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高中数学苏教版必修5课件:第二章 数列 2.2.2.2


阶 段 一

阶 段 三

第 2 课时

等差数列的性质

阶 段 二

学 业 分 层 测 评

1.理解等差中项的概念,并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列. (重点、难点) 2.掌握等差数列的有关性质,能运用等差数列的性质解题.(重点) 3.了解一次函数同等差数列通项公式间的关系.(重点)

[基础· 初探] 教材整理 1 等差数列与一次函数 阅读教材 P39“例 3”及“思考”的有关内容,完成下列问题. 1.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,当 d=0 时,an 是关于 n 的常函数; 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数;点(n,an)分布在以 d 为斜率的直线上,是这 条直线上的一列孤立的点. 2.等差数列通项公式的推广:在等差数列{an}中,已知 a1,d,am,an(m≠n), an-a1 an-am 则 d= = ,从而有 an=am+ (n-m)d n-1 n-m .

1.若{an}是等差数列,若 a2=3,a8=5,则公差 d=________,an=________.
【解析】 a8-a2 5-3 1 n-2 n+7 1 ∵d= = 6 =3,∴an=a2+(n-2)×3=3+ 3 = 3 . 8-2

【答案】

1 n+7 3 3

2.若点(1,an),(2,an+1)在直线 y=x+3 上,则 an+1 与 an 的关系为________.
【解析】
? ?an=1+3, 由题意可知? ? ?an+1=2+3,

∴an+1-an=1,

即 an+1=an+1.

【答案】 an+1=an+1

教材整理 2 等差数列的性质 阅读教材 P41 第 11 题~第 16 题,完成下列问题. 1.等差中项

a+b a+b A= 2 2 如果 a,A,b 这三个数成等差数列,那么 A= .我们把 叫做
a 和 b 的等差中项.

2.等差数列的性质 (1)项的运算性质:在等差数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq. (2)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和, 即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?.

(3)若{an},{bn}分别是公差为 d,d′的等差数列,则有

结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*) {pan+qbn} 公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)
(4){an}的公差为 d,则 d>0?{an}为递增数列;d<0?{an}为递减数列;d=0? {an}为常数列.

数列 {c+an} {c·an}

1.若数列{an}是等差数列,且 a5=10,a9=14,则 a7=________.
【解析】 a5+a9 10+14 a7= 2 = 2 =12,即 a7=12.

【答案】 12 2.在等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=________. 【解析】 由 a7+a9=a4+a12,得 a12=a7+a9-a4=16-1=15. 【答案】 15

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问2:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问3:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________

[小组合作型]

等差中项及其应用
已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数), 且 x1,x4,x5 成等差数列.求 p,q 的值.

【精彩点拨】 由 x1,x4,x5 成等差数列得出一个关于 p,q 的等式,结合 x1 =3 推出 2p+q=3,从而得 p,q.

【自主解答】 由 x1=3,得 2p+q=3,① 又 x4=24p+4q,x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4 得, 3+25p+5q=25p+8q,② 由①②得,q=1,p=1.

在等差数列{an}中,由定义有 an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*),即 an= an+1+an-1 ,从而由等差中项的定义知,等差数列从第 2 项起的每一项都是它前一 2 项与后一项的等差中项.

[再练一题] 1.在-1 与 7 之间顺次插入三个数 a,b,c 使这五个数成等差数列,求此数 列. 【导学号:91730027】

【解】

(1)∵-1,a,b,c,7 成等差数列,

∴b 是-1 与 7 的等差中项, -1+7 ∴b= 2 =3. 又 a 是-1 与 3 的等差中项, -1+3 ∴a= 2 =1. 3+7 又 c 是 3 与 7 的等差中项,∴c= 2 =5, ∴该数列为-1,1,3,5,7.

等差数列的性质及应用
(1)等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,求 2a9-a10 的值; (2)数列{an}为等差数列,已知 a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求数列{an}的通 项公式; (3)在等差数列{an}中,a15=8,a60=20,求 a75 的值.

【精彩点拨】 (1)利用等差中项求解; (2)利用 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 求解; am-an (3)利用 d= 求解. m-n

【自主解答】

(1)由等差数列的性质,得

a1+3a8+a15=5a8=120, ∴a8=24,又 2a9=a8+a10, ∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24. (2)∵a2+a8=2a5,∴3a5=9, ∴a5=3,∴a2+a8=a3+a7=6,① 又 a3a5a7=-21, ∴a3a7=-7.②

由①②解得 a3=-1,a7=7 或 a3=7,a7=-1. ∴a3=-1,d=2,或 a3=7,d=-2. 由通项公式的变形公式 an=a3+(n-3)d, 得 an=2n-7 或 an=-2n+13. (3)∵a60=a15+(60-15)d, 20-8 4 ∴d= = , 60-15 15 4 ∴a75=a60+(75-60)d=20+15×15=24.

