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2014考前冲刺数学第一部分专题五 2014数学八大题型突破

专题五 题型一.函数

2014 数学八大题型突破

函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程, 在近几年的高考中, 函数类试题在 试题中所占分值一般为 22——35 分。一般为 2 个选择题或 2 个填空题,1 个解答题,而且 常考常新。 在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、 函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考 查函数与导数、不等式的综合运用。 其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。 2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。 3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析 几何等也需要用函数与方程思想作指导。 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)和求斜率(切线方程结合函数求最值)问 题。 解题方向整理: 1、抽象函数问题中注意对称与周期的区分及应用。 2、图像判断与应用注意单调性、奇偶性、定义域、局部范围点的坐标符号,会熟练地 画出指数函数、对数函数的图像。 3、强化函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及其特例法的娴熟运用。 4、理解函数中的不等式问题基本考察单调性。 5、恒成立问题是求最值,方法是采用函数单调性、基本不等式、导数法等进行。明确 区间内的极值有且只有一个则必为最值. 6、导数的作用与价值(比大小、求范围、解证不等式、求极值最值、求零点、判根等) 、 导数的几何意 义(曲线上某点的切线的斜率)必须记住且会用。

7、与切线相关的问题从三点出发:一是设切点,二是求导数,三是切点既在曲线上, 又在切线上。 8、函数与导数的综合问题总结为“三步曲”:求导,解导数方程,列 3 行 n 列的表。然 后结合问题展开讨论。同时注意二次求导的合理应用。 题型二.概率与统计 知识点:1、掌握几何概型、古典概型、等可能事件、独立事件同时发生、互斥事件有 一个发生 、二项分布、离散型随机变量及其分布列与期望等知识,并会熟练地解答问题。 2、统计图表的读图、用图,统计中抽样调查的三种方法及其应用。 3、了解线性回归方程、独立性检验、正态分布等常见问题问法及其解答方法。 试题特点: (1)概率统计试题的题量大致为 2 道,约占全卷总分的 6%-10%,试题的 难度为中等或中等偏易。 (2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知 识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近 学生实际的问题。 这样的试题体现了数学试卷新的设计理念, 尊重不同考生群体思维的差异, 贴近考生的实际, 体现了人文教育的精神。 (3) 概率统计试题主要考查基本概念和基本公式, 对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在 n 次独立重复试验中恰 发生 k 次的概率、 离散型随机变量分布列和数学期望、 方差、 抽样方法等内容都进行了考查。 题型与方法:理论与实际相结合的概率问题最为常见。主要区分概率题型,合理归类。 1)等可能事件(给数字,考查排列组合) ; 2)独立、互斥等事件(有概率值出现,且有明显语句如?互不影响、独立?等提示) ; 3)离散型概率,特别注意 二项分布的认识。 题型三.数列 数列题命题有如下趋势: 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题; 难度易、中、难三类皆有。 2.数列中 an 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点。 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试 题时要注意灵活应用。 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和圆锥曲线知识相结

合等。 需掌握的知识与方法: 1.会求数列通项(定义法、构造法、递推法、猜想归纳法等) 、前 n 项和(先要求得通 项,结合通项的特点求解:公式法、分组求和、错位相减法、倒序相加法、裂项法—通项必 须为分式型)等。 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量 a1、 d(或 q) ,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来 简化运算。 3.分类讨论的思想在本章尤为突出。 学习时考虑问题要全面, 如等比数列求和要注意 q=1 和 q≠1 两种情况等等。 4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外。如 an 与 Sn 的转化;将一些数列 转化成等差(比)数列来解决等。
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5.深刻 理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本 章的关键。 6.解题要善于总结基本数学方法。如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳 法、数形结合法等。 7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。 题型四. 三角函数 分析近五年的全国高考试题,有关三角函数的内容平均每年有 25 分,约占 17%,试题 的内容主要有两方面: 其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期,题 型多为选择题和填空题; 其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求植,解决简单的综合问题,除了 在填空题和选择题中出现外, 解答题的中档题也经常出现这方面的内容, 是高考命题的一个 常考的基础性的题型。 其命题热点是章节内部的三角函数求值问题, 命题新趋势是跨章节的学科综合问题。 在 复习过程中突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求 值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的

综合联系,以及三角知识的应用意识。基于以上分析,预测在 2012 年的高考试卷中,考查 三角函数的题仍为一小题一大题。 主要考查“三基” (基础知识、 基本技能、 基本思想和方法) 以及综合能力,难度多为容易题和中档题。 知识与方法: 1、纯粹三角函数题及其三角与向量结合问题大都考查二倍角公式如

cos ?( ? ? ) ? c o ? s co? s ?s i n ?sin ?



cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ? 和 差 角 公 式 的 逆 用 ( 如 熟 记
y ? a c o? s?bs i ? n ? a 2 ?b 2 s i ? n? ( ?) ? c o? s? b )等,必须非常熟练。 a

2 、三角函数的图像问题牢记“五点法”,利用整体思想,只画出 标准正、余弦函数图像 解答问题。 3、三角形中的三角函数必须想到“正余弦定理”,三角形面积公式也是解题的重要工具。 4、实际问题(追逐问题、测量问题等)会转化成三角函数问题,寻求可解三角形求解, 同时注意边角的制约关系。 主要结论: 1)等价关系:△ABC 中,A>B>C ? sinA>sinB>sinC,其它函数名全转化为正弦名。 2)△ABC 的判定: c ?a ?b ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2 2 2

