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2011届高考数学二轮复习系列课件19《二轮复习-函数》


2010届高考数学二轮 复习系列课件

19《函数》

二轮复习专题 试题特点 1. 高考函数试题考查情况

函数

2008年的高考在全国19套试卷中,都有体现,重点考 查了函数的定义域、值域、指数函数、对数函数、二次函 数的图象及其性质,函数的应用,函数与导数的综合,处 理最值、单调性问题、求解析式、求参数范围等. 据此可知,有关函数的试题是高考命题的重要题型, 它的解答需要用到函数的基础知识、基本性质,导数的相 关知识,其命题热点是伴随导数知识的考查,出现频率较 高的题型是最值、范围命题。

试题特点 2. 主要特点 纵观近年来高考试题,特别是2008年高考试题,函数 纵观近年来高考试题,特别是 年高考试题, 年高考试题 试题有如下特点: 试题有如下特点: (1)全方位. 近几年来的高考题中,函数的所有知识点 都考过,虽然近几年不强调知识的覆盖率,但每一年函数 知识点的覆盖率依然没有减小. (2)多层次. 在每年高考题中,函数题低档、高档难度 都有,且选择、填空、解答题型齐全;低档难度题一般仅 涉及函数本身的内容,诸如定义域、值域、单调性、周期 性、图象,且对能力的要求不高;中、高档难度题多为综 合程度较大的问题,或者函数与其他知识结合,或者是多 种方法的渗透.

试题特点

(3)巧综合. 为了突出函数在中学中的主体地位, 近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透,加 大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包 括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能 力)的综合程度. ) . (4)变角度. 出于“立意”和创设情景的需要, 函数试题设置问题的角度和方式也不断创新,重 视函数思想的考查,加大了函数应用题、探索题、 开放题和信息题的考查力度,从而使函数考题显 得新颖、生动、灵活.

应试策略 1. 高考函数试题,主要有以下几种形式: 高考函数试题,主要有以下几种形式: (1)函数内容本身的综合,如函数的概念、图象、性质等方面 的综合. (2)函数与其他知识的综合,如方程、不等式、数列、平面向 量、解析几何等内容与函数的综合,主要体现函数思想的 运用; (3)与实际问题的综合,主要体现在数学模型的构造和函数关 系的建立.

应试策略 2. 在系统复习阶段,我们分别研究了函数的性质(单调性、 在系统复习阶段,我们分别研究了函数的性质 单调性 单调性、 奇偶性、最值等 和图象 画图、识图、用图), 和图象(画图 奇偶性、最值等)和图象 画图、识图、用图 ,本轮复习的 重点是函数图象和性质综合问题的解法. 重点是函数图象和性质综合问题的解法 在函数的诸多性质中,单调性和最值是复习的重点,也是 高考的频考点. 函数的图象可以全面反映函数的性质,而 熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象,从而 自觉地养成用数形结合的思想方法解题的习惯.

应试策略 3. 重视函数思想的指导作用 用变量和函数来思考问题的方 重视函数思想的指导作用. 法就是函数思想. 函数思想是函数概念、 法就是函数思想 函数思想是函数概念、性质等知识在更 高层次上的提炼和概括, 高层次上的提炼和概括,是在知识和方法反复学习运用 中抽象出来的带有观念性的指导方法. 函数思想的应用: 中抽象出来的带有观念性的指导方法 函数思想的应用: (1)在求变量范围时,考虑能否把该变量表示为另一变量的函 数,从而转化为求该函数的值域; (2)构造函数是函数思想的重要体现; (3)运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的那些规 律和性质,从而更快更好地解决问题.

应试策略 4. 重视导数在研究函数性质方面的重要作用 利用导数求闭 重视导数在研究函数性质方面的重要作用. 区间上连续函数的极值、最值, 区间上连续函数的极值、最值,研究函数在某一个闭区 间上的单调性,求函数的单调区间,已经成为新的命题 间上的单调性,求函数的单调区间, 热点,在学习中应给予足够重视 热点,在学习中应给予足够重视.

考题剖析
一、函数的图象 1、课标要求 、 (1)掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、 一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等; (2)识图与作图:对于给定的函数图象,能从图象的左右、上下分布范围, 变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周 期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题;能认识与实际情 景结合的函数图象题。 2、解题注意事项 、 掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体 现。复习函数图像要注意以下方面。 (1)掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法. (2)会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问 题. (3)用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学 问题. (4)掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分 析能力.

