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2014-2015学年安徽省宣城市宁国市津河中学高二(下)第三次段考数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年安徽省宣城市宁国市津河中学高二(下)第三次段 考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.在△ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF∥BC.这个命题的大前提为( A. 三角形的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半 C. EF 为中位线 D. EF∥CB 3. (e +2x)dx=( A. 1
x



) B. e﹣1 C. e D. e+1

4. 设 xi, a ( 2, 3) 均为正实数, 甲、 乙两位同学由命题: “若 x1+x2=1, 则 i i=1,
2

+

≤ (

+



”分别推理得出了新命题: + ≤(a1+a2) ”;
2

甲:“若 x1+x2=1,则

乙:“若 x1+x2+x3=1,则

+

+

≤(

+

+

) ”.

2

他们所用的推理方法是( ) A. 甲、乙都用演绎推理 B. 甲、乙都用类比推理 C. 甲用演绎推理,乙用类比推理 D. 甲用归纳推理,乙用类比推理 5.用反证法证明命题:“若(a﹣1) (b﹣1) (c﹣1)>0,则 a,b,c 中至少有一个大于 1”时, 下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 都大于 1 B. 假设 a,b,c 中至多有一个大于 1 C. 假设 a,b,c 都不大于 1 D. 假设 a,b,c 中至多有两个大于 1

6.奇函数 f(x)=ax +bx +cx 在 x= 处有极值,则 ac+2b 的值为( A. 3 B. ﹣3 ) C. 0

3

2

) D. 1

7.如图,阴影部分面积为(

A. C.

dx dx+ dx

B. D.

dx+ dx

dx

8. 用数学归纳法证明 A. + +

+ B.

+…+ +

>1 (n∈N+) 时, 在验证 n=1 时, 左边的代数式为 ( C. D. 1



9.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是( )

A. B. C. D.

函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2) 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2)

10.设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为 0,当 x<0 时,f′ (x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0,且 f(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) A. (﹣3,0)∪(3,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞, ﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将正确答案填在答卷的横线上)

11.函数 y=x ﹣x ﹣x 的单调增区间为

3

2



12.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在 立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“ ”. 13.垂直于直线 2x﹣6y+1=0 并且与曲线 y=x +3x ﹣5 相切的直线方程是
3 2

14.已知函数 f(x)=x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处相切, 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为 .

3

2

15.给出下列四个命题: ①若 f′(x0)=0,则 x0 是 f(x)的极值点; ②“可导函数 f(x)在区间(a,b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a,b)上有极值”; ③若 f(x)>g(x) ,则 f′(x)>g′(x) ; ④如果在区间上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在上一定能取得最大 值和最小值. 其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上) .

三.解答题(本大题共 6 小题,75 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.求由曲线 y=x +2 与 y=3x,x=0,x=2 所围成的平面图形的面积.
2

17.已知 0<a<1,求证: +

≥9.

18.已知曲线 y=f(x)=5 ,求: (1)曲线与直线 y=2x﹣4 平行的切线的方程. (2)过点 P(0,5)且与曲线相切的直线的方程. 19. 已知函数 f (x) =ax +bx 的图象经过点 M (1, 4) , 曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间上单调递增,求 m 的取值范围. 20.用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一 边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 21.已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1. (1)写出 a1,a2,a3,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.
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2014-2015 学年安徽省宣城市宁国市津河中学高二(下) 第三次段考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可. 解答: 解:若函数 f(x)=x ,在(﹣1,1)上为增函数,但 f′(x)=3≥0,则 f′(x)>0 不成立,即充分性不成立, 若 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上为增函数,即必要性成立, 则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的必要不充分条件, 故选:A 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用函数单调性和导数之间的关系是解决 本题的关键. 2.在△ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF∥BC.这个命题的大前提为( A. 三角形的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半 C. EF 为中位线 D. EF∥CB )
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考点:演绎推理的基本方法. 专题:综合题;推理和证明. 分析:三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演 绎推理. 在三段论中, 含有大项的前提叫大前提, 如本例中的“三角形的中位线平行于第三边”. 解答: 解:本题的推理过程形式是三段论, 其大前提是一个一般的结论, 即三角形中位线定理, 故选:A. 点评:三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理.它包含两个性质判断构成的前提,和 一个性质判断构成的结论. 3. (e +2x)dx=( A. 1
x

