y=x +2x,x∈[0,3]; (2)y=
2

x2-x ; x -x+1
2

(3)y=log3x+logx3-1. 解:(1)(配方法)y=x +2x=(x+1) -1, ∵0≤x≤3, ∴1≤x+1≤4.∴1≤(x+1) ≤16. ∴0≤y≤15, 即函数 y=x +2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].
2 2 2 2

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(2)y=

x2-x+1-1 1 =1- 2 , 2 x -x+1 x -x+1

? 1?2 3 3 2 ∵x -x+1=?x- ? + ≥ , ? 2? 4 4
∴0< 1

x2-x+1 3

4 ≤ ,

1 ? 1 ? ∴- ≤y<1,即值域为?- ,1?. 3 ? 3 ? 1 (3)y=log3x+ -1, log3x 令 log3x=t, 1 则 y=t+ -1(t≠0),

t

当 x>1 时,t>0,y≥2

t· -1=1, t

1

1 当且仅当 t= 即 log3x=1,x=3 时,等号成立;

t

当 0<x<1 时,t<0,

y=-??-t?+?- ??-1≤-2-1=-3. ? ? t??
1 1 当且仅当-t=- 即 log3x=-1,x= 时,等号成立. t 3 综上所述,函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). 与定义域、值域有关的参数问题

?

? 1??

[例 3] 已知函数 f(x)= ax +bx.若至少存在一个正实数 b,使得函数 f(x)的定义域与 值域相同,求实数 a 的值. [自主解答] ①若 a=0,则对于每个正数 b,f(x)= bx的定义域和值域都是[0,+∞), 故 a=0 满足条件; ②若 a>0, 则对于正数 b, f(x)= ax +bx的定义域为 D={x|ax +bx≥0}=?-∞,- ?∪ a
2 2

2

? ?

b?

?

[0,+∞),但 f(x)的值域 A? [0,+∞),故 D≠A,即 a>0 不符合条件; ③若 a<0,则对于正数 b,

b? ? f(x)= ax2+bx的定义域 D=?0,- ?, a? ?

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由于此时 f(x)max=f?- ?= , ? 2a? 2 -a 故 f(x)的值域为?0,

?

b? b

b

? ?

? ?, 2 -a?
? a=-4.

?a<0, b b 则- = ?? a 2 -a ?2 -a=-a
综上所述,a 的值为 0 或-4. —————

—————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法

已知函数的值域求参数的值或取值范围问题,通常按求函数值域的方法求出其值域,然 后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围.

3 .(2013·温州模拟 )若函数 f(x) = ________.

1 ?1 ? 在区间 [a, b] 上的值域为? ,1? ,则 a + b= x-1 ?3 ?

解析:∵由题意知 x-1>0,又 x∈[a,b], ∴a>1.则 f(x)= 则 f(a)= 1

x-1

在[a,b]上为减函数,

1 1 1 =1 且 f(b)= = , a-1 b-1 3

∴a=2,b=4,a+b=6. 答案:6

? 1 种意识——定义域优先意识 函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础.因 此,我们一定要树立函数定义域优先的意识. ? 4 个注意——求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合. (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合. (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接, 而应该用并集符号“∪”连接.
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? 4 个准则——函数表达式有意义的准则 函数表达式有意义的准则一般有:①分式中的分母不为 0;②偶次根式的被开方数非负; ③y=x 要求 x≠0;④对数式中的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1. ? 6 种技巧——妙求函数的值域 (1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分离常数法; (2)若与二次函数有关,可用配方法; (3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法; (4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等式求解; (5)分段函数宜分段求解; (6)当函数的图象易画出时,还可借助于图象求解.
0

易误警示——与定义域有关的易错问题

[典例]

(2013· 福 州 模 拟 ) 函 数 f(x) =

?x+1? - x+1

2

1-x 的 定 义 域 为

________________. [解析] ∵要使函数 f(x)=
2 ?1-x≥0, ? ?x+1? - 1-x有意义,则? x+1 ? ?x+1≠0,

∴?

?x≤1, ? ? ?x≠-1,

∴函数 f(x)的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. [答案] (-∞,-1)∪(-1,1] [易误辨析] 1.本题若将函数 f(x)的解析式化简为 f(x)=(x+1)- 1-x后求定义域,会误认为其定 义域为(-∞,1].事实上,上述化简过程扩大了自变量 x 的取值范围. 2.在求函数的值域时,要特别注意函数的定义域.求函数的值域时,不但要重视对应关 系的作用,而且还要特别注意定义域对值域的制约作用. [变式训练] 1 ?1 ? 1.若函数 f(x)的值域是? ,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( f?x? ?2 ? )

?1 ? A.? ,5? ?2 ?