考题剖析

例1、(2008广东汕头二模)设集合A={x|x<-1或x>1}, B={x|log2x>0},则A∩B=( ) A.{x| x>1} B.{x|x>0} C.{x|x<-1} D.{x|x<-1或x>1} 解:由集合B得x>1 ,∴ A∩B={x| x>1},故选(A) 。
点评]本题主要考查对数函数图象的性质, [ 点评 ] 本题主要考查对数函数图象的性质, 是函 数与集合结合的试题,难度不大,属基础题。 数与集合结合的试题,难度不大,属基础题。

考题剖析

例2、(2008广东惠州一模)“龟兔赛跑”讲述了这 样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲 起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点 了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达 了终点…用S1 、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程, t为时间,则下图与故事情节相吻合的是 ( )

考题剖析

解:选(B),在(B)中,乌龟到达终点时, 兔子在同一时间的路程比乌龟短。
[ 点评 ] 函数图象是近年高考的热点的试题,考查 点评] 函数图象的实际应用,考查学生解决问题、分析问题的 能力,在复习时应引起重视。

考题剖析

二、复合函数与分段函数 1、课标要求 (1)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能 简单应用; (2)了解简单复合函数的求法,会求复合函数的 函数值。 2、解题注意事项 (1)解分段函数要注意第个子区间的定义域,每 个子区间的解析式有所不同; (2)对于复合函数y=f[g(x)],可以令y=f(u), u=g(x),取u为中间变量,分开求解,容易理解。

考题剖析

例3、(2008广东惠州一模)设 f ( x ) = 1 + x

,又记 1 x f1 ( x ) = f ( x ) , f k +1 ( x ) = f ( f k ( x ) ) , k = 1, 2, , 则 f ( x ) = ( ) 1+ x x 1 1 A.1 x ; B.x + 1 ; C.x; D. x ;
2008

x 解:依题意,计算得:f ( x ) = 1 + x , f 1
1

2 ( x) =

1 + f1 1 = 1 f1 x

f3 ( x ) =

1 + f3 1 + f2 x 1 = , f4 ( x ) = =x 1 f2 x + 1 1 f3


4 n +3 4n

x 1 据此 , f ( x) = x +1, f ( x) = x 因为2008为4n型,故选(C).

f 4 n +1 ( x ) =

1+ x 1 , f4n+2 ( x ) = 1 x x



考题剖析 点评]本题考查复合函数的求法, [ 点评 ] 本题考查复合函数的求法 , 以及是函数周 期性,考查学生观察问题的能力,通过观察,关于总结、 期性, 考查学生观察问题的能力, 通过观察, 关于总结、 归纳,要有从特殊到一般的思想。 归纳,要有从特殊到一般的思想。

三、函数的性质

考题剖析

1、课标要求 (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小) 值及其几何意义; (2)结合具体函数,了解奇偶性的含义; 2、解题注意事项 、 (1)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 其次确定f(-x)与f(x)的关系; 最后作出相应结论: 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数; 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。 (2)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 任取x1,x2∈D,且x1<x2; 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。 (3)用导数判断函数的单调性,函数导数大于零,在该区间上,函数是单 调递增的,函数导数小于零,则函数是递减的。

考题剖析

例4、(2008广东高考试题)设 k ∈ R ,函数
1 ,x < 1 , 1 x f ( x) = x 1,x ≥ 1

, F ( x ) = f ( x ) kx x ∈ R

,试讨论函

数F(x)的单调性.
上是减函数; 在

F ( x)
[1, +∞ )

考题剖析

【解析】

1 kx, F ( x) = f ( x) kx = 1 x x 1 kx,
F ( x) = 1 kx ( x < 1) 1 x

x < 1, x ≥ 1,

1 (1 x) 2 k , F '( x) = 1 k , 2 x 1

x < 1, x ≥ 1,

对于 , 当 k ≤ 0时,函数F(x)在 (∞,1) 上是增函数; 1 ,1) k > 0 时,函数F(x)在 (∞,1 1 )上是减函数,在 (1 当 k k 上是增函数; 1 k ( x ≥ 1) F ( x) = 对于 , 2 x 1 当 k ≥ 0 时,函数F(x)在 [1, +∞ ) 上是减函数; 1 当 k<0 时,函数F(x)在 1,1 + 1 上是减函数,在 1 + 4k , +∞ 4k 上是增函数。
2
2

考题剖析 点评] [ 点评 ] 在处理函数单调性的证明时,可以充分利 用基本函数的性质直接处理,但学习了导数后,函数的 单调性就经常与函数的导数联系在一起,利用导数的性 质来处理函数的单调进性,显得更加简单、方便。

考题剖析 例5. 已知函数f (x)=x2-2x-3, x∈[0,1], g (x)=x3-3a2x-2a, x∈[0,1]. (1)求f (x)的值域M; (2)若a≥1,求g (x)的值域N; (3)在(2)的条件下,若对于任意的x∈[0,1],总存在 x0∈[0,1]使得f(x1)=g(x0),求a的取值范围.