) B. e﹣1 C. e D. e+1

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:首先找出被积函数的原函数,然后计算. 解答: 解: (e +2x)dx=(e +x )
x x 2

=e;

故答案为:C 点评:本题考查了定积分的计算;关键是正确找出被积函数的原函数.

4. 设 xi, a ( 2, 3) 均为正实数, 甲、 乙两位同学由命题: “若 x1+x2=1, 则 i i=1,
2

+

≤ (

+



”分别推理得出了新命题: + ≤(a1+a2) ”;
2

甲:“若 x1+x2=1,则

乙:“若 x1+x2+x3=1,则

+

+

≤(

+

+

) ”.

2

他们所用的推理方法是( ) A. 甲、乙都用演绎推理 B. 甲、乙都用类比推理 C. 甲用演绎推理,乙用类比推理 D. 甲用归纳推理,乙用类比推理 考点:演绎推理的基本方法. 专题:推理和证明. 分析:根据甲乙两人的得到的新命题与原命题比较,结合推理方法进行选择. 解答: 解:由已知甲乙两人所得结论与已知命题的关系可知:甲运用了归纳推理,乙运用 了类比推理; 故选 D 点评:本题考查了推理的方法;关键是明确几种推理的特点. 5.用反证法证明命题:“若(a﹣1) (b﹣1) (c﹣1)>0,则 a,b,c 中至少有一个大于 1”时, 下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 都大于 1 B. 假设 a,b,c 中至多有一个大于 1 C. 假设 a,b,c 都不大于 1 D. 假设 a,b,c 中至多有两个大于 1 考点:反证法与放缩法. 专题:证明题;推理和证明. 分析:根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,应先假设要证命题的否定成立.根据要证 命题的否定,从而得出结论.

解答: 解:用反证法证明,应先假设要证命题的否定成立. 而要证命题的否定为:“假设 a,b,c 中都不大于 1”, 故选:C. 点评:本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤,求一个命题的否定,属于中档题.
3 2

6.奇函数 f(x)=ax +bx +cx 在 x= 处有极值,则 ac+2b 的值为( A. 3 B. ﹣3 C. 0

) D. 1

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:计算题. 分析:求出 f′(x) ,因为函数在 x= 处有极值,得到 f′( )=0 即可求出 ac+2b 的值. 解答: 解:f′(x)=3x +2bx+c,依题意得 f′( )=0,即 3a( ) +2b +c=0, 化简得 ac+2b=﹣3, 故选 B 点评:考查学生会利用导数研究函数的极值,掌握函数在某点取极值的条件. 7.如图,阴影部分面积为( )
2 2

A. C.

dx dx+ dx

B. D.

dx+ dx

dx

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:计算题. 分析:由于面积是一个正数,故利用积分求面积时,被积函数应该是一个正数,由此规则结 合图形选出正确选项 解答: 解:由图,在上,g(x)的函数值大,在上,f(x)的函数值大, c b 故阴影部分的面积为∫a dx+∫c dx 故选 B 点评:本题考查定积分在求面积中的应用,确定被积区间与被函数是解题的关键,由于面积 是一个正数,故选择被积函数时一定要注意其符号 >1 (n∈N+) 时, 在验证 n=1 时, 左边的代数式为 (

8. 用数学归纳法证明

+

+…+



A.

+ +

B.

+

C.