?5 ? B.? ,5? ?6 ?

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? 10? C.?2, ? 3? ?
1 解析:选 C 令 t=f(x),则 ≤t≤3. 2

? 10? D.?3, ? 3? ?

1 ?1 ? 易知函数 g(t)=t+ 在区间? ,1?上是减函数,在[1,3]上是增函数. t ?2 ? 10 ?1? 5 又因为 g? ?= ,g(1)=2,g(3)= . 3 ?2? 2 可知函数 F(x)=f(x)+ 1

f?x?

? 10? 的值域为?2, ?. 3? ?

2.已知函数 f( x+2)=x+2 x,则函数 f(x)的值域为________. 解析:令 2+ x=t,则 x=(t-2) (t≥2). ∴f(t)=(t-2) +2(t-2)=t -2t(t≥2). ∴f(x)=x -2x(x≥2). ∴f(x)=(x-1) -1≥(2-1) -1=0, 即 f(x)的值域为[0,+∞). 答案:[0,+∞)
2 2 2 2 2 2

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知 a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是 R 的是( A.f(x)=x +a C.f(x)=ax +x+1
2 2 2

)

B.f(x)=ax +1 D.f(x)=x +ax+1
2

2

解析:选 C 当 a=0 时,f(x)=ax +x+1=x+1 为一次函数,其定义域和值域都是 R. 2.已知等腰△ABC 周长为 10,则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y=10-2x,则函数 的定义域为( A.R C.{x|0<x<5} ) B.{x|x>0}
? 5 ? D.?x| <x<5? 2 ? ?

x>0, ? ? 解析:选 D 由题意知?10-2x>0, ? ?2x>10-2x,

5 即 <x<5. 2

3.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)
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的图象可以是(

)

解析:选 A A 中定义域是[-2,2],值域为[0,2];B 中定义域为[-2,0],值域为[0,2]; C 不表示函数;D 中的值域不是[0,2]. 4.(2013·南昌模拟)函数 y= A.{x|x>0} C.{x|x≥1,或 x<0}

x?x-1?-lg 的定义域为( x
B.{x|x≥1} D.{x|0<x≤1}

1

)

x?x-1?≥0, ? ? 解析:选 B 由?1 >0, ? ?x
5.函数 y=2- -x +4x的值域是( A.[-2,2] C.[0,2]
2 2 2

得 x≥1.

) B.[1,2] D.[- 2, 2 ]
2 2

解析:选 C ∵-x +4x=-(x-2) +4≤4,0≤ -x +4x≤2,-2≤- -x +4x≤0, 0≤2- -x +4x≤2,∴0≤y≤2. 6.设函数 g(x)=x -2(x∈R),f(x)=? ( )
2 2

?g?x?+x+4,x<g?x?, ? ? ?g?x?-x,x≥g?x?,

则 f(x)的值域是

? 9 ? A.?- ,0?∪(1,+∞) ? 4 ? ? 9 ? C.?- ,+∞? ? 4 ?
2 2

B. [0,+∞)

? 9 ? D.?- ,0?∪(2,+∞) ? 4 ?
2

解析: 选 D 令 x<g(x), 即 x -x-2>0, 解得 x<-1 或 x>2; 令 x≥g(x), 即 x -x-2≤0,
? ?x +x+2,x<-1或x>2, 解得-1≤x≤2, 故函数 f(x)=? 2 ?x -x-2,-1≤x≤2. ?

当 x<-1 或 x>2 时, 函数 f(x)>f(-

9 ?1? 1)=2;当-1≤x≤2 时,函数 f? ?≤f(x)≤f(-1),即- ≤f(x)≤0,故函数 f(x)的值域是 4 ?2?

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?-9,0?∪(2,+∞). ? 4 ? ? ?
二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.函数 y= 1 6-x-x
2

的定义域是________.
2 2

解析:由函数解析式可知 6-x-x >0,即 x +x-6<0,故-3<x<2. 答案:(-3,2) ?x+5??x+2? 8.设 x≥2,则函数 y= 的最小值是______. x+1 [?x+1?+4][?x+1?+1] t +5t+4 解析:y= ,设 x+1=t,则 t≥3,那么 y= =t x+1 t 4 28 + +5,在区间[2,+∞)上此函数为增函数,所以 t=3 时,函数取得最小值即 ymin= . t 3 28 答案: 3 9.(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b . 设函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2],则函数 f(x)的值域为________. 解析:由题意知,f(x)=?
? ?x-2,x∈[-2,1], ?x -2,x∈?1,2]. ?
3 2 2

