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2015-2016学年江西于都中学高二数学教案:第二讲参数方程


第六课时
一、教学目标:

参数方程与普通方程互化

知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: (1) 、圆的参数方程; (2) 、椭圆的参数方程; (3) 、直线的参数方程; (4) 、双曲线的参数方程。 (二) 、新课探究: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为 F ( x, y ) ? 0 : 在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一致性, 必须根据参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法,体会互化过程,归纳方法。 (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x 0 ) 2 ? ( y \ y 0 ) 2 ? r 2 参数方程为: ?

? x ? x0 ? r cos ? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

(3)椭圆

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? ? x ? a sec ? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan ?

(4)双曲线

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(5)抛物线 y ? 2 Px 参数方程 ?
2

? x ? 2 Pt 2 ? y ? 2 Pt

(t 为参数)

(6)过定点 P( x 0 , y 0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程

? x ? x0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)

3、教师指导学生阅读练习册 P35,理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。 (二) 、例题探析 例 1、 【课本 P40 例 1 题】将下列参数方程化为普通方程
2 ? ? x ? t ? 2t (1) ? 2 ? ?y ? t ? 2

(2) ?

? x ? sin ? ? cos ? ? y ? sin 2?
1 ? x ? 2(t ? ) ? ? t (5) ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?

t ?1 ? x? ? ? t?2 (3) ? ? y ? 2t ? t?2 ?

2 ? x? ? ? 1? t2 (4) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。 (1) ?

? ?x ? 1 ? 2 t ? ?y ? 3 ? 4 t
x? t 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2

(t 是参数)

(2)

x ? 2 cos ? y ? cos 2?

( ? 是参数)

(3)

(t 是参数)

学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 例 3、已知圆 O 半径为 1,P 是圆上动点,Q(4,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中点,当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时,求点 M 的轨迹的参数方程。 学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 (三) 、巩固导练:

1 ? ?x ? t ? 1、 (1)方程 ? t ? ?y ? 2
A、一条直线

表示的曲线(

) 。

B、两条射线

C、一条线段

D、抛物线的一部

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分 (2)下列方程中,当方程 y ? x 表示同一曲线的点
2

?x ? t A、? 2 ?y ? t
2、P 是双曲线 ?

2 ? ? x ? sin t B、? ? ? y ? sin t

?x ? 1 ? 1 C、? ?y ? t

1 ? xos 2t ? ?x ? D、? 1 ? cos 2t ? ? y ? tan t

? x ? 4 sin ? (t 是参数)上任一点, F1 , F2 是该焦点: ? y ? 3 tan ?

求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。
2 2 3、 已知 P ( x, y ) 为圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。

(四) 、小结:本节课学习了以下内容:熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几种方法。 抓住重点题目反思归纳方法,进一步深化理解。

-3-



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