D. 1

考点:数学归纳法. 专题:推理和证明. 分析:分析不等式左边的项的特点,即可得出结论. 解答: 解:在 + +…+ >1(n∈N+)中,

当 n=1 时,3n+1=4, 故 n=1 时,等式左边的项为: + ,

故选:A. 点评:本题考查的知识点是数学归纳法的步骤,在数学归纳法中,第一步是论证 n=1 时结论 是否成立,此时一定要分析等式两边的项,不能多写也不能少写,否则会引起答案的错误.解 此类问题时,注意 n 的取值范围. 9.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是( )

A. B. C. D.

函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2) 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2)

考点:函数在某点取得极值的条件;函数的图象. 专题:计算题. 分析:利用函数的图象,判断导函数值为 0 时,左右两侧的导数的符号,即可判断极值. 解答: 解:由函数的图象可知,f′(﹣2)=0,f′(2)=0,并且当 x<﹣2 时,f′(x)>0, 当﹣2<x<1,f′(x)<0,函数 f(x)有极大值 f(﹣2) . 又当 1<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0,故函数 f(x)有极小值 f(2) . 故选 D. 点评:本题考查函数与导数的应用,考查分析问题解决问题的能力,函数的图象的应用. 10.设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为 0,当 x<0 时,f′ (x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0,且 f(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) A. (﹣3,0)∪(3,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞, ﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:首先,构造函数 F(x)= ,然后,判断得到该函数为奇函数,然后,求解导数,

得到该函数值为负数时,自变量的取值,也是就是所求的不等式的解集. 解答: 解:设函数 F(x)= ∵F(﹣x)= , ,

∴函数 F(x)R 上的奇函数, 当 x<0 时,f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0,且 f(3)=0, ∴F′(x)= ,F(3)=0,

∴F(x)在(﹣∞,0)上为增函数,且 F(﹣3)=0, ∴当 x∈(﹣∞,﹣3)时,F(x)<0,此时,f(x)g(x)<0; ∵函数 F(x)R 上的奇函数, ∴当 x∈(0,3)时,F(x)<0,此时,f(x)g(x)<0; 综上,不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(﹣∞,﹣3)∪(0,3) . 故选:D. 点评:本题重点考查了函数的奇偶性和单调性、函数的单调性与导数之间的关系等知识,属 于中档题. 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将正确答案填在答卷的横线上) 11.函数 y=x ﹣x ﹣x 的单调增区间为
3 2



考点:利用导数研究函数的单调性. 分析:先对函数 f(x)进行求导,然后令导函数大于 0 求出 x 的取值范围即可. 解答: 解:∵y=x ﹣x ﹣x∴y'=3x ﹣2x﹣1 令 y'=3x ﹣2x﹣1>0∴x<﹣ 或 x>1 故答案为: (﹣∞,﹣ ) , (1,+∞) 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.出基础题. 12.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在 立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“ “如果两个二面角的半平面分别对应垂直,那 么这两个二面角角相等或互补” ”. 考点:类比推理. 专题:规律型;推理和证明.
2 3 2 2

分析:本题考查的知识点是类比推理,由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质, 由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质, 由平面图形中面的性质类比推理出空间中 体的性质.故由平面几何中的命题:“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或 互补”(边角的性质) ,我们可以推断在立体几何中,相关二面角和形成二面角的两个半平面的 性质. 解答: 解:在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时, 我们常用由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质, 故由平面几何中的命题:“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”(边角 的性质) , 我们可以推断在立体几何中: “如果两个二面角的半平面分别对应垂直,那么这两个二面角角相等或互补”(面与二面角的性 质) , 故答案为:“如果两个二面角的半平面分别对应垂直,那么这两个二面角角相等或互补”. 点评:类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 13.垂直于直线 2x﹣6y+1=0 并且与曲线 y=x +3x ﹣5 相切的直线方程是 3x+y+6=0 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;压轴题. 分析:欲求切线方程,只须求出切点坐标即可,设切点为 P(a,b) ,先利用导数求出在切点 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出 a,b 值.从而问题 解决. 解答: 解:设切点为 P(a,b) ,函数 y=x +3x ﹣5 的导数为 y′=3x +6x 2 3 2 切线的斜率 k=y′|x=a=3a +6a=﹣3,得 a=﹣1,代入到 y=x +3x ﹣5, 得 b=﹣3,即 P(﹣1,﹣3) ,y+3=﹣3(x+1) ,3x+y+6=0. 故答案为:3x+y+6=0. 点评:本小题主要考查互相垂直的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲 线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 14.已知函数 f(x)=x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处相切, 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为 ﹣3 .
3 2 3 2 2 3 2

考点:定积分. 专题:计算题.