解决本类问题一般有两种方法: 一是运用等差数列 {an}的性质:若 m+n=p+q=2w,则 am+an=ap+aq= 2aw(m,n,p,q,w 都是正整数); 二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算,属于通性通法, 两种方法都运用了整体代换与方程的思想.

[再练一题] 2.已知等差数列{an},满足 a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,求 a2,a3,a4.
【解】 ∵{an}为等差数列,∴2a3=a2+a4,∴3a3=18, ∴a3=6,设公差为 d,则(6-d)×6×(6+d)=66, ∴d2=25,∴d=± 5,
? ?a2=1, ∴? ? ?a4=11 ? ?a2=11, 或? ? ?a4=1.

[探究共研型]

等差数列的设法与求解
探究 1 若三个数成等差数列,如何设这三个数使计算较为方便?
【提示】 设等差中项为 a,公差为 d,则这三个数分别为 a-d,a,a+d, 这样计算较为方便.

探究 2 若四个数成等差数列,如何设这四个数使计算较为方便? 【提示】 设这四个数分别为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,计算较为方便.

(1)三个数成等差数列,和为 6,积为-24,求这三个数; (2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为 2,首末两项的积为-8,求这四 个数.

【精彩点拨】 (1)根据三个数成等差数列,可设这三个数为 a-d,a,a+d(d 为公差); (2)四个数成递增等差数列, 且中间两数的和已知, 可设为 a-3d, a-d, a+d, a+3d(公差为 2d).

【自主解答】

(1)法一:设等差数列的等差中项为 a,公差为 d,

则这三个数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,3a=6 且 a(a-d)(a+d)=-24, 所以 a=2,代入 a(a-d)(a+d)=-24, 化简得 d2=16,于是 d=± 4, 故三个数为-2,2,6 或 6,2,-2.

法二:设首项为 a,公差为 d,这三个数分别为 a,a+d,a+2d,依题意,3a +3d=6 且 a(a+d)(a+2d)=-24, 所以 a=2-d,代入 a(a+d)(a+2d)=-24, 得 2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12, 即 d2=16,于是 d=± 4, 故三个数为-2,2,6 或 6,2,-2.

(2)法一:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为 2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即 a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1 或 d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.

法二:若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d), 依题意,2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8, 3 把 a=1-2d 代入 a(a+3d)=-8,
? 3 ?? 3 ? 得?1-2d??1+2d?=-8,即 ? ?? ?

9 2 1-4d =-8,

化简得 d2=4,所以 d=2 或-2. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0,所以 d=2, 故所求的四个数为-2,0,2,4.

利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算.一般地有如下规律:当等 差数列{an}的项数 n 为奇数时,可设中间一项为 a,再用公差为 d 向两边分别设 项:?,a,-2d,a-d,a,a+d,a+2d,?;当项数为偶数项时,可设中间两 项为 a-d,a+d,再以公差为 2d 向两边分别设项:?,a-3d,a-d,a+d,a +3d,?,这样可减少计算量.

[再练一题] 3.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为 18,平方和为 116, 求这三个数.

【解】 设这三个数为 a-d,a,a+d,由已知,得
? ??a-d?+a+?a+d?=18, ? 2 2 2 ? ? a - d ? + a + ? a + d ? =116, ?

① ②

由①得 a=6,代入②得 d=± 2. ∵该数列是递增的,∴d=-2 舍去, ∴这三个数为 4,6,8.

[构建· 体系]

1.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为________.

a1+a5 【解析】 由等差中项的性质知 a3= 2 =5,又 a4=7,∴公差 d=a4-a3 =7-5=2.
【答案】 2

2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为________. 【解析】 ∵a1+a9=2a5,∴a5=5. 【答案】 5
3.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________. 【导学号:91730028】 【解析】 根据等差中项的性质,得 a2+a8=a4+a6=a3+a7=2a5=37, ∴a2+a4+a6+a8=4a5=74.

【答案】 74

4.在-1 和 8 之间插入两个数 a,b(a<b),使这四个数成等差数列,则 a= ________,b=________.
【解析】
? ?a+b=7, 由题意,? ? ?2b=a+8, ? ?a=2, 解得? ? ?b=5.

【答案】 2 5

5.成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四 个数. 【解】 设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题设得
? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ? ??a-d??a+d?=40, ? ?4a=26, ∴? 2 2 ? ?a -d =40.

13 ? ?a= 2 , 解得? ?d=3 2 ?

13 ? ?a= 2 , 或? ?d=-3, 2 ?

所以这四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(八)

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