考题剖析 [解析] (1)∵f (x)=(x-1)2-4, x∈[0,1] 解析] 故f (x)值域为M=[-4,-3] (2) ∵g′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2) x [0,1] ∵x∈[0,1] , a≥1 ∴x2-a2≤0 即g′(x) ≤0 ∴g (x)=x3-3a2x-2a在[0,1]上单调递减 故g (x)的值域为N=[1-2a-3a2,-2a]

考题剖析

(3) ∵对任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1] 使f(x1)=g(x0) ∴M N
5 a ≥ 1或 a ≤ 1 2a 3a 2 ≤ 4 3 即 ∴ 2a a ≤ 3 2a ≥ 3 2

3 又∵a≥1, ∴a∈[1, ] 2

[点评] 利用函数单调性求函数值域或最值是一种常用的方 点评] 法,在证明单调性时,既可以利用单调性的定义, 也可以利用导数,在解题中要灵活运用.

四、指数函数 一.课标要求 1.指数函数 . 的衰减, (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 )通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人 的衰减 体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景; ),了解指数函数模型的实际背景 体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握 )理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义, 幂的运算。 幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函 )理解指数函数的概念和意义, 数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点; 数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 )在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、解题注意事项 、 (1)指数函数的性质: )指数函数的性质: 函数的定义域为R;函数的值域为;( ,+∞ ;(0,+ 函数的定义域为 ;函数的值域为;( ,+∞) 时函数为减函数, 时函数为增函数。 当0<a<1时函数为减函数,当a>1时函数为增函数。 < < 时函数为减函数 > 时函数为增函数 (2)函数图像: )函数图像: 指数函数的图象都经过点( , ),且图象都在第一、二象限; ),且图象都在第一 ①指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限; 指数函数都以x轴为渐近线 轴为渐近线( ②指数函数都以 轴为渐近线(当0<a<1时,图象向左无限接近轴,当a>1时, 时 图象向左无限接近轴, 时 图象向右无限接近轴)。 图象向右无限接近轴)。

考题剖析

考题剖析

、(2007山东) 山东) 例6、( 、( 山东 1 N = x ∈ Z < 2 < 4,则 M ∩ N = 已知集合 M = { 1,1} , () 2 A. {-1,1} B. {-1} C. {0} D. {-1,0} - - - 解:集合N为: = {x ∈ Z 21 < 2 x+1 < 22 } N 由于底数为2,由指数函数的性质,得: -1<x+1<2,即-2<x<1 即:N={x|-2<x<1} 所以, M ∩ N = {-1},故选(B)。 - ,故选( )。
x +1

点评:指数函数主要考查指数函数图象的性质及其 应用,常与集合、对数等知识相结合综合考查。

五、对数函数 1.课标要求 . (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成 )理解对数的概念及其运算性质, 自然对数或常用对数;通过阅读材料, 自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算 的作用; 的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解 )通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; 对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计 算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; (3)知道指数函数与对数函数互为反函数(a>0,a≠1)。 )知道指数函数与对数函数互为反函数( > , )。 2、解题注意事项 、 (1)函数的性质 ) 函数的定义域为( ,+ );函数的值域为 ,+∞);函数的值域为R; 函数的定义域为(0,+ );函数的值域为 ; 时函数为减函数, 时函数为增函数; 当0<a<1时函数为减函数,当a>1时函数为增函数; < < 时函数为减函数 时函数为增函数 (2)对数函数与指数函数互为反函数。 )对数函数与指数函数互为反函数。 (3)函数图像: )函数图像: 对数函数的图象都经过点( , ),且图象都在第一、四象限; ),且图象都在第一 ①对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限; 对数函数都以y轴为渐近线 轴为渐近线( ②对数函数都以 轴为渐近线(当0<a<1时,图象向上无限接近轴;当a>1时, 时 图象向上无限接近轴; 时 图象向下无限接近轴) 图象向下无限接近轴).

考题剖析

考题剖析

、(2008北京文)若 a = log3 π,b = log 7 6,c = log 2 0.8 ,则 北京文) 例7、( 、( 北京文 正确的( 正确的( ) (A)a>b>c (B)b>a>c ) ) (C)c>a>b (D)b>c>a ) ) 【解析】利用中间值0和1来比较:
a = log 3 π>1,0 < b = log 7 6 < 1,c = log 2 0.8 < 0

故选(A)。 【点评】掌握对数函数的图象的性质,由图象可知, 一个对数,当底数大于1时,如果真数小于1,则这个 对数是负数;由换底公式,可得如果真数小于底数且 大于1,则这个对数是小于1有正数,如果真数大于底 数,则这个对数的值大于1。

六、函数的综合应用 1.课标要求: .课标要求: (1)掌握函数零点的概念,会用二分法近似地求函数的零点。 (2)利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实 例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义; (3)收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用。 2、解题注意事项 函数应用问题是高考的热点,高考对应用题的考察即考小题又考大题, 而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用 题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要,函数试题设置问题的角度和 方式也不断创新,重视函数思想的考察,加大函数应用题、探索题、开放题 和信息题的考察力度,从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问 题.函数描述了自然界中量的依存关系,是对问题本身的数量本质特征和制 约关系的一种刻画,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征, 建立函数关系.因此,运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓, 掌握有关函数知识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法研究函 数的能力,树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关 键.