分析:由图可知 f(x)=0 得到 x 的解确定出 b 的值,确定出 f(x)的解析式,由于阴影部分 面积为 ,利用定积分求面积的方法列出关于 a 的方程求出 a 并判断 a 的取舍即可.

解答: 解:由图知方程 f(x)=0 有两个相等的实根 x1=x2=0,于是 b=0, ∴f(x)=x (x+a) ,有 ∴a=±3. 又﹣a>0?a<0,得 a=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评:考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力. 15.给出下列四个命题: ①若 f′(x0)=0,则 x0 是 f(x)的极值点; ②“可导函数 f(x)在区间(a,b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a,b)上有极值”; ③若 f(x)>g(x) ,则 f′(x)>g′(x) ; ④如果在区间上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在上一定能取得最大 值和最小值. 其中真命题的序号是 ④ (把所有真命题的序号都填上) . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:当函数 f(x)为常值函数时①、②不正确,当 f(x)=x 、g(x)=﹣2 时,③不正确, ④为函数的性质. 解答: 解:①当函数 f(x)为常值函数时,①不正确; ②当函数 f(x)为常值函数时,②不正确; 2 ③当 f(x)=x ,g(x)=﹣2 时,③不正确; ④为函数的性质,故正确; 故答案为:④. 点评:本题考查函数的性质及概念,注意解题方法的积累,属于基础题. 三.解答题(本大题共 6 小题,75 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 16.求由曲线 y=x +2 与 y=3x,x=0,x=2 所围成的平面图形的面积.
2 2



考点:定积分的简单应用. 专题:计算题. 分析:因为所求区域均为曲边梯形,所以使用定积分方可求解. 解答: 解:联立 ,解得 x1=1,x2=2

∴S=∫0 (x +2﹣3x)dx+∫1 (3x﹣x ﹣2)dx=

1

2

2

2

+

=1

点评:用定积分求面积时,要注意明确被积函数和积分区间,属于基本运算. 17.已知 0<a<1,求证: + ≥9.

考点:不等式的证明. 专题:证明题. 分析:0<a<1?1﹣a>0,利用分析法,要证明 立,从而使结论得证. 解答: 证明:由于 0<a<1,∴1﹣a>0. 要证明 ≥9,
2 2

≥9,只需证明(3a﹣1) ≥0,该式成

2

只需证明 1﹣a+4a≥9a﹣9a ,即 9a ﹣6a+1≥0. 2 只需证明(3a﹣1) ≥0, 2 ∵(3a﹣1) ≥0,显然成立, ∴原不等式成立. 点评:本题考查分析法证明不等式,掌握分析法证题的逻辑关系与语言表达是关键,考查推 理论证能力,属于中档题. 18.已知曲线 y=f(x)=5 ,求: (1)曲线与直线 y=2x﹣4 平行的切线的方程. (2)过点 P(0,5)且与曲线相切的直线的方程. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)求导数,利用曲线与直线 y=2x﹣4 平行,求出切点坐标,即可求出曲线与直线 y=2x﹣4 平行的切线的方程. (2)设切点,可得切线方程,代入 P,可得切点坐标,即可求出过点 P(0,5)且与曲线相 切的直线的方程. 解答: 解: (1)∵f(x)=5 , ∴f′(x)= ,

∵曲线与直线 y=2x﹣4 平行,

∴ ∴x= ∴y=

=2, , , =2(x﹣ ) ,即 16x﹣8y+25=0;

