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高二理科数学期中考试练习题

高二理科数学期中考试练习题
一、选择题:
1.函数 y= ( x ? 1)( x ? 2 ) 的定义域是( A. {x|x≥1 或 x≤-2} C.{x|x≥2 或 x≤-1} )

B.{ x|-1≤x≤2} D.{ x|-2≤x≤1} ( ) D.-20
Sn } 的前 11 项的和为( n D.-66

2.在 ? ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60 ? ,则 BC ? CA 的值为 A.10 B. 20 C.-10

3. 设数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn,且 a n ? ? 2 n ? 1 ,则数列 { A.-45 B.-50 C.-55
n

D )

2 2 2 4. 在数列{an}中, n 为其前 n 项之和, S n ? 2 ? 1 , a 12 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n 等于 S 且 则 (



A.(2n-1)2

B. ( 2 n ? 1) 2
3

1

C.4n-1

D. ( 4 n ? 1)
3

1

5.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 4,偶数项之和为 3,则 n 的值是( ) A A.3
2

B.5

C.7

D.9 )

6.若函数 f(x)=x -2ax+1 在(4,+∞)是是增函数,则实数 a 的取值范围为( (A)a<4 (B) a≤4
a

(C) a<2
b

(D)

a≤2 )

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

7.设 a 、 b 是实数,且 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值是 ( A.6 B. 4 2 C. 2 6

D.8

? 2 ?x -4x+6,x≥0 8.设函数 f(x)=? 则不等式 f ? x ? ? f ?1? 的解集是( ? ?x+6,x<0

)A

A.(-3,1) ? (3,+ ? ) C.(-1,1) ? (3,+ ? )

B.(-3,1) ? (2,+ ? ) D.(- ? ,-3) ? (1,3) )D

a b 9. “ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的(

A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D. 必要不充分条件 10.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货 车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运 输费用为 ( )C A. 2800 元 B. 2400 元 C. 2200 元 D. 2000 元

11.下列有关命题的说法中错误的是( ) D .. A.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. B. x ? 1 ”是“ x ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. “
2

C.命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1, 则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”.
2
2

D. 对于命题 p : ? x 0 ? R , 使得 x 0 ? x 0 ? 1 <0, ? P : ? x 0 ? R , x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 则 使
2 2

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 12.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 , ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0 , b ? 0 ) 的最大值 ? x ? 0, y ? 0 ? 1 1 为 1,则 ? 的最小值 ( )D a b 25 8 11 A. B. C. D. 4 6 3 3

二、填空题:
13.在△ ABC 中,已知 BC ? 8,
AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ?

.

7 25

14.在等差数列 ?a n ? 中,若 a1 0 0 3 ? a 1 0 0 4 ? a 1 0 0 6 ? a .(14)2009

1007

? 4 ,则该数列的前 2009 项的和是

15.记 s n 为等比数列的前 n 项和,若 s1 , 2 s 2 , 3 s 3 成等差数列,则数列 ? a n ? 的公比为 16.命题“ ? x 0 ? R ,使 ax 0 - 2 ax 0 ? 3 ? 0 成立”是假命题,则实数 a 的取值范围为
2



1 3


16. [0,3] ; 17.已知钝角△ABC 的三边 a=k, b=k+2, c=k+4, k 的取值范围____________。 17. (2,6) 求 a 2n 2n 18.给出下列几个命题:① a ? b ? ? 1 ;② a ? b ? a ? b ;③ a ? b ? a ? b ; b ④ a ? b ? a ? b ;⑤ a ? b ?
1 a ? 1 b
1 1

;⑥ a ? b ? a 3 ? b 3 ,其中,真命题是

(请把正确命题的序号都填上)

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19. △ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 a , b , c 成等比数列, cos B ?
求(1)
1 tan A ? 1 tan C 3 4 .

的值;

??? ??? ? ? 3 (2)设 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值. 2

19. 解: (1)由 cos B ?

3

3 2 7 , ,得 sin B ? 1 ? ( ) ? 4 4 4

2 由 b ? ac 及正弦定理得

sinB?
2

s iA n
?

s Cn i

.

于是

1 tan A

?

1 tan C

?

cos A sin A

?

cos C sin C

sin C cos A ? cos C sin A sin A sin C

?

sin( A ? C ) sin B
2

?

sin B sin B
2

?

1 sin B

?

4 7

7.

??? ??? ? ? 3 3 (2)由 BA ? BC ? ,得 ca ? cos B ? , 2 2
由 cos B ?
3 4
2 ,可得 ca ? 2 ,即 b ? 2 .

由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos B ,得 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2 ac cos B ? 5 ,
( a ? c ) ? a ? c ? 2 ac ? 5 ? 4 ? 9,
2 2 2

?a ?c ? 3.

20.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ?

2 sin C .

(I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数
6 1

20.解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积
1 2 BC ?AC ?sin C ?
2 2 2

2 ? 1 , BC ? AC ?

2 AB ,

1 6

sin C ,得 BC ?AC ?
2

1 3


2

由余弦定理,得 cos C ?

AC ? BC ? AB 2 AC ?BC

?

( AC ? BC ) ? 2 AC ?BC ? AB 2 AC ?BC

?

1 2



所以 C ? 60 .
?

