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课时跟踪检测(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例

课时跟踪检测(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例 一、选择题 1.(2015· 惠州调研)已知向量 p=(2,-3),q=(x,6),且 p∥q,则|p+q|的值为( A. 5 C.5 B. 13 D.13 )

2.(2015· 长春调研)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若 λ 为实数,(b+λa)⊥c, 则 λ 的值为( 3 A.- 11 1 C. 2 ) 11 B.- 3 3 D. 5 )

3.已知向量 a,b 满足(a+2b)· (5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则 a 与 b 的夹角 θ 为( 3π A. 4 π C. 3 π B. 4 2π D. 3 )

AC =| AC |2,则△ABC 的形状一定是( 4.在△ABC 中,(+ BA )·

A.等边三角形 C.直角三角形

B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

AC =-16, 5. (2015· 东北三校联考)已知△ABC 中, ||=10,AB · D 为边的中点, 则| AD |

等于( A.6 C.4

) B.5 D.3

EM 6. 在边长为 1 的正方形 ABCD 中, M 为 BC 的中点, 点 E 在线段 AB 上运动, 则 EC ·

的取值范围是( 1 ? A.? ?2,2? 1 3? C.? ?2,2? 二、填空题

) 3? B.? ?0,2? D.[0,1]

7.(2015· 北京东城质量检测)已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a-(a· b)b,则 |c|=________. 8.(2015· 山西四校联考)圆 O 为△ABC 的外接圆,半径为 2,若 AB + AC =2 AO ,且 | OA |=| AC |,则向量 BA 在向量方向上的投影为________.
OB 的夹角为________. 9. 单位圆上三点 A, B, C 满足 OA + OB + OC =0, 则向量 OA ,

10.(2014· 江苏高考)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP =3 PD ,

AP · BP =2,则 AB · AD 的值是________.

三、解答题 11.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).

12.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2),又点 A(8,0),B(n,t), π? C(ksin θ,t)? ?0≤θ≤2?. (1)若 AB ⊥a,且| AB |= 5| OA |,求向量 OB ;
OC . (2)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求 OA ·

答案 1.选 B 由题意得 2×6+3x=0?x=-4?|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|= 13. 2.选 A b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),c=(3,4),又(b+λa)⊥c,∴(b+λa)· c=0, 3 即(1+λ,2λ)· (3,4)=3+3λ+8λ=0,解得 λ=- ,故选 A. 11 3.选 C 因为(a+2b)· (5a-4b)=0,|a|=|b|=1, 1 所以 6a· b-8+5=0,即 a· b= . 2 1 又 a· b=|a||b|cos θ=cos θ,所以 cos θ= , 2 π 因为 θ∈[0,π],所以 θ= . 3
AC =| AC |2,得 AC · 4.选 C 由( BC + BA )· ( BC + BA - AC )=0,即 AC · ( BC + BA
BA =0,∴ AC ⊥ BA ,∴A=90° + CA )=0,2 AC · .又根据已知条件不能得到| AB |=| AC |,

故△ABC 一定是直角三角形. 1 AC =-16,∴| AB |· 5.选 D 由题知 AD = ( AB + AC ), AB · | AC |cos∠BAC=-16. 2 在△ABC 中由余弦定理得, | BC |2=| AB |2+| AC |2-2| AB || AC |cos∠BAC, ∴102=| AB |2+| AC |2+32,| AB |2+| AC |2=68, 1 1 AC )= (68-32)=9,∴| AD |=3,故选 D. ∴| AD |2= ( AB 2+ AC 2+2 AB · 4 4 6.选 C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设 E(x,0), 1 1 1, ?,C(1,1),所以 EM =?1-x, ?, EC =(1-x,1), 0≤x≤1.又 M? 2 2? ? ? ? 1 1 1 2 EC = ?1-x,2?· 所以 EM · (1 - x, 1) = (1 - x ) + . 因为 0 ≤ x ≤ 1 ,所以 ? ? 2 2 1 3 1 3 EC 的取值范围是?2,2?. ≤(1-x)2+ ≤ ,即 EM · ? ? 2 2 7.解析:由题意可得 a· b=2×1+4×(-2)=-6, ∴c=a-(a· b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),

∴|c|= 82+?-8?2=8 2. 答案:8 2 8.解析:∵ AB + AC =2 AO ,∴O 是 BC 的中点,故△ABC 为直角三角形.在△AOC 中,有| OA |=| AC |,∴∠B=30° .由定义,向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为| BA |cos ∠B =2 3× 3 =3. 2

答案:3 9.解析:∵A,B,C 为单位圆上三点, ∴| OA |=| OB |=| OC |=1, 又 OA + OB + OC =0, ∴- OC = OB + OA ,
OA ,可得 ∴ OC 2=( OB + OA )2= OB 2+ OA 2+2 OB ·

1 cos 〈 OA , OB 〉=- , 2 ∴向量 OA , OB 的夹角为 120° . 答案:120° 1 10.解析:因为 AP = AD + EC = AD + AB , 4 3 BP = BC + CP = AD - AB , 4 1 ? AD -3 AB ? BP =? AD +4 AB ?· 所以 AP · 4 ? ?? ? =| AD |2- 3 1 AB =2, | AB |2- AD · 16 2

AD =22. 将 AB=8,AD=5 代入解得 AB ·

答案:22 1? 11.解:由已知得,a· b=4×8×? ?-2?=-16. (1)①∵|a+b|2=a2+2a· b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0, 即 16k-16(2k-1)-2×64=0.∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直. 12.解:(1)由题设知 AB =(n-8,t),

∵ AB ⊥a,∴8-n+2t=0. 又∵ 5| OA |=| AB |, ∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得 t=± 8. 当 t=8 时,n=24;t=-8 时,n=-8, ∴ OB =(24,8)或 OB =(-8,-8). (2)由题设知 AC =(ksin θ-8,t), ∵ AC 与 a 共线,∴t=-2ksin θ+16, tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ 4?2 32 =-2k? ?sin θ-k? + k . 4 ∵k>4,∴0< <1, k 4 32 ∴当 sin θ= 时,tsin θ 取得最大值 . k k 由 32 =4,得 k=8, k

π 此时 θ= , OC =(4,8). 6
OC =(8,0)· ∴ OA · (4,8)=32.


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