∴曲线与直线 y=2x﹣4 平行的切线的方程为:y﹣ (2)x=0 满足题意; x≠0 时,设切点(a, ∴切线方程为:y﹣ = ) ,则 f′(a)= (x﹣a) , = (0﹣a) , ,

将点 P(0,5)代入可得 5﹣

∴a=4, ∴直线方程为:5x﹣4y+20=0, 综上,直线方程为:5x﹣4y+20=0 或 x=0. 点评:本题考查导数的几何意义,正确理解导数的几何意义是关键. 19. 已知函数 f (x) =ax +bx 的图象经过点 M (1, 4) , 曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间上单调递增,求 m 的取值范围. 考点:函数的单调性与导数的关系;导数的几何意义. 专题:计算题. 分析: (1)将 M 的坐标代入 f(x)的解析式,得到关于 a,b 的一个等式;求出导函数, 求出 f′(1)即切线的斜率,利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1,列出关于 a,b 的另一个等 式,解方程组,求出 a,b 的值. (2)求出 f′(x) ,令 f′(x)>0,求出函数的单调递增区间,据题意知?(﹣∝,﹣2]∪上单 调递增 ∴?(﹣∝,﹣2]∪[0,+∝) ∴m≥0 或 m+1≤﹣2 ∴m≥0 或 m≤﹣3 点评:注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率;直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣ 1. 20.用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一 边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 考点:函数模型的选择与应用. 专题:应用题;压轴题.
3 2

分析:先设容器底面短边长为 xm,利用长方体的体积公式求得其容积表达式,再利用导数研 究它的单调性,进而得出此函数的最大值即可. 解答: 解:设容器底面短边长为 xm,则另一边长为(x+0.5)m, 高为 由 3.2﹣2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6, 设容器的容积为 ym ,则有 y=x(x+0.5) (3.2﹣2x) (0<x<1.6) 3 2 整理,得 y=﹣2x +2.2x +1.6x, (4 分) 2 ∴y'=﹣6x +4.4x+1.6(6 分) 2 2 令 y'=0,有﹣6x +4.4x+1.6=0,即 15x ﹣11x﹣4=0, 解得 x1=1, (不合题意,舍去) . (8 分)
3

从而,在定义域(0,1.6)内只有在 x=1 处使 y'=0. 由题意,若 x 过小(接近 0)或过大(接近 1.6)时,y 值很小(接近 0) , 因此,当 x=1 时 y 取得最大值,y 最大值=﹣2+2.2+1.6=1.8,这时,高为 3.2﹣2×1=1.2. 答:容器的高为 1.2m 时容积最大,最大容积为 1.8m2 分) 点评:本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力,建立函数式、 解方程、不等式、最大值等基础知识. 21.已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1. (1)写出 a1,a2,a3,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论. 考点:数列递推式;数学归纳法. 专题:证明题. 分析: (1)取 n=1,2,3,分别求出 a1,a2,a3,然后仔细观察,总结规律,猜测 an 的值. (2)用数学归纳法进行证明,①当 n=1 时,命题成立;②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2 ﹣ ,当 n=k+1 时,a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,ak+1=2﹣ 都成立. ,当 n=k+1 时,命题

成立.故 an=2﹣

解答: 解: (1)当 n=1,时 S1+a1=2a1=3 ∴a1= 当 n=2 时,S2+a2=a1+a2+a2=5 ∴a2= , 同样令 n=3,则可求出 a3= ∴a1= ,a2= ,a3= 猜测 an=2﹣ (2)①由(1)已得当 n=1 时,命题成立;

②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2﹣



当 n=k+1 时,a1+a2+…+ak+2ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+…+ak=2k+1﹣ak ∴2k+1﹣ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, ∴2ak+1=2+2﹣ ,即 ak+1=2﹣ ,

即当 n=k+1 时,命题成立. 根据①②得 n∈N ,an=2﹣
+

都成立.

点评:本题考查数列的递推式,解题时注意数学归纳法的证明过程.



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