2

c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>

? 2 ? 2

题型五.立体几何 近几年高考试题以基础题和中档题为主, 热点问题主要有证明点线面的关系, 如点共线、 线共点、线共面问题;证明空间线面平行、垂直关系;求空间的角和距离;利用空间向量, 将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合, 使几何问题代数化等等。 考查的重点 是点线面的位置关系及空间距离和空间角, 突出空间想象能力, 侧重于空间线面位置关系的 定性与定量考查,算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三 种语言的相互转化,考查学生对图形的识别、理解和加工能力;解答题则一般将线面集中于 一个几何体中,即以一个多面体为依托,设置几个小问,设问形式以证明和计算为主。

题型方法: 1、小题考查图形的性质,判断位置关系,主抓棱柱(长方体、正方体) 、棱锥(正四面 体)的位置与性质;三视图是必考题型,会还原。 2、解答题常见两到三问:判位置关系,求距离,求角度。熟练建立空间直角坐标系, 化向量求解,理清立体几何问题转化为向量之后算什么,公式要熟悉,特别是空间角,保证 运算正确。 主要结论: 1、正四面体中
棱长为a,高为h= 6 3 6 1 6 2 3 a,外接球半径R ? h ? a,内切球半径r= h ? a,体积V= a 3 4 4 4 12 12

2、棱柱外接球问题:球心在高的中点,到上底面(或下底面)距离为高的一半,求出 底面外接圆的半径,与球心构成一个直角三角形。 3、长方体的体对角线长为 l,从同一顶点出发的三条棱长为 a,b,c,则 a2+b2+c2=l2. 题型六.平面向量 主要以小题型出现,有时也会在三角函数、圆锥曲线等问题中,只是一个基本条件,转 化之后就没有价值。 知识点: 1、向量的模计算方法。
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2、平面向量的基本定理应用。 3、平面向量的运算:加减法(三角形法则、平行四边形法则) 、坐标运算法则。 4、平面向量的数量积:求数量积 ,夹角,模长或范围,投影等。 常考题型与对策: 1、应用平面向量的基本定理将已知向量分解,方法运用三角形法则、平行四边形法则 分解。 2、利用坐标运算解决与向量的垂直、平行等相关的问题,方法是从垂直平行判断的依 据出发。 3、求夹角,方法是从数量积公式出发。 4、求模长,方法是将所求模长的向量平方,转化为数量积计算。至于范围问 题可以转

化为函数、考虑基本不等式、数形结合等。 5、求数量积,方法是从公式出发,利用三角形法则转化到已知模长和夹角的向量上计 算。 题型七.直线与圆 近几年小题大题都有,涉及到直线与圆的位置关系判断,直线被圆截得弦长,夹角,围 成三角形面积等。同时会出现综合性问题。 知识点: 1、直线倾斜角、斜率计算。直线方程(注意效率分类) 2、圆的方程三种形式。
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3、直线与圆、圆与圆位置关系的判断与应用。 题型方法: 1、直线倾斜角、斜率计算。求直线方程(注意斜率分类讨论) 。 2、求圆的方程。待定系数法(找到圆心与半径) 。 3、位置关系判断:直线与圆一般不联立方程,找到半径,求出弦心距,弦长一半构成 直角三角形求解。 有用结论: 1、两圆相交弦所在的直线方程:联立两圆方程相减削去二次项,得到的二元一次方程 为相交线所在的直线方程。 2、圆的参数方程主要解决与圆相关的最值问题。 题型八.圆锥曲线 知识点: 1、椭圆、抛物线、双曲线定义式、标准方程。 2、性质。特别是共性与差异。 3、直线与圆锥曲线的位置关系。 题型与方法: 1、小题多考查相关性质,如求离心率问题(找到 a 与 c 之间的关系,一般不 引入坐标 , 紧抓定义式、图形特征、相关条件等,运用初中平面几何知识就可以解决问题) ;求方程(一 是待定系数法,二是求相关量法) ;求 a,b,c,p 等值(理解这些字母的几何意义,从图形出发
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寻找关系式) 。 2、所涉及椭圆、双曲线上的点到焦点距离作条件,联想焦点三角形(运用定义式、正 余弦定理、三角形面积等求解) 。对抛物线必须注意定义的合理运用,同时注重运用焦半径 公式的应用。 3、解答题中涉及直线与圆锥曲线的交点条件一定要联立方程,判根的判别式 和韦达定 理。此类问题运算量大,必须细心。 4、轨迹问题一般从三方面入手:一是定义法;二是点代入法(或轨迹转移法或叫相关 点法) ,三是参数法。前 二者出现的频率最高,应灵活掌握。 5、定点定值、最值问题: 1)直线过定点问题:定点往往在坐标轴上,将直线化为点斜式 ,给自变量 x 一个常数, 得到一个与其余变量无关的 y 的常数即可。 2)定值问题可以试着找到特殊(平行、垂直、特殊点、特殊图形等)情况先进行验证, 得到定值,再从通性角度验证。 3)最值大多从函数单调性、导数;基本不等式;数形结合思想等角度出发,关键是构 造所需的变量代数式。 6、存在性问题:一般假设存在,先特例验证,再论证,可化为范围问题、定值最值问 题求解。 有用结论: 1、椭圆、双曲线通径长为

2b 2 ;抛物线通径长为 2p。

a

2、求双曲线渐近线方程:将常数 1 用 0 代替,剩余代数式移向等式两边开方取正负即 可。 3、椭圆上点与两焦点连线夹角最大时该点在短轴端点。 4、双曲线焦点到渐近线距离为虚半轴长度 b。 5、 F 椭圆焦点, P 椭圆上任一点, 则|FP|max=a+c, |FP|min=a-c,等号成立时 P 在长轴端点。 F 抛物线焦点,P 是抛物线上任一点,则|FP|min=p/2,等号成立时 P 在原点.


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