21.关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? 4 ? m 2 ≤0 (1)若不等式的解集为[1,3] 求实数 m 的值 (2)若不等式在[-1,3]上恒成立,求实数 m 的取值范围 21、 (1) m ? ? 1

(2)

? x ? 4 x ? 4 ? m ≤0,
2 2

? [ x ? (2 ? m )][ x ? (2 ? m )] ≤0. ? 不 等 式 在 [ ? 1, 3]上 恒 成 立 , ? 2 ? m ≤? 1, 且 2 ? m ≥ 3, ? m ≥ 3. ? 2 ? m ≤? 1且 2 ? m ? 3, ? m ≤? 3. (3)当 m ? 0时 , 不 合 题 意 . ? m的 取 值 范 围 是 m ≥ 3或 m ≤? 3.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分

(1)当 m ? 0时 , 不 等 式 解 为 2 ? m ? x ? 2 ? m .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分

(2)当 m ? 0时 , 不 等 式 解 为 2 ? m ≤ x ≤2 ? m . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 分

22 . 已 知 数 列 { a n } 的 各 项 均 为 正 数 , S n 为 其 前 n 项 和 , 且 对 任 意 的 n ? N ? , 有
Sn ? 3 2 an ? 3 2

.

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
1 log 3 a n ? log 3 a n ?1

,求数列 ? bn ? 的前 n 项和 Tn .
3 2

22.解: (1)由已知得 S n ? ∴ S n ? S n ?1 ?
3 2 an ? 3 2

3 2

an ?

,∴当 n ? 2 时, S n ?1 ?
3 2 an ? 3 2

3 2

a n ?1 ?

3 2



a n ?1 ,即 a n ?

a n ?1 ,∴当 n ? 2 时, a n ? 3 a n ?1 ;

∴数列 { a n } 为等比数列,且公比 q ? 3 ; 又 当 n ? 1 时 , S1 ?
3 2 a1 ? 3 2

, 即 a1 ?

3 2

a1 ?

3 2

, ∴ a1 ? 3 ; ∴ a n ? 3

n

.

(2)∵ log 3 a n ? log 3 3 ? n ,∴ bn ?
n

1 log 3 a n ? log 3 a n ?1

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1



∴ ? bn ? 的前 n 项和
Tn ? (1 ? 1 2 )?( 1 1 1 1 1 1 1 n ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

23.投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200m2,可获利润 300 万元,投资生产 B 产品时,每生产 100 吨需资金 300 万元,需场地 100m2,可获利润 200 万元, 某单位有可使用资金 1400 万元, 场地 900 m2, 问作怎样的组合可获利最多? 最多利润是多少?

资金(万元) A 产品(每百吨) B 产品(每百吨) 200 300

场地(m2) 200 100

利润(万元) 300 200

23、解:设生产 A 产品 x 为吨,生产 B 产品 y 为吨,总利润为 Z 万元,依题意得:
? 200 x ? 300 y ? 1400 ? 2 x ? 3 y ? 14 ? ? ? 200 x ? 100 y ? 900 即 ? 2 x ? y ? 9 又 Z ? 300 x ? 200 y ? x, y ? 0 ? x, y ? 0 ? ? (1)①作出可行域,如图(略) ②作出目标函数 Z ? 300 x ? 200 y 图象 (8 分)

(4 分)

13 ? ?x ? 4 ? 2 x ? 3 y ? 14 13 5 ? ? ? 即当 x ? , y ? 时,可获利最多, (10 分) ? 4 2 ?2 x ? y ? 9 ?y ? 5 ? 2 ? 13 5 ? 200 ? =1475 (万元) (12 分) 且最多为 Z =300 ? 4 2

24、设数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 3 a 2 ? 3 2 a 3 ? ? ? 3 n ?1 a n ? ①求 ?a n ? 的通项公式;②设 b n ?
2

n 3

(n ? N ? )

n an

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n 。
n ?1

24、解: (1)∵ a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? 3
2

an ?
n?2

n 3

(n ? N ? )

①∴当 n ? 2时, a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? 3 由①—②得, 3 式为 a n ? (2)∵ b n ?
1 3
n n ?1

a n ?1 ?

n ?1 3
1 3



an ?

1 3

∴an ?

1 3
n

,此时因 a 1 ?

满足上式,∴数列 ?a n ? 的通项公

n an
2



∴由(1)知 b n ?
2 n

n 3n



∴ bn ? n ? 3

n

? s n ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? ?3
2 3 4

①? 3 s n ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 3 ? n ? 3
n

n ?1

②由-2 s n ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3
2 3 n

n ?1

3 ?1 3 ( 2 n ? 1) n ?1 ? sn ? ? ?3 4 4

=

3

n ?1

?3

? n ?3

n ?1

25、数列 ?bn ? 前 n 项和为 S n 且 b1 ? 1

bn ? 1 ?

1 3

Sn

(1)求 b2 , b3 , b4 的值; (2)求 ?bn ? 的通项公式; (3)求 b2 ? b4 ? b6 ? ? ? ? b2 n 值;

25、解: (1) b 2 ?

1 3

S1 ?

1 3

b3 ?

1 3

S2 ?

4 9

b4 ?

1 3

S3 ?

16 27

1 ? ? b n ?1 ? 3 S n     ① ? (2) ? ? b ? 1 S     ② ? n 3 n ?1 ?

①-②解 bn ? 1 ? bn ?
? b2 ? 1 3 ? bn ?

1 3

bn

bn ? 1 ?

4 3

bn

1 4 n?2 ( ) 3 3

(n ? 2 )

(n ?1   ? 1) ? ? bn ? ? 1 4 n?2 ? ( ) (n ? 2) ?3 3

(3) b 2 , b 4 , b 6 ?? b 2 n 是首项为
1

1

4 2 ,公比 ( ) 的等比数列。 3 3

b 2 ? b 4 ? b6 ? ? ? b 2 n

4 2n [1 ? ( ) ] 3 4 2n 3 ? 3 ? [( ) ? 1] 4 2 7 3 1? ( ) 3


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