当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,-1];当 x∈(1,2]时,f(x)∈(-1,6],故当 x∈[-2,2] 时,f(x)∈[-4,6]. 答案:[-4,6] 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 1 2 10.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值. 2 1 1 2 解:∵f(x)= (x-1) +a- , 2 2 ∴其对称轴为 x=1, 即[1,b]为 f(x)的单调递增区间. 1 ∴f(x)min=f(1)=a- =1,① 2

f(x)max=f(b)= b2-b+a=b.②
3 ? ?a= , 由①②解得? 2 ? ?b=3.
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1 2

11.设 O 为坐标原点,给定一个定点 A(4,3),而点 B(x,0)在 x 轴的正半轴上移动,l(x) 表示 AB 的长,求函数 y= 解:依题意有 x>0,

??? ?

x 的值域. l?x?

l(x)= ?x-4?2+32= x2-8x+25,
所以 y=

x x = 2 = l?x? x -8x+25

. 8 25 1- + 2

1

x

x

8 25 ?1 4 ?2 9 由于 1- + 2 =25? - ? + , x x ?x 25? 25 所以 8 25 3 5 1- + 2 ≥ ,故 0<y≤ . x x 5 3

即函数 y=

x ? 5? 的值域是?0, ?. l?x? ? 3?
2

12.已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ =16a -4(2a+6)=0 3 2 ? 2a -a-3=0? a=-1 或 a= . 2 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 2 ∴Δ =8(2a -a-3)≤0? -1≤a≤ . 2 ∴a+3>0. ∴g(a)=2-a|a+3|=-a -3a+2 3?? ? 3?2 17? ? =-?a+ ? + ?a∈?-1, ??. 2?? ? 2? 4 ? ? 3? ? ∵二次函数 g(a)在?-1, ?上单调递减, 2? ? 19 ?3? ∴g? ?≤g(a)≤g(-1),即- ≤g(a)≤4. 4 ?2?
2 2

? 19 ? ∴g(a)的值域为?- ,4?. ? 4 ?

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1.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 解析:选 A 当 x>0 时, 1

1

x

有相同定义域的是( 1 B.f(x)=

)

x
x

D.f(x)=e

x

有意义,因此函数 y=

1

x

的定义域为{x|x>0}.

对于 A,函数 f(x)=ln x 的定义域为{x|x>0}; 1 对于 B,函数 f(x)= 的定义域为{x|x≠0,x∈R};

x

对于 C,函数 f(x)=|x|的定义域为 R; 对于 D,函数 f(x)=e 的定义域为 R. 所以与函数 y= 2.函数 y= 1
x

x
2

有相同定义域的是 f(x)=ln x. 的定义域为( ) B.(-4,1) D.(-1,1]
2

ln?x+1? -x -3x+4

A.[-4,-1) C.(-1,1)
?-x -3x+4>0 ? 解析:选 C 由? ? ?x+1>0

得-1<x<1,因此该函数的定义域是(-1,1).

3.若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1)

f?2x? 的定义域是( x-1

)

? ?0≤2x≤2, 解析:选 B 要使 g(x)有意义,则? ?x-1≠0, ?

解得 0≤x<1.故定义域为[0,1).

?1?x 2 4.已知函数 f(x)=? ? ,x∈[-1,1],函数 g(x)=f (x)-2af(x)+3 的最小值为 h(a). ?3?
(1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当 h(a)的定义域为[n,m] 时,值域为[n ,m ]?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由.
2 2

?1?x 解:(1)由 f(x)=? ? ,x∈[-1,1], ?3?

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?1 ? ?1 ? 知 f(x)∈? ,3?,令 t=f(x)∈? ,3? ?3 ? ?3 ?
记 g(x)=y=t -2at+3,则 g(x)的对称轴为 t=a,故有: 1 28 2a ①当 a≤ 时,g(x)的最小值 h(a)= - , 3 9 3 ②当 a≥3 时,g(x)的最小值 h(a)=12-6a, 1 2 ③当 <a<3 时,g(x)的最小值 h(a)=3-a 3
2

? ? 1 综上所述,h(a)=? 3-a , <a<3, 3 ? ?12-6a,a≥3,
28 2a 1 - ,a≤ , 9 3 3
2

(2)当 a≥3 时,h(a)=-6a+12,故 m>n>3 时,h(a)在[n,m]上为减函数, 所以 h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)].
?h?m?=n , ? 由题意,则有? 2 ?h?n?=m , ?
2

?-6m+12=n , ? ?? 2 ?-6n+12=m , ?

2

,两式相减得 6n-6m=n -m ,又

2

2

m≠n,所以 m+n=6,这与 m>n>3 矛盾,故不存在满足题中条件的 m,n 的值.

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