考题剖析

考题剖析

例8、 (2008广东高考试题 广东高考试题)某单位用2160万元购得一 广东高考试题 块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层 2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x (x≥10)层,则每平方米的 平均建筑费用为 560+48x(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均 综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用, 购地总费用 平均购地费用= 建筑总面积 )

考题剖析

解:设楼房每平方米的平均综合费为元,依题意 得 2160 × 10000 10800
y = (560 + 48 x) +
10800 y′ = 48 x2

则 ,即 ,解得 x = 15 当 x > 15 时,y′ > 0 ;当 0 < x < 15 时, ′ < 0 , y 因此,当x=15时,y取得最小值:2000元.
10800 48 =0 x2

2000 x ,令 y′ = 0

= 560 + 48 x +

x

( x ≥ 10, x ∈ N * )

答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该 楼房应建为15层。

考题剖析

[点评]这是一题应用题,利用函数与导数的知识来 点评]这是一题应用题, 解决问题。利用导数,求函数的单调性、求函数值域 解决问题。 或最值是一种常用的方 法.

考题剖析

例9、(2008山东荷泽模拟题)函数 的零点所在的区间是( ) A.(0,1] B.(1,10) C.(10,100] D.(100,+∞)

f ( x) = lg x

1 x

解:因为f(1)=0-1<0,f(10)=1- >0,即f(1)f(10)<0, 所以函数f(x)在区间(1,10)之间有零点。 所以,选(B)。

1 10

考题剖析

[点评]如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,且 点评]如果函数 ( )在区间[ , ]上连续, f(a)f(b)< ,则函数 (x)在区间(a,b)上 )<0,则函数f( )在区间( , ) ( ) ( )< 有零点,函数的零点,二分法, 有零点,函数的零点,二分法,函数的应用都是函数 的重点内容。这是一题应用题, 的重点内容。这是一题应用题,利用函数与导数的知 识来解决问题。 识来解决问题。利用导数,求函数的单调性、求函数 值域或最值是一种常用的方 法.

考题剖析 七、幂函数 1.课标要求: .课标要求: (1)了解幂函数的概念,能够运用函数的性质,幂函数的性质 解决某些简单的实际问题。 (2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x-2的图象, 了解它们的变化情况。 2、解题注意事项 (1)幂函数因幂指数不同而性质各异,图象更是多样,熟悉某 些图象的分布,着重掌握图象在第一象限的部分,抓住特殊点 (1,1),并注意与y=x和y=x-1进行比较,掌握它们的变化规 律。 (2)在(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越靠近x轴, 在(1,+∞)上,幂函数的指数越大,函数图象越远离x轴。 (3)幂函数的图象过(1,1)点,图象会出现在第一象限,一 定不会出现在第四象限,至于是否会出现在二三象限内,要看 函数的奇偶性。

考题剖析 例10、下列四个结论中,正确的是( ) (A)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)两点 (B)幂函数的图象不可能出现在第四象限 (C)当n>0时,幂函数y=xn的值随x的增大而增大 (D)当n=0时,幂函数y=xn的图象是一条直线 分析:当a>0时,幂函数的图象过点(0,0),当a<0时, 分析 幂函数的图象不过原点,故(A)错;当n>0时,幂函数y= xn 在第一象限内y随x的增大而增大,故(C)错;当n=0时,幂 函数y= xn中x≠0,故它的图象是两条射线,(D)错。 解:选(B) 点评:对于幂函数的学习,容易受到指数函数学习的影 点评 响,造成这样或那样的错误,在学习中应注意它们的区别与 联系。

考题剖析
八、反函数 1.课标要求: .课标要求:
知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1)。

2、解题注意事项 (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称; (2)原函数的定义域就是它的反函数的值的域,原函数的值域就是它的 反函数的定义域。
湖南文) 例11、(2008湖南文 函数f(x)=x2(x≤0)的反函数是( 、 湖南文 )
1

A. f

( x) =

x ( x ≥ 0)

B. f

1

( x ) = x ( x ≥ 0)
( x ) = x 2 ( x ≤ 0)

C. f

1

( x ) = x ( x ≤ 0)

D. f

1

分析:由原函数的定义域x≤0,知反函数的值域为f(x)≤0,可排除(A), 由原函数的值f(x)≥0,可知反函数的定义域为x≥0,可排除C、D。 解:选(B)。 点评:求解反函数的问题,要牢牢抓互为反函数的两个函数的定义